#35 المضخمات التشغيلية #35 — المكامل والمفاضل

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. دائرة المكامل

   

   مكامل الأوب أمب

   مسار الدخل: V₁→R→v₋

   عنصر التغذية الراجعة: C

   $\displaystyle v_{+}=0$

   مع التغذية السالبة v₋≈0

   تيار الدخل المثالي i₋=0

   تيار الدخل يمر في المكثف

   نص الشرح الصوتي

   في هذا الدرس نأخذ تطبيقين مهمين جدا من تطبيقات الأوب أمب: المكامل والمفاضل. نبدأ بالمكامل. لاحظ شكل الدائرة بهدوء: إشارة الدخل V one تدخل إلى الطرف العاكس من خلال مقاومة R. أما مسار التغذية الراجعة فليس مقاومة، بل مكثف C بين الخرج والعقدة العاكسة. والطرف غير العاكس موصول بالأرضي. بسبب التغذية الراجعة السالبة، تكون العقدة العاكسة قريبة جدا من الصفر، فنقول إنها أرضي افتراضي. إذن الفكرة الأساسية هي: التيار الذي يصنعه الدخل عبر R لا يدخل إلى الأوب أمب، بل يذهب إلى المكثف في مسار الراجعة.

2. 2. اشتقاق المكامل

   

   معادلة المكامل

   Z_C=1/(sC)

   $\displaystyle i_{R}=\frac{V_{1}}{R}=i_{C}$

   V_o(s)/V₁(s)=−1/(sRC)

   v_o(t)=−(1/RC)∫v₁(t)dt

   تفترض هذه الصيغة شرطا ابتدائيا صفريا

   الإشارة السالبة بسبب التوصيل العاكس

   نص الشرح الصوتي

   نشتق العلاقة خطوة خطوة. عند الأرضي الافتراضي يكون جهد العقدة تقريبا صفرا. لذلك التيار الداخل عبر المقاومة يساوي V one مقسوما على R. وبما أن دخل الأوب أمب المثالي لا يسحب تيارا، فهذا التيار نفسه يمر في المكثف. في مجال لابلاس ممانعة المكثف تساوي واحدا على s C. لذلك الخرج يساوي سالب التيار مضروبا في ممانعة المكثف. بعد الترتيب نحصل على: V output على V one يساوي سالب واحد على s R C. وعندما نرجع إلى الزمن، فهذا يعني أن الخرج يساوي سالب واحد على R C مضروبا في تكامل الدخل مع الزمن. الإشارة السالبة موجودة لأن الدائرة موصولة على الطرف العاكس.

3. 3. مثال الخطوة

   

   دخل خطوة → خرج منحدر

   $\displaystyle v_{1}=1 V$

   R=1 MΩ, C=1 µF ⇒ RC=1 s

   dv_o/dt=−v₁/(RC)=−1 V/s

   عند تصغير RC يزداد مقدار الميل

   الخرج يمثل المساحة المتراكمة

   المكامل ينتج إشارة لا رقما مفردا

   نص الشرح الصوتي

   ما معنى هذا عمليا؟ إذا كان الدخل خطوة ثابتة، فتكامل الثابت خط مستقيم مائل. لذلك يحول المكامل خطوة الجهد إلى Ramp عند الخرج. مثلا إذا كان الدخل واحد فولت ثابتا، وكان R C يساوي ثانية واحدة، يكون ميل الخرج تقريبا سالب واحد فولت في الثانية. إذا جعلنا R C أصغر، يزيد مقدار الميل ويهبط الخرج بسرعة أكبر. إذن ثابت الزمن R C لا يغير فكرة التكامل فقط، بل يحدد أيضا سرعة تغير الخرج. هذه نقطة مهمة جدا: المكامل لا يعطي رقما مفردا، بل يعطي إشارة جديدة تمثل المساحة المتراكمة تحت إشارة الدخل.

4. 4. ملخص المكامل

   

   ملخص المكامل

   R في الدخل و C في الراجعة

   الخطوة → منحدر

   الميل: −v₁/(RC)

   تراكم المساحة مع الزمن

   عمليا تضاف مقاومة على التوازي مع C لتحديد كسب DC

   الهدف: تأخير التشبع

   نص الشرح الصوتي

   خلاصة المكامل: المقاومة في مسار الدخل، والمكثف في مسار التغذية الراجعة. العلاقة هي: V output يساوي سالب واحد على R C في تكامل V one. لذلك الدخل الثابت يتحول إلى Ramp، وكلما صغر R C أصبح الميل أكبر. هذه الدائرة هي إحدى اللبنات الأساسية في الحوسبة التماثلية، لأنها تنفذ عملية رياضية مباشرة باستخدام عناصر بسيطة.

5. 5. دائرة المفاضل

   

   مفاضل الأوب أمب

   مسار الدخل: V₁→C→v₋

   عنصر التغذية الراجعة: R

   $\displaystyle v_{+}=0$

   مع التغذية السالبة v₋≈0

   يتبادل R و C موضعيهما بالنسبة للمكامل

   الخرج يقيس معدل تغير الدخل

   نص الشرح الصوتي

   الآن ننتقل إلى المفاضل. قارن هذه الدائرة بالمكامل: هنا بدّلنا مكان R و C. الدخل يمر أولا عبر المكثف C إلى العقدة العاكسة، أما التغذية الراجعة من الخرج إلى العقدة فهي مقاومة R. الطرف غير العاكس ما زال على الأرضي، والعقدة العاكسة ما زالت أرضيا افتراضيا. بمجرد أن نبدل مكان المكثف والمقاومة، تتغير العملية الرياضية من تكامل إلى تفاضل. أي أن الخرج سيعبر عن معدل تغير الدخل، وليس عن تراكمه.

6. 6. اشتقاق المفاضل

   

   معادلة المفاضل

   i_C=C·dv₁/dt

   $\displaystyle i_{C}=i_{R}$

   v_o=−Ri_R

   v_o(t)=−RC·dv₁(t)/dt

   معامل القياس: −RC

   الإشارة السالبة بسبب التوصيل العاكس

   نص الشرح الصوتي

   نكتب العلاقة من التيار في المكثف. بما أن العقدة العاكسة قريبة من الصفر، فالجهد على المكثف تقريبا هو جهد الدخل V one. تيار المكثف يساوي C مضروبا في المشتقة الزمنية للدخل: C d V one over d t. هذا التيار لا يدخل إلى الأوب أمب، لذلك يمر في مقاومة التغذية الراجعة R. والخرج يساوي سالب R مضروبا في هذا التيار. إذن نحصل على العلاقة: V output يساوي سالب R C في مشتقة V one بالنسبة للزمن. مرة أخرى، الإشارة السالبة بسبب التوصيل العاكس.

7. 7. المنحدر والجيب

   

   قراءة إشارات المفاضل

   مشتقة المنحدر = ثابت

   الميل الموجب ⇒ خرج ثابت سالب

   $\displaystyle v_{1}=V_{m} \sin \left(\omega t\right)$

   v_o=−ωRCV_m cos(ωt)

   يزداد المقدار مع التردد

   الخرج يمثل معدل التغير

   نص الشرح الصوتي

   لنقرأ النتيجة من الإشارات. إذا كان الدخل Ramp، أي خطا صاعدا بميل ثابت، فمشتقته قيمة ثابتة. لذلك يكون خرج المفاضل مستوى ثابتا، مع إشارة سالبة إذا كان الميل موجبا. وإذا كان الدخل موجة جيبية، فمشتقتها تكون موجة جيبية مزاحة في الطور، وغالبا نراها كدالة cosine مع معامل يعتمد على التردد. لهذا السبب المفاضل حساس للتغيرات السريعة: كلما تغير الدخل بسرعة أكبر، كبر مقدار الخرج.

8. 8. المقارنة

   

   المكامل ↔ المفاضل

   المكامل: R في الدخل و C في الراجعة

   المفاضل: C في الدخل و R في الراجعة

   المكامل يراكم المساحة

   المفاضل يقيس الميل

   الدائرتان عاكستان

   لبنتان أساسيتان للحوسبة التماثلية

   نص الشرح الصوتي

   اجمع الصورتين في ذهنك. في المكامل: المقاومة في الدخل والمكثف في الراجعة، والخرج يراكم إشارة الدخل مع الزمن. في المفاضل: المكثف في الدخل والمقاومة في الراجعة، والخرج يقيس سرعة تغير الدخل. الاثنان عاكسان، لذلك تظهر الإشارة السالبة في العلاقتين. المكامل يميل إلى تنعيم الإشارة لأنه يراكمها، أما المفاضل فيبرز الحواف والتغيرات السريعة لأنه يعتمد على المشتقة.

9. 9. ملخص الطريقة

   

   ملخص الطريقة

   v_o,int=−(1/RC)∫v_i dt

   v_o,diff=−RC·dv_i/dt

   الخطوة → منحدر؛ المنحدر → ثابت

   العلاقات المثالية تحتاج تغذية سالبة وعدم تشبع

   عمليا يحدد كسب المفاضل عند التردد العالي

   الفحص الأخير: النطاق والضوضاء وجهود التغذية

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة النهائية: الأوب أمب مع R و C يستطيع تنفيذ عمليتين رياضيتين أساسيتين. دائرة المكامل تعطي: V output يساوي سالب واحد على R C في تكامل الدخل. ودائرة المفاضل تعطي: V output يساوي سالب R C في مشتقة الدخل. حفظ أماكن R و C يكفي لفهم البنية: R في الدخل و C في الراجعة يعني مكامل؛ C في الدخل و R في الراجعة يعني مفاضل. في الدروس التالية نكمل تطبيقات الأوب أمب من نفس السلسلة القديمة، لكن بنفس ترقيم القناة العربية المتتابع.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر #35 - المكامل والمفاضل باستخدام الأوب أمب (6:01)