Devre Teorisi · Devre Teorisi Temelleri

#01 Ohm yasası, akım, kapasitör ve devre kaynakları

Mikroskobik iletim bağıntısından V = IR'ye geç; akımı, kapasitörü ve dört kaynak türünü doğru referanslarla kur.

Soru

Düzgün iletkende uzunluk, kesit alanı, elektrik alan ve akım gösterilerek J eşittir sigma E bağıntısından V eşittir I R türetiliyor.
Geometriyi koruyan doğru geçiş: R = L/(σA) ve V = IR.

Düzgün kesitli bir iletkende J = σE bağıntısından başlayarak Ohm yasasını türetin. Akımı yük akış hızı olarak tanımlayın, Q = CV bağıntısından kapasitör akım-gerilim ilişkisini çıkarın ve bağımsız/bağımlı gerilim ile akım kaynaklarının dört temel türünü açıklayın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Alandan devreye geçiş

    İletkenin alan ve devre büyüklükleri arasındaki geçiş şeması.
    J = σE, düzgün iletkendeki yerel iletim bağıntısıdır.

    DC iletim: J = σE

    J: akım yoğunluğu, E: elektrik alan

    σ: iletkenlik [S/m]

    Amaç: alan büyüklüklerini I ve V'ye dönüştürmek

    Sesli anlatım metni

    Devre yasalarının alan kuramındaki başlangıç noktası, doğrusal ve izotrop bir iletkende kullanılan mikroskobik Ohm bağıntısıdır: J eşittir sigma çarpı E. Burada J amper bölü metre kare cinsinden akım yoğunluğunu, E volt bölü metre cinsinden elektrik alanı gösterir. Sigma malzemenin siemens bölü metre cinsinden elektriksel iletkenliğidir. Şimdi bu yerel büyüklükleri devrede ölçtüğümüz toplam akım ve uç gerilimine dönüştüreceğiz.

  2. 2. Ohm yasasının türetilmesi

    Uzunluğu L ve kesiti A olan iletkenden Ohm yasasının türetilmesi.
    İletkenlik doğrudan bir bölü R değildir; L ve A geometrisi mutlaka hesaba katılır.

    Düzgün iletken: J = I/A, E = V/L

    I/A = σ(V/L)

    R = L/(σA)

    V = IR

    Sesli anlatım metni

    Uzunluğu L ve sabit kesit alanı A olan düzgün bir iletkende akım yoğunluğu I bölü A, elektrik alan ise V bölü L'dir. Bu ifadeleri J eşittir sigma E bağıntısına yerleştirince I bölü A eşittir sigma çarpı V bölü L elde edilir. Geometri ve malzeme özelliklerini R eşittir L bölü sigma A biçiminde tek bir dirençte toplarız. Düzenleme sonunda V eşittir I çarpı R çıkar. Böylece iletkenin geometrisini kaybetmeden Ohm yasasına ulaşırız.

  3. 3. Kısa Ohm örneği

    Ohm yasası türetimi ve temel büyüklükler.
    V = IR aynı zamanda I = V/R ve R = V/I biçimlerinde kullanılabilir.

    V = 12 V, R = 4 Ω

    I = V/R

    I = 12/4 = 3 A

    Birim kontrolü: V/Ω = A

    Sesli anlatım metni

    On iki volt gerilim uygulanan dört ohmluk bir direnç düşünelim. Ohm yasasını akım için çözersek I eşittir V bölü R olur. On ikiyi dörde böldüğümüzde akım üç amper bulunur. Birim kontrolü de sonucu doğrular; volt bölü ohm amperdir.

  4. 4. Akımın tanımı

    İletken kesitinden geçen yükler ve akım tanımı ile kapasitör plakaları gösteriliyor.
    Akım, yükün hareket hızıdır; yön oku hesap için seçilmiş referanstır.

    i(t) = dq(t)/dt

    Akım = birim zamanda geçen yük

    1 A = 1 C/s

    Pozitif yön bir referanstır

    Sesli anlatım metni

    Elektrik akımı, yükün zamana göre değişim hızıdır: i t eşittir d q t bölü d t. Başka bir deyişle seçilen kesitten birim zamanda ne kadar net yük geçtiğini ölçer. Bir saniyede bir coulomb yük geçmesi bir amper akıma karşılık gelir. Şemadaki akım oku fiziksel sonucu önceden dayatmaz; yalnız pozitif referans yönünü seçer. Negatif sonuç gerçek akışın ters yönde olduğunu söyler.

  5. 5. Kapasitör bağıntısı

    Kapasitör plakaları yanında q eşittir C v ve i eşittir C d v bölü d t bağıntıları.
    Direnç akımı gerilime, kapasitör akımı gerilimin değişim hızına bağlıdır.

    q(t) = C vC(t)

    iC(t) = dq/dt

    iC(t) = C · dvC/dt

    vC sabitse ideal kapasitörde iC = 0

    Sesli anlatım metni

    Sabit C değerli doğrusal bir kapasitörde depolanan yük q t eşittir C çarpı v C t bağıntısına uyar. Kapasitöre giren akım yükün zaman türevi olduğundan i C eşittir d q bölü d t'dir. C sabitken türev alınırsa i C t eşittir C çarpı d v C bölü d t bulunur. Bu nedenle ideal bir kapasitörün gerilimi zamanla değişmiyorsa gerilim büyük olsa bile kapasitör akımı sıfırdır.

  6. 6. Dört kaynak türü

    Bağımsız ve bağımlı gerilim ile akım kaynaklarının dört sembolü.
    Daire bağımsız, eşkenar dörtgen kontrollü kaynağı gösterir.

    Bağımsız kaynak: daire

    Bağımlı kaynak: eşkenar dörtgen

    Gerilim kaynağı: + / − kutupları

    Akım kaynağı: ok yönü

    Sesli anlatım metni

    Bağımsız kaynakların değeri devrenin başka bir büyüklüğüne bağlı değildir ve sembolleri dairedir. Bağımlı ya da kontrollü kaynakların değeri başka bir gerilim veya akımla belirlenir; sembolleri eşkenar dörtgendir. Gerilim kaynaklarında artı ve eksi işaretleri gerilim referansını gösterir. Akım kaynaklarında ok, pozitif akım yönünü gösterir. Böylece bağımsız ve bağımlı gerilim kaynaklarıyla bağımsız ve bağımlı akım kaynaklarından oluşan dört tür elde edilir.

  7. 7. Sonuç ve kontrol

    Devre teorisinin dört temel kaynak sembolü.
    Bu tanımlar sonraki bütün devre analizlerinin ortak dilidir.

    J = σE + geometri → V = IR

    i = dq/dt

    iC = C · dvC/dt

    Kaynaklarda değer ve referans yönünü ayır

    Sesli anlatım metni

    Özetle yerel J eşittir sigma E bağıntısı, iletkenin uzunluğu ve kesiti hesaba katıldığında V eşittir I R'ye dönüşür. Akım, yükün zamana göre değişim hızıdır. Kapasitör akımı ise gerilimin değişim hızına bağlıdır: i C eşittir C d v C bölü d t. Kaynak sembollerinde gerçek değeri seçilen artı eksi ya da ok referansından ayırmak, ileride KCL ve KVL denklemlerini hatasız kurmanın temelidir.

Kaynak video: Circuit Theory #01 — Ohm's Law from Maxwell's Equations (5:38)