#07 ربط التباعد والدوران المحليين بتكاملات الحجم والسطح والخط

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. انتقل من المؤثرات المحلية إلى مبرهنات التكامل

   

   في الدرس الخامس تعلمنا مؤثرات التدرج والتباعد والدوران.

   التباعد يقيس مقدار خروج المجال المتجهي من نقطة، والدوران يقيس مقدار دوران المجال حول نقطة.

   وفي الدرس السادس ربطنا هذه المؤثرات بأنظمة الإحداثيات ومعاملات القياس.

   الآن ننتقل من السلوك المحلي إلى السلوك الكلي.

   سندرس مبرهنة التباعد، وتسمى أيضا مبرهنة غاوس، ثم مبرهنة ستوكس.

   هاتان المبرهنتان تربطان ما يحدث داخل منطقة أو على سطح بما يحدث على حدودها، وهما من أهم الأدوات الرياضية لفهم معادلات ماكسويل.

   نص الشرح الصوتي

   في الدرس الخامس تعلمنا مؤثرات التدرج والتباعد والدوران. التباعد يقيس مقدار خروج المجال المتجهي من نقطة، والدوران يقيس مقدار دوران المجال حول نقطة. وفي الدرس السادس ربطنا هذه المؤثرات بأنظمة الإحداثيات ومعاملات القياس. الآن ننتقل من السلوك المحلي إلى السلوك الكلي. سندرس مبرهنة التباعد، وتسمى أيضا مبرهنة غاوس، ثم مبرهنة ستوكس. هاتان المبرهنتان تربطان ما يحدث داخل منطقة أو على سطح بما يحدث على حدودها، وهما من أهم الأدوات الرياضية لفهم معادلات ماكسويل.

2. 2. تحقق من مبرهنة التباعد بمثال الفيض

   

   مبرهنة التباعد: ∯_S A·dS = ∭_V (∇·A)dV.

   بمعنى فيزيائي بسيط: الفيض الكلي الخارج من سطح مغلق يساوي شدة المصادر الكلية داخل هذا السطح.

   إذا كان التباعد موجبا في منطقة ما فهي تعمل كمصدر يدفع الفيض إلى الخارج.

   وإذا كان التباعد سالبا فهي تعمل كمصب يسحب الفيض إلى الداخل.

   لست مضطرا أن تفحص كل نقطة داخل الحجم؛ يكفي أن تعرف ما يخرج عبر السطح لتحصل على المجموع الكلي.

   لنحقق ذلك بمثال.

   ليكن المجال A = x²e_x + y²e_y + z²e_z.

   نأخذ التكامل على مكعب الوحدة، من صفر إلى واحد في كل اتجاه.

   الطرف الأيمن:

   $\displaystyle ∇\cdot A = 2x + 2y + 2z.$

   تكامل اثنين x من صفر إلى واحد يعطي واحدا، وكذلك اثنين y واثنين z.

   إذن المجموع يساوي ثلاثة.

   الآن الطرف الأيسر: نحسب تكامل السطح على الأوجه الستة.

   عند الوجه x يساوي واحدا تكون المساهمة x تربيع وتساوي واحدا.

   وعند x يساوي صفرا تكون المساهمة صفرا.

   وبالطريقة نفسها لوجهي y ووجهي z.

   مجموع الأوجه الستة:

   $\displaystyle 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3.$

   الطرفان متساويان، وبذلك تحققت مبرهنة التباعد.

   نص الشرح الصوتي

   مبرهنة التباعد تقول إن تكامل السطح المغلق للمتجه A dot d S يساوي تكامل الحجم للتباعد، nabla dot A، داخل الحجم المحاط. بمعنى فيزيائي بسيط: الفيض الكلي الخارج من سطح مغلق يساوي شدة المصادر الكلية داخل هذا السطح. إذا كان التباعد موجبا في منطقة ما فهي تعمل كمصدر يدفع الفيض إلى الخارج. وإذا كان التباعد سالبا فهي تعمل كمصب يسحب الفيض إلى الداخل. لست مضطرا أن تفحص كل نقطة داخل الحجم؛ يكفي أن تعرف ما يخرج عبر السطح لتحصل على المجموع الكلي. لنحقق ذلك بمثال. ليكن المجال A يساوي x تربيع في اتجاه x، زائد y تربيع في اتجاه y، زائد z تربيع في اتجاه z. نأخذ التكامل على مكعب الوحدة، من صفر إلى واحد في كل اتجاه. أولا الطرف الأيمن: تباعد A يساوي اثنين x زائد اثنين y زائد اثنين z. تكامل اثنين x من صفر إلى واحد يعطي واحدا، وكذلك اثنين y واثنين z. إذن المجموع يساوي ثلاثة. الآن الطرف الأيسر: نحسب تكامل السطح على الأوجه الستة. عند الوجه x يساوي واحدا تكون المساهمة x تربيع وتساوي واحدا. وعند x يساوي صفرا تكون المساهمة صفرا. وبالطريقة نفسها لوجهي y ووجهي z. إذن المجموع: واحد زائد صفر، زائد واحد زائد صفر، زائد واحد زائد صفر، يساوي ثلاثة. الطرفان متساويان، وبذلك تحققت مبرهنة التباعد.

3. 3. تحقق من مبرهنة ستوكس بمثال الدوران

   

   مبرهنة ستوكس: ∮_C A·dl = ∬_S (∇×A)·dS.

   تخيل أنك تتحرك حول حلقة مغلقة.

   مقدار دفع المجال لك على طول المسار، أي الدوران الكلي حول الحلقة، يساوي مجموع الدوران الذي يخترق أي سطح ممتد داخل هذه الحلقة.

   والنقطة الجميلة أن السطح المختار لا يهم: قرص مستو أو سطح منحن، النتيجة نفسها ما دام الحد هو المنحنى نفسه.

   لنحقق ذلك بمثال.

   ليكن A = −y e_x + x e_y.

   وليكن C دائرة نصف قطرها R في مستوى x y.

   أولا الطرف الأيمن: دوران A يعطي مركبة z تساوي واحدا ناقص سالب واحد، أي اثنين في اتجاه z.

   على القرص: ∬2e_z·dS = 2πR².

   الطرف الأيسر:

   $\displaystyle x = R \cos t,\; وy = R \sin t.$

   وعندها A·dl = −y dx + x dy = R²dt.

   بالتكامل من 0 إلى 2π نحصل على 2πR².

   إذن الطرفان متساويان، ومبرهنة ستوكس تحققت.

   نص الشرح الصوتي

   مبرهنة ستوكس تقول إن تكامل الخط للمجال A dot d l حول منحنى مغلق C يساوي تكامل السطح للدوران، nabla cross A، dot d S على أي سطح يحده هذا المنحنى. تخيل أنك تتحرك حول حلقة مغلقة. مقدار دفع المجال لك على طول المسار، أي الدوران الكلي حول الحلقة، يساوي مجموع الدوران الذي يخترق أي سطح ممتد داخل هذه الحلقة. والنقطة الجميلة أن السطح المختار لا يهم: قرص مستو أو سطح منحن، النتيجة نفسها ما دام الحد هو المنحنى نفسه. لنحقق ذلك بمثال. ليكن A يساوي سالب y في اتجاه x، زائد x في اتجاه y. وليكن C دائرة نصف قطرها R في مستوى x y. أولا الطرف الأيمن: دوران A يعطي مركبة z تساوي واحدا ناقص سالب واحد، أي اثنين في اتجاه z. تكامل اثنين z hat dot d S على القرص يساوي اثنين مضروبا في المساحة، أي اثنين pi R تربيع. الآن الطرف الأيسر: نمثل الدائرة بالمعادلتين x يساوي R cosine t و y يساوي R sine t. عندها A dot d l يساوي سالب y d x زائد x d y، وهذا يختصر إلى R تربيع d t. بالتكامل من صفر إلى اثنين pi نحصل على اثنين pi R تربيع. إذن الطرفان متساويان، ومبرهنة ستوكس تحققت.

4. 4. قارن المبرهنتين وصلتهما بماكسويل

   

   لنقارن المبرهنتين جنبا إلى جنب.

   مبرهنة التباعد تحول تكامل سطح مغلق إلى تكامل حجم.

   المؤثر فيها هو التباعد، ∇·A.

   والسؤال الذي تجيب عنه هو: كم يخرج من الفيض عبر سطح مغلق؟

   أما مبرهنة ستوكس فتحول تكامل خط مغلق إلى تكامل سطح.

   المؤثر فيها هو الدوران، ∇×A.

   والسؤال الذي تجيب عنه هو: كم يوجد من الدوران حول منحنى مغلق؟

   لاحظ النمط العام: كل مبرهنة تربط التكامل على منطقة بتكامل على حد تلك المنطقة.

   مبرهنة التباعد تربط حجما ثلاثي الأبعاد بسطحه ثنائي الأبعاد.

   ومبرهنة ستوكس تربط سطحا ثنائي الأبعاد بحده الخطي أحادي البعد.

   في النظرية الكهرومغناطيسية، قانون غاوس للمجال الكهربائي هو تطبيق مباشر لمبرهنة التباعد على E.

   فيض E عبر سطح مغلق يساوي الشحنة المحاطة مقسومة على epsilon zero.

   وقانون فاراداي هو تطبيق لمبرهنة ستوكس على E: دوران E حول حلقة مغلقة يساوي سالب معدل تغير الفيض المغناطيسي.

   لذلك فهاتان المبرهنتان ليستا مجرد أدوات حسابية، بل هما جزء من البنية الرياضية لمعادلات ماكسويل.

   نص الشرح الصوتي

   لنقارن المبرهنتين جنبا إلى جنب. مبرهنة التباعد تحول تكامل سطح مغلق إلى تكامل حجم. المؤثر فيها هو التباعد، nabla dot A. والسؤال الذي تجيب عنه هو: كم يخرج من الفيض عبر سطح مغلق؟ أما مبرهنة ستوكس فتحول تكامل خط مغلق إلى تكامل سطح. المؤثر فيها هو الدوران، nabla cross A. والسؤال الذي تجيب عنه هو: كم يوجد من الدوران حول منحنى مغلق؟ لاحظ النمط العام: كل مبرهنة تربط التكامل على منطقة بتكامل على حد تلك المنطقة. مبرهنة التباعد تربط حجما ثلاثي الأبعاد بسطحه ثنائي الأبعاد. ومبرهنة ستوكس تربط سطحا ثنائي الأبعاد بحده الخطي أحادي البعد. في النظرية الكهرومغناطيسية، قانون غاوس للمجال الكهربائي هو تطبيق مباشر لمبرهنة التباعد على E. فيض E عبر سطح مغلق يساوي الشحنة المحاطة مقسومة على epsilon zero. وقانون فاراداي هو تطبيق لمبرهنة ستوكس على E: دوران E حول حلقة مغلقة يساوي سالب معدل تغير الفيض المغناطيسي. لذلك فهاتان المبرهنتان ليستا مجرد أدوات حسابية، بل هما جزء من البنية الرياضية لمعادلات ماكسويل.

5. 5. لخص علاقة المنطقة بحدودها

   

   لنلخص.

   مبرهنة التباعد تربط تكامل سطح مغلق بتكامل حجم عن طريق مؤثر التباعد.

   ومبرهنة ستوكس تربط تكامل خط مغلق بتكامل سطح عن طريق مؤثر الدوران.

   كلتاهما تحول بين منطقة وحدودها.

   الفكرة الفيزيائية الأولى هي الفيض والمصادر، والفكرة الثانية هي الدوران والسيركوليشن.

   في الدروس القادمة نبدأ الكهروستاتيكا، وهناك ستظهر هذه الأدوات مباشرة في قانون كولوم وقانون غاوس.

   نص الشرح الصوتي

   لنلخص. مبرهنة التباعد تربط تكامل سطح مغلق بتكامل حجم عن طريق مؤثر التباعد. ومبرهنة ستوكس تربط تكامل خط مغلق بتكامل سطح عن طريق مؤثر الدوران. كلتاهما تحول بين منطقة وحدودها. الفكرة الفيزيائية الأولى هي الفيض والمصادر، والفكرة الثانية هي الدوران والسيركوليشن. في الدروس القادمة نبدأ الكهروستاتيكا، وهناك ستظهر هذه الأدوات مباشرة في قانون كولوم وقانون غاوس.

الفيديو المصدر: النظرية الكهرومغناطيسية #07 | مبرهنة التباعد ومبرهنة ستوكس (6:22)