#30 ثيفنن ونورتن #30 — انتقال القدرة العظمى

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. توازن القدرة

   

   لماذا تمثل القدرة العظمى توازنا؟

   الشبكة ثابتة ويمكن اختيار R_L

   R_L→0: ينخفض جهد الحمل

   R_L→∞: ينخفض تيار الحمل

   $\displaystyle P_{L}=V_{L}I_{L}$

   نختزل الشبكة إلى مكافئ ثيفنن

   الهدف: تعظيم P_L

   نص الشرح الصوتي

   انتقال القدرة العظمى يجيب عن سؤال عملي جدا. لنفترض أن كل ما يقع يسار الطرفين a و b ثابت، وأن مقاومة الحمل فقط يمكن اختيارها. ما قيمة R L التي تجعل الحمل يستقبل أكبر قدرة؟ الحدس الخاطئ الشائع يقول: اجعل R L صغيرة جدا حتى يكبر التيار، أو اجعلها كبيرة جدا حتى يكبر الجهد. لكن الحالتين تفوّتان المقايضة. الحمل الصغير جدا يأخذ تيارا كبيرا لكن جهده صغير. والحمل الكبير جدا يأخذ جهدا كبيرا لكن تياره صغير. القدرة العظمى تظهر عند نقطة التوازن بين الاثنين.

2. 2. قدرة الحمل

   

   دالة قدرة الحمل

   $\displaystyle I=\frac{V_{\mathrm{Th}}}{R_{\mathrm{Th}}+R_{L}}$

   $\displaystyle P_{L}=I^{2}R_{L}$

   $\displaystyle x=R_{L}>0$

   $\displaystyle P\left(x\right)=V_{\mathrm{Th}}^{2}x/\left(R_{\mathrm{Th}}+x\right)^{2}$

   V_Th وR_Th ثابتان

   تحسين بدلالة متغير واحد

   نص الشرح الصوتي

   نستبدل الجزء الأيسر بمكافئ ثيفنن. أي مصدر جهد V ثيفنن على التوالي مع R ثيفنن، ثم الحمل R L. الآن نسمّي قيمة الحمل x. التيار خلال الحمل يساوي V ثيفنن مقسوما على R ثيفنن زائد x. قدرة الحمل هي i تربيع مضروبة في R L. إذن نعوض التيار: P تساوي V ثيفنن على R ثيفنن زائد x، الكل تربيع، مضروبا في x. بصيغة واحدة: P of x تساوي V ثيفنن تربيع مضروبة في x، مقسومة على R ثيفنن زائد x، الكل تربيع.

3. 3. شرط القيمة العظمى

   

   شرط القيمة العظمى

   dP/dx=V_Th²(R_Th−x)/(R_Th+x)³

   0<x<R_Th: dP/dx>0

   x=R_Th: dP/dx=0

   x>R_Th: dP/dx<0

   $\displaystyle R_{L}=R_{\mathrm{Th}}$

   $\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{V_{\mathrm{Th}}^{2}}{4R_{\mathrm{Th}}}$

   نص الشرح الصوتي

   لإيجاد أفضل قيمة ل x، نشتق P بالنسبة إلى x. المقدار V ثيفنن تربيع ثابت، لذلك يبقى خارج الاشتقاق. النتيجة تختصر إلى V ثيفنن تربيع مضروبة في R ثيفنن ناقص x، مقسومة على R ثيفنن زائد x، الكل تكعيب. عند القيمة العظمى نضع البسط مساويا للصفر. R ثيفنن ناقص x يساوي صفرا، إذن x تساوي R ثيفنن. وبما أن x هي مقاومة الحمل، فالقاعدة هي: R L تساوي R ثيفنن. أما القدرة العظمى فهي V ثيفنن تربيع مقسومة على أربعة R ثيفنن. هذه هي القاعدة التي نريد تذكرها: نطابق الحمل مع المقاومة التي نراها من المنفذ.

4. 4. دائرة المثال

   

   المثال — المطلوب

   الحمل R_L بين a وb

   المصدران 12 V و2 A

   المقاومات 6 و12 و3 و2 Ω

   1) R_Th

   2) V_Th

   3) R_L وP_max

   نص الشرح الصوتي

   الآن نطبق القاعدة على المثال. السؤال لا يطلب التيار أولا، ولا يطلب حملا عشوائيا. السؤال يقول: ما قيمة R L التي تعطي قدرة عظمى بين a و b؟ إذن نحتاج رقمين من الشبكة بعد إزالة الحمل: أولا R ثيفنن كما نراها من a b، وثانيا V ثيفنن، أي جهد الدائرة المفتوحة عند a b. بعد معرفة هذين الرقمين يصبح الجواب مباشرا: R L تساوي R ثيفنن، و P max تساوي V ثيفنن تربيع مقسومة على أربعة R ثيفنن.

5. 5. R_Th

   

   حساب R_Th

   مصدر 12 V → قصر

   مصدر 2 A → دائرة مفتوحة

   $\displaystyle 6∥12=4 \Omega$

   $\displaystyle R_{\mathrm{Th}}=2+3+\left(6∥12\right)$

   $\displaystyle R_{\mathrm{Th}}=2+3+4$

   $\displaystyle R_{\mathrm{Th}}=9 \Omega$

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ ب R ثيفنن. نعطّل المصادر المستقلة فقط. مصدر الجهد 12 فولت يتحول إلى قصر. ومصدر التيار 2 أمبير يتحول إلى دائرة مفتوحة. عندما ننظر من a و b، مقاومة 2 أوم على التوالي مع مقاومة 3 أوم. بعد ذلك مقاومتا 6 أوم و12 أوم على التوازي مع العقدة السفلية. نحسب جزء التوازي: 6 في 12 يساوي 72. 6 زائد 12 يساوي 18. 72 مقسومة على 18 تساوي 4 أوم. ثم نجمع المقاومات المتسلسلة: 2 زائد 3 زائد 4 يساوي 9 أوم. إذن R ثيفنن تساوي 9 أوم، وحمل القدرة العظمى سيكون أيضا 9 أوم.

6. 6. معادلة V_Th

   

   V_Th — معادلة العقدة

   نزيل R_L فيصبح الخرج مفتوحا

   لا تيار في مقاومة 2 Ω

   $\displaystyle V_{a}=V_{\mathrm{Th}}$

   العقدة اليسرى V₁

   $\displaystyle \frac{V_{\mathrm{Th}}-V_{1}}{3}-2=0$

   $\displaystyle V_{\mathrm{Th}}-V_{1}=6 V$

   نص الشرح الصوتي

   بعد ذلك نحسب V ثيفنن. نزيل R L، فيصبح الخرج مفتوحا. وبما أن الخرج مفتوح، فلا يمر تيار في مقاومة 2 أوم؛ لذلك لا يوجد هبوط جهد عليها، وجهد الطرف a يساوي جهد العقدة العلوية الوسطى، أي V ثيفنن. لنسمّ العقدة بين 6 أوم و12 أوم و3 أوم باسم V 1. عند عقدة V ثيفنن، مصدر التيار 2 أمبير يحقن التيار إلى أعلى، لذلك تعطي KCL: V ثيفنن ناقص V 1 على 3، ناقص 2، يساوي صفرا. وهذا يعني أن V ثيفنن ناقص V 1 يساوي 6.

7. 7. حل V_Th

   

   V_Th — الحل

   $\displaystyle \frac{V_{1}-12}{6}+\frac{V_{1}}{12}+\frac{V_{1}-V_{\mathrm{Th}}}{3}=0$

   نضرب المعادلة في 12

   $\displaystyle 7V_{1}-4V_{\mathrm{Th}}=24$

   $\displaystyle V_{\mathrm{Th}}-V_{1}=6$

   $\displaystyle V_{1}=16 V$

   $\displaystyle V_{\mathrm{Th}}=22 V$

   نص الشرح الصوتي

   الآن نكتب KCL عند V 1. التيار خلال 6 أوم هو V 1 ناقص 12 على 6. والتيار خلال 12 أوم هو V 1 على 12. والتيار خلال 3 أوم هو V 1 ناقص V ثيفنن على 3. نجمعها ونساوي المجموع بالصفر. نضرب المعادلة كلها في 12 للتخلص من المقامات. نحصل على 2 V 1 ناقص 24، زائد V 1، زائد 4 V 1 ناقص 4 V ثيفنن يساوي صفرا. نجمع الحدود المتشابهة: 7 V 1 ناقص 4 V ثيفنن يساوي 24. ومع المعادلة V ثيفنن ناقص V 1 يساوي 6، يعطينا الحل V ثيفنن يساوي 22 فولت.

8. 8. R_L وP_max

   

   الحمل والقدرة العظمى

   $\displaystyle R_{L}=R_{\mathrm{Th}}$

   $\displaystyle R_{L}=9 \Omega$

   $\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{V_{\mathrm{Th}}^{2}}{4R_{\mathrm{Th}}}$

   $\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{22^{2}}{4\cdot 9}$

   $\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{484}{36}$

   $\displaystyle P_{\mathrm{max}}\approx 13.44 W$

   نص الشرح الصوتي

   الآن نجمع النتيجتين. من أجل القدرة العظمى، R L تساوي R ثيفنن، إذن R L تساوي 9 أوم. ولحساب قيمة القدرة العظمى نستخدم P max تساوي V ثيفنن تربيع على أربعة R ثيفنن. نعوض الأرقام: V ثيفنن يساوي 22 فولت، إذن 22 تربيع يساوي 484. أربعة في R ثيفنن يعني 4 في 9، وهذا يساوي 36. ثم 484 مقسومة على 36 تساوي 13.44 واط. هذه هي أكبر قدرة تستطيع هذه الشبكة إيصالها إلى حمل مقاوم.

9. 9. ملخص الطريقة

   

   ملخص الطريقة

   نزيل الحمل

   R_Th: نعطّل المصادر المستقلة

   V_Th: نترك المنفذ مفتوحا

   $\displaystyle R_{L}=R_{\mathrm{Th}}$

   $\displaystyle P_{\mathrm{max}}=\frac{V_{\mathrm{Th}}^{2}}{4R_{\mathrm{Th}}}$

   9 Ω و22 V و13.44 W

   نص الشرح الصوتي

   الطريقة كلها قصيرة، لكن ترتيبها مهم. أولا نحول بقية الدائرة إلى ما يراه الحمل. نحسب R ثيفنن بعد تعطيل المصادر المستقلة. ثم نحسب V ثيفنن والحمل مفتوح. بعد ذلك نختار R L مساوية ل R ثيفنن. وإذا طلب السؤال القدرة، نستخدم P max تساوي V ثيفنن تربيع على أربعة R ثيفنن. في هذا المثال R ثيفنن تساوي 9 أوم، و V ثيفنن تساوي 22 فولت، والقدرة العظمى على الحمل تساوي 13.44 واط.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر #30 - انتقال القدرة العظمى: إيجاد RL و Pmax (6:58)