Kontrol Teorisi · Plant Modelleme ve Paralel RC Devresi

#04 Paralel RC devresinde giriş akımı ile çıkış gerilimi arasındaki diferansiyel plant modelinin çıkarılması

Paralel RC devresinde iki dal akımını çıkarıp giriş u ile çıkış y arasındaki diferansiyel plant modelini kurun.

Soru

Paralel RC devresinin giriş akımı, çıkış gerilimi, dal akımları ve diferansiyel plant modelini gösteren ders karesi. — Kirchhoff akım yasası ve eleman bağıntıları u=y/R+C·dy/dt diferansiyel plant modelini verir.

Plant modellemenin neden-sonuç anlamını açıklayın; akım girişli ve gerilim çıkışlı paralel RC devresinde direnç ve kapasitör dal akımlarını bulun; i=i₁+i₂ bağıntısından u=y/R+C·dy/dt standart plant modelini çıkarın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Plant modelleme hedefini RC devresiyle kur
Kirchhoff akım yasası ve eleman bağıntıları u=y/R+C·dy/dt diferansiyel plant modelini verir.
Kontrol teorisi ders 4'e hoş geldiniz.
Bugün plant modellemeyi öğreneceğiz ve bunu gerçek bir örneğe uygulayacağız.
Sesli anlatım metni
Kontrol teorisi ders 4'e hoş geldiniz. Bugün plant modellemeyi öğreneceğiz ve bunu gerçek bir örneğe uygulayacağız.
2. Plant modellemeyi neden-sonuç ilişkisiyle tanımla
Kirchhoff akım yasası ve eleman bağıntıları u=y/R+C·dy/dt diferansiyel plant modelini verir.
RC devresi.
Plant modelleme nedir?
Bir sistemdeki sinyaller arasındaki neden-sonuç ilişkisinin matematiksel tanımıdır.
Girişin çıkışı nasıl etkilediğini tanımlarız.
Bu matematiksel model, kontrolör tasarlamamıza ve sistem davranışını tahmin etmemize olanak tanır.
Sesli anlatım metni
RC devresi. Plant modelleme nedir? Bir sistemdeki sinyaller arasındaki neden-sonuç ilişkisinin matematiksel tanımıdır. Girişin çıkışı nasıl etkilediğini tanımlarız. Bu matematiksel model, kontrolör tasarlamamıza ve sistem davranışını tahmin etmemize olanak tanır.
3. Akım girişli paralel RC devresini kur
Kirchhoff akım yasası ve eleman bağıntıları u=y/R+C·dy/dt diferansiyel plant modelini verir.
RC devremize bakalım.
Giriş akımı i'yi sağlayan bir akım kaynağımız, bir R direnci ve paralel bağlı bir C kapasitörümüz var.
Çıkış kapasitör üzerindeki V voltajıdır.
Amacımız giriş akımı ile çıkış voltajı arasındaki matematiksel ilişkiyi bulmaktır.
Sesli anlatım metni
RC devremize bakalım. Giriş akımı i'yi sağlayan bir akım kaynağımız, bir R direnci ve paralel bağlı bir C kapasitörümüz var. Çıkış kapasitör üzerindeki V voltajıdır. Amacımız giriş akımı ile çıkış voltajı arasındaki matematiksel ilişkiyi bulmaktır.
4. Giriş u ve çıkış y notasyonunu eşle
Kirchhoff akım yasası ve eleman bağıntıları u=y/R+C·dy/dt diferansiyel plant modelini verir.
Kontrol mühendisliğinde standart notasyon kullanırız.
Giriş u harfi ile, çıkış ise y harfi ile temsil edilir.
Bunu y=f(u) bağıntısı gibi düşünün.
u girişi bize y çıkışını verir.
Burada girişimiz u, akım i'dir ve çıkışımız y, voltaj V'dir.
Sesli anlatım metni
Kontrol mühendisliğinde standart notasyon kullanırız. Giriş u harfi ile, çıkış ise y harfi ile temsil edilir. Bunu y eşittir f(x) fonksiyonu gibi düşünün. x girişi bize y çıkışını verir. Burada girişimiz u, akım i'dir ve çıkışımız y, voltaj V'dir.
5. Direnç dalı akımını Ohm yasasıyla bul
Kirchhoff akım yasası ve eleman bağıntıları u=y/R+C·dy/dt diferansiyel plant modelini verir.
Giriş akımı iki dala ayrılır.
Dirençten geçen i1 ve kapasitörden geçen i2.
Direnç dalı için Ohm yasasını kullanırız.
$\displaystyle i₁=V/R.$
Direnç üzerindeki gerilim V olduğundan i₁=V/R elde ederiz.
Sesli anlatım metni
Giriş akımı iki dala ayrılır. Dirençten geçen i1 ve kapasitörden geçen i2. Direnç dalı için Ohm yasasını kullanırız. i1 akımı voltajın dirence bölümüne eşittir. Direnç üzerindeki voltaj V olduğundan i1 eşittir V bölü R elde ederiz.
6. Kapasitör dalı akımını yük türeviyle bul
Kirchhoff akım yasası ve eleman bağıntıları u=y/R+C·dy/dt diferansiyel plant modelini verir.
Kapasitör dalı için yük denklemi ile başlarız.
$\displaystyle Q=C\cdot V.$
Zamana göre türev alırsak dQ/dt=C·dV/dt elde ederiz.
Akım yükün değişim hızı olduğundan i₂=C·dV/dt olur.
Bu kapasitör akım denklemidir.
Sesli anlatım metni
Kapasitör dalı için yük denklemi ile başlarız. Q eşittir C çarpı V. Zamana göre türev alırsak dQ bölü dt eşittir C çarpı dV bölü dt elde ederiz. Akım, yükün değişim hızı olduğundan i2 eşittir C çarpı dV bölü dt olur. Bu kapasitör akım denklemidir.
7. Dal akımlarını RC plant modelinde birleştir
Kirchhoff akım yasası ve eleman bağıntıları u=y/R+C·dy/dt diferansiyel plant modelini verir.
Şimdi her şeyi birleştirelim.
Toplam akım i=i₁+i₂'dir.
İfadeleri yerine koyarsak i=V/R+C·dV/dt.
Giriş için u ve çıkış için y standart notasyonumuzu kullanarak şunu elde ederiz.
$\displaystyle u=\frac{y}{R}+C\cdot \mathrm{d}y/\mathrm{d}t.$
İşte plant modelimiz bu.
Sesli anlatım metni
Şimdi her şeyi birleştirelim. Toplam akım i, i1 artı i2'ye eşittir. İfadelerimizi yerine koyarsak i eşittir V bölü R artı C çarpı dV bölü dt. Giriş için u ve çıkış için y standart notasyonumuzu kullanarak şunu elde ederiz. u eşittir y bölü R artı C çarpı dy bölü dt. İşte plant modelimiz bu.
8. Plant modelini ve sonraki adımı toparla
Kirchhoff akım yasası ve eleman bağıntıları u=y/R+C·dy/dt diferansiyel plant modelini verir.
RC devre plant'imizi başarıyla modelledik.
Bu diferansiyel denklem giriş akımını çıkış voltajına bağlar.
Bir sonraki derste daha karmaşık sistemleri ve blok diyagramları keşfedeceğiz.
Görüşmek üzere.
Sesli anlatım metni
RC devre plant'imizi başarıyla modelledik. Bu diferansiyel denklem giriş akımını çıkış voltajına bağlar. Bir sonraki derste daha karmaşık sistemleri ve blok diyagramları keşfedeceğiz. Görüşmek üzere.