نظرية الدوائر 1 · الاستجابات العابرة من الدرجة الأولى

#41 التحليل العابر #41 — نظرية الاستجابة الطبيعية RL

يشتق المعنى الفيزيائي ومعادلة KVL وحل التيار الأسي وثابت الزمن τ=L/R وتعبيرات الجهد والقدرة والطاقة لدائرة RL دون مصدر.

السؤال

اضمحلال تيار RL والمماس الابتدائي وثابت الزمن.
يبقى 36.8% عند t=τ؛ زيادة L تبطئ الاضمحلال وزيادة R تسرعه.

لملف يحمل تيارا ابتدائيا I₀ ويفرغ طاقته عبر R، أنشئ معادلة KVL واشتق i(t) وτ وv_R وv_L وp_R وw_L.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

  1. 1. الإعداد الفيزيائي للاستجابة الطبيعية RL

    تفريغ ملف يحمل تيارا ابتدائيا I₀ عبر R دون مصدر.
    تتحول طاقة المجال المغناطيسي إلى حرارة في المقاومة.
    الاستجابة الطبيعية RL دون دخل
    تيار الملف الابتدائي هو I₀
    iL(0−)=iL(0+)=I0\displaystyle i_{L}\left(0⁻\right)=i_{L}\left(0⁺\right)=I₀
    لا يوجد مصدر خارجي عندما t≥0
    مصدر الطاقة الوحيد wL(0)=½LI₀²
    يفرغ الملف طاقته عبر R
    نبحث عن i(t)
    لا يمكن أن ينخفض التيار إلى الصفر لحظيا
    الاستجابة الطبيعية هي اضمحلال الطاقة المغناطيسية

    نص الشرح الصوتي

    اليوم نأخذ النظير الطبيعي لدرس R C السابق: الاستجابة الطبيعية لدائرة R L. في دائرة R C كنا نتابع جهد المكثف، أما هنا فنركز على تيار الملف. لماذا؟ لأن الملف لا يسمح لتياره أن يقفز فجأة. تخيل ملفا كان يحمل تيارا ابتدائيا I صفر. بعد لحظة التبديل لا يوجد مصدر خارجي يدفع الدائرة. الطاقة الوحيدة الموجودة هي الطاقة المغناطيسية المخزنة في الملف. هذه الطاقة ستتحول تدريجيا إلى حرارة في المقاومة. إذن السؤال الواضح هو: كيف يتناقص التيار آي أوف تي مع الزمن؟

  2. 2. معادلة RL والحل الأسي

    اشتقاق معادلة وحل الاستجابة الطبيعية RL بقانون KVL.
    di/dt+(R/L)i=0 و i(t)=I₀e^(−t/τ)، حيث τ=L/R.
    نطبق KVL على حلقة RL
    vL+vR=0\displaystyle v_{L}+v_{R}=0
    L·di/dt+R·i=0
    di/dt+(R/L)i=0
    نفصل المتغيرات: di/i=−(R/L)dt
    ln⁡i=−tτ+K\displaystyle \ln i=-\frac{t}{\tau }+K
    i(t)=A⋅e(−t/τ)\displaystyle i\left(t\right)=A\cdot e^{(}-t/\tau )
    i(0)=I0⇒A=I0\displaystyle i\left(0\right)=I₀ \Rightarrow A=I₀
    i(t)=I₀e(−t/τ)، حيث τ=L/R

    نص الشرح الصوتي

    نبدأ من الرسم بعد التبديل، أي عند t أكبر من صفر. نختار اتجاه التيار آي أوف تي في الحلقة. بما أنه لا يوجد مصدر، نكتب قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة: جهد الملف زائد جهد المقاومة يساوي صفرا. جهد الملف، مع المرجع المختار، يساوي L في d i على d t. وجهد المقاومة يساوي R في i. بالتعويض نحصل على L d i على d t زائد R i يساوي صفرا. الآن نقسم على L، فتصبح المعادلة: d i على d t زائد R على L في i يساوي صفرا. هذه معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى، ومعناها البسيط أن ميل التيار سالب ويتناسب مع التيار نفسه. نحل المعادلة خطوة خطوة. ننقل الحد الذي يحتوي i إلى الطرف الآخر: d i على d t يساوي سالب R على L في i. نفصل المتغيرات: d i على i يساوي سالب R على L في d t. الآن نكامل الطرفين. نحصل على اللوغاريتم الطبيعي للتيار يساوي سالب R على L في t زائد ثابت. عندما نأخذ الأس للطرفين، يظهر الحل الأسي. نكتب التيار على الصورة: آي أوف تي يساوي A في e أس سالب t على تاو. نحدد A من الشرط الابتدائي: عند t يساوي صفر، التيار يساوي I صفر. إذن A تساوي I صفر. النتيجة النهائية: آي أوف تي يساوي I صفر في e أس سالب t على تاو.

  3. 3. ثابت الزمن وكميات الاستجابة

    اضمحلال تيار RL والمماس الابتدائي وثابت الزمن.
    يبقى 36.8% عند t=τ؛ زيادة L تبطئ الاضمحلال وزيادة R تسرعه.
    τ=L/R هو مقياس سرعة اضمحلال التيار
    HΩ=V⋅sAVA=s\displaystyle \frac{H}{\Omega }=\frac{V\cdot \frac{s}{A}}{\frac{V}{A}}=s
    i(τ)=I0e−1=0.368I0\displaystyle i\left(\tau \right)=I₀e⁻¹=0.368I₀
    الميل الابتدائي di/dt(0)=−I₀/τ
    زيادة L تزيد τ وتبطئ التغير
    زيادة R تصغر τ وتسرع التبدد
    vR=I0R⋅e(−t/τ)\displaystyle v_{R}=I₀R\cdot e^{(}-t/\tau )
    vL=−vR\displaystyle v_{L}=-v_{R}
    pR وwL ينخفضان وفق e(−2t/τ)

    نص الشرح الصوتي

    ما هو تاو هنا؟ في دائرة R L ثابت الزمن يساوي L على R. انتبه أن هذه هي عكس فكرة R C السابقة: هناك كان تاو يساوي R في C، وهنا تاو يساوي L على R. فحص الوحدة مهم: الهنري يساوي فولت ثانية على أمبير، والأوم يساوي فولت على أمبير، لذلك L على R يعطي ثانية. عند t يساوي تاو يصبح التيار I صفر في e أس سالب واحد، أي ستة وثلاثين فاصلة ثمانية بالمئة من قيمته الابتدائية. ومن الرسم، مماس البداية يقطع محور الزمن عند تاو. إذا زادت L، فالملف يخزن طاقة أكثر ويقاوم تغير التيار أكثر، فيصبح التفريغ أبطأ. وإذا زادت R، فالطاقة تتبدد أسرع، فيصبح تاو أصغر. بعد أن عرفنا التيار، نستخرج بقية الكميات بدون حل جديد. تيار الملف هو I صفر في e أس سالب t على تاو. جهد المقاومة يساوي R في i، إذن يساوي I صفر R في نفس الأس. نسمي I صفر R باسم V صفر، فيكون جهد المقاومة V صفر في e أس سالب t على تاو. جهد الملف يجب أن يوازن جهد المقاومة في قانون كيرشوف، لذلك V L يساوي سالب V صفر في e أس سالب t على تاو. الإشارة السالبة ليست خطأ؛ هي تعني أن الملف يحاول إبقاء التيار مستمرا عندما يبدأ بالانخفاض. القدرة في المقاومة تساوي i تربيع في R، ولذلك تنخفض كـ e أس سالب اثنين t على تاو. والطاقة في الملف تساوي نصف L في i تربيع، فتتناقص أيضا بنفس عامل e أس سالب اثنين t على تاو.

  4. 4. ملخص الاستجابة الطبيعية RL

    التيار والجهد والقدرة والطاقة في الاستجابة الطبيعية RL.
    v_L=−v_R؛ وتنخفض القدرة والطاقة وفق e^(−2t/τ).
    النتائج النظرية الأساسية
    لا يوجد مصدر بعد التبديل
    البداية من تيار I₀ وطاقة ½LI₀²
    di/dt+(R/L)i=0
    i(t)=I0e(−t/τ),τ=LR\displaystyle i\left(t\right)=I₀e^{(}-t/\tau ), \tau =\frac{L}{R}
    بعد τ يبقى 36.8 بالمئة
    vL يعاكس انخفاض التيار
    الطاقة المغناطيسية تتحول إلى حرارة
    RL هو النظير التياري لاستجابة RC الطبيعية

    نص الشرح الصوتي

    الخلاصة: في الاستجابة الطبيعية لدائرة R L لا يوجد مصدر بعد التبديل. البداية تأتي من تيار ابتدائي في الملف. المعادلة هي d i على d t زائد R على L في i يساوي صفرا. الحل هو آي أوف تي يساوي I صفر في e أس سالب t على تاو، حيث تاو يساوي L على R. بعد تاو واحد يبقى حوالي ستة وثلاثين فاصلة ثمانية بالمئة من التيار. والنتيجة الفيزيائية الأهم: طاقة المجال المغناطيسي في الملف لا تختفي، بل تتحول إلى حرارة في المقاومة. في الدرس التالي نستخدم نفس القوانين في مثال رقمي كامل.