Anten Teorisi · Noktasal Kaynak Işıması ve e^(−jkr)/r

#06 Delta ile noktasal kaynak integralinin çökmesi, kaynak–gözlemci uzaklığı ve e^(−jkr)/r ifadesinin genlik-faz yorumu

Delta kaynak integralini tek noktaya indirip 1/r küresel yayılma ile e^(−jkr) fazını aynı sonuçta okuyun.

Soru

Delta ile çöken kaynak integrali, orijindeki noktasal kaynak, A(r)=C e^(−jkr)/r sonucu ve r ile 2r gözlemcilerini gösteren ders karesi.
1/r küresel yayılma nedeniyle genliği azaltır; e^(−jkr) ise yol boyunca biriken fazı taşır.

Noktasal kaynağı vektör potansiyeli integraline yerleştirin; delta fonksiyonuyla integrali çökertin, orijinde R=r sonucunu kullanın ve e^(−jkr)/r ifadesindeki 1/r genlik azalması ile faz ilerlemesini yorumlayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Kaynak modelinden ilk ışıma örneğine geç

    Delta ile çöken kaynak integrali, orijindeki noktasal kaynak, A(r)=C e^(−jkr)/r sonucu ve r ile 2r gözlemcilerini gösteren ders karesi.
    1/r küresel yayılma nedeniyle genliği azaltır; e^(−jkr) ise yol boyunca biriken fazı taşır.

    Bir önceki derste noktasal kaynak ve kısa dipol için akım yoğunluğunu yazmıştık.

    Şimdi bu kaynak modelini gerçekten işe yarar bir yerde kullanıyoruz.

    İdeal noktasal kaynağı vektör potansiyeli integraline yerleştirip ifadenin nasıl sadeleştiğini izliyoruz.

    Bu, serideki ilk tam kaynaktan alana örneğidir.

    Sesli anlatım metni

    Bir önceki derste noktasal kaynak ve kısa dipol için akım yoğunluğunu yazmıştık. Şimdi bu kaynak modelini gerçekten işe yarar bir yerde kullanıyoruz. İdeal noktasal kaynağı vektör potansiyeli integraline yerleştirip ifadenin nasıl sadeleştiğini izliyoruz. Bu, serideki ilk tam kaynaktan alana örneğidir.

  2. 2. Noktasal kaynağı orijine yerleştir

    Delta ile çöken kaynak integrali, orijindeki noktasal kaynak, A(r)=C e^(−jkr)/r sonucu ve r ile 2r gözlemcilerini gösteren ders karesi.
    1/r küresel yayılma nedeniyle genliği azaltır; e^(−jkr) ise yol boyunca biriken fazı taşır.

    Geometriyi temiz tutmak için noktasal kaynağı önce orijine koyuyoruz.

    Gözlemci, r konum vektöründedir.

    Kaynak tek bir noktada toplandığı için bu örnekte kaynak noktası ile orijin aynı yer olur.

    Bu tek seçim, notasyonun önemli bir kısmını daha baştan sadeleştirir.

    Sesli anlatım metni

    Geometriyi temiz tutmak için noktasal kaynağı önce orijine koyuyoruz. Gözlemci, r konum vektöründedir. Kaynak tek bir noktada toplandığı için bu örnekte kaynak noktası ile orijin aynı yer olur. Bu tek seçim, notasyonun önemli bir kısmını daha baştan sadeleştirir.

  3. 3. Delta fonksiyonuyla hacim integralini çökert

    Delta ile çöken kaynak integrali, orijindeki noktasal kaynak, A(r)=C e^(−jkr)/r sonucu ve r ile 2r gözlemcilerini gösteren ders karesi.
    1/r küresel yayılma nedeniyle genliği azaltır; e^(−jkr) ise yol boyunca biriken fazı taşır.

    Delta fonksiyonu burada gerçek işi yapar.

    İntegralin içinde, uzayın geri kalanını bırak ve yalnızca seçilmiş kaynak konumunun katkısını tut der.

    Böylece yayılmış bir kaynak bölgesi yerine tek bir noktanın katkısını örneklemiş oluruz.

    Bu yüzden noktasal kaynak örneği, ilk ışıma hesabı için en temiz örnektir.

    Sesli anlatım metni

    Delta fonksiyonu burada gerçek işi yapar. İntegralin içinde, uzayın geri kalanını bırak ve yalnızca seçilmiş kaynak konumunun katkısını tut der. Böylece yayılmış bir kaynak bölgesi yerine tek bir noktanın katkısını örneklemiş oluruz. Bu yüzden noktasal kaynak örneği, ilk ışıma hesabı için en temiz örnektir.

  4. 4. Orijinde R=r ve A(r)=C·e^(−jkr)/r sonucunu çıkar

    Delta ile çöken kaynak integrali, orijindeki noktasal kaynak, A(r)=C e^(−jkr)/r sonucu ve r ile 2r gözlemcilerini gösteren ders karesi.
    1/r küresel yayılma nedeniyle genliği azaltır; e^(−jkr) ise yol boyunca biriken fazı taşır.

    Kaynak orijinde tek noktaya çöktüğünde, kaynak gözlemci uzaklığı R = r olur.

    Vektör potansiyeli bu durumda A(r) = C·e(−jkr)/r biçimini alır.

    Dersin ilk büyük kazancı budur.

    Kompakt bir kaynak tanımı, kompakt bir ışıma ifadesine dönüşür.

    Sesli anlatım metni

    Kaynak orijinde tek noktaya çöktüğünde, kaynak gözlemci uzaklığı büyük R doğrudan r olur. Vektör potansiyeli bu durumda bir sabit çarpı, e üzeri eksi j k r bölü r biçimini alır. Dersin ilk büyük kazancı budur. Kompakt bir kaynak tanımı, kompakt bir ışıma ifadesine dönüşür.

  5. 5. Kaynak kayınca yalnız uzaklık terimini güncelle

    Delta ile çöken kaynak integrali, orijindeki noktasal kaynak, A(r)=C e^(−jkr)/r sonucu ve r ile 2r gözlemcilerini gösteren ders karesi.
    1/r küresel yayılma nedeniyle genliği azaltır; e^(−jkr) ise yol boyunca biriken fazı taşır.

    Noktasal kaynak orijinde değilse hikâye yine aynıdır.

    Değişen tek şey uzaklık terimidir.

    r yerine, kaynakla gözlemci arasındaki tam ayrım büyüklüğünü açık biçimde taşırız.

    Yani noktasal kaynak sonucu orijine bağlı değildir.

    Orijin durumu sadece en temiz ilk sürümdür.

    Sesli anlatım metni

    Noktasal kaynak orijinde değilse hikâye yine aynıdır. Değişen tek şey uzaklık terimidir. r yerine, kaynakla gözlemci arasındaki tam ayrım büyüklüğünü açık biçimde taşırız. Yani noktasal kaynak sonucu orijine bağlı değildir. Orijin durumu sadece en temiz ilk sürümdür.

  6. 6. 1/r genlik azalmasını ve e^(−jkr) fazını ayır

    Delta ile çöken kaynak integrali, orijindeki noktasal kaynak, A(r)=C e^(−jkr)/r sonucu ve r ile 2r gözlemcilerini gösteren ders karesi.
    1/r küresel yayılma nedeniyle genliği azaltır; e^(−jkr) ise yol boyunca biriken fazı taşır.

    Sonucu iki parçada oku.

    Bir bölü r çarpanı, dalga daha büyük küresel yüzeylere yayıldığı için genliğin uzaklıkla zayıfladığını söyler.

    Üstel faz terimi ise bozucunun dışa doğru yayıldığını ve uzaklık arttıkça faz biriktirdiğini söyler.

    Bir terim yayılma hikâyesini anlatır.

    Diğer terim yolculuk hikâyesini anlatır.

    Sesli anlatım metni

    Sonucu iki parçada oku. Bir bölü r çarpanı, dalga daha büyük küresel yüzeylere yayıldığı için genliğin uzaklıkla zayıfladığını söyler. Üstel faz terimi ise bozucunun dışa doğru yayıldığını ve uzaklık arttıkça faz biriktirdiğini söyler. Bir terim yayılma hikâyesini anlatır. Diğer terim yolculuk hikâyesini anlatır.

  7. 7. r ve 2r gözlemcilerinin genlik ve fazını karşılaştır

    Delta ile çöken kaynak integrali, orijindeki noktasal kaynak, A(r)=C e^(−jkr)/r sonucu ve r ile 2r gözlemcilerini gösteren ders karesi.
    1/r küresel yayılma nedeniyle genliği azaltır; e^(−jkr) ise yol boyunca biriken fazı taşır.

    Şimdi iki gözlemciyi karşılaştır.

    Bir gözlemci r uzaklığında, diğeri 2r uzaklığında olsun.

    İkinci gözlemci aynı alanı görmez.

    Bir bölü r çarpanı yüzünden genliği yarıya iner ve üstel terim içinde kr daha fazla faz gecikmesi birikir.

    Demek ki bu basit örnek bile iki ana fikri açığa çıkarıyor: zayıflama ve faz ilerlemesi.

    Sesli anlatım metni

    Şimdi iki gözlemciyi karşılaştır. Bir gözlemci r uzaklığında, diğeri iki r uzaklığında olsun. İkinci gözlemci aynı alanı görmez. Bir bölü r çarpanı yüzünden genliği yarıya iner ve üstel terim içinde bir k r daha fazla faz gecikmesi birikir. Demek ki bu basit örnek bile iki ana fikri açığa çıkarıyor: zayıflama ve faz ilerlemesi.

  8. 8. Noktasal kaynak çözümünün dört sonucunu özetle

    Delta ile çöken kaynak integrali, orijindeki noktasal kaynak, A(r)=C e^(−jkr)/r sonucu ve r ile 2r gözlemcilerini gösteren ders karesi.
    1/r küresel yayılma nedeniyle genliği azaltır; e^(−jkr) ise yol boyunca biriken fazı taşır.

    Noktasal kaynak örneği işte bu yüzden önemlidir.

    Bu, ilgilendiğimiz son anten yapısı değildir ama önce çözebileceğimiz en temiz kaynaktan alana örnektir.

    Delta kaynağı yerelleştirir.

    İntegral çöker.

    Orijinde büyük R, r olur.

    Ve son ifade tek başına küresel yayılmayı ve yayılım fazını gösterir.

    Sesli anlatım metni

    Noktasal kaynak örneği işte bu yüzden önemlidir. Bu, ilgilendiğimiz son anten yapısı değildir ama önce çözebileceğimiz en temiz kaynaktan alana örnektir. Delta kaynağı yerelleştirir. İntegral çöker. Orijinde büyük R, r olur. Ve son ifade tek başına küresel yayılmayı ve yayılım fazını gösterir.

Kaynak video: Anten Teorisi #06 | Nokta Kaynak Işıması | Neden e^(-jkr) / r Çıkar? (2:47)