Kontrol Teorisi · Paralel RLC Devresi Plant Modelleme

#05 Paralel RLC devresinde giriş akımı ile çıkış gerilimi arasındaki ikinci dereceden diferansiyel plant modelinin çıkarılması

Paralel RLC devresinin üç dal akımını çıkarıp integral terimini türevle kaldırın ve ikinci dereceden plant modelini kurun.

Soru

Paralel RLC devresini, üç dal akımını ve ikinci dereceden diferansiyel plant modelini gösteren ders karesi. — Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.

Akım girişli ve gerilim çıkışlı paralel RLC devresini kurun; direnç, kapasitör ve indüktör dal akımlarını bulun; Kirchhoff akım yasasındaki integral terimini tüm denklemin türevini alarak giderin ve C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ standart plant modelini çıkarın.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. RLC plant modelleme hedefini kur
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Kontrol teorisi dersimizin 5.
bölümüne hoş geldiniz.
Bugün bir başka plant modelleme örneği üzerinde çalışacağız.
RLC paralel devresi.
Bu ders, bir önceki derste öğrendiğimiz RC devresi üzerine kurulu.
Sesli anlatım metni
Kontrol teorisi dersimizin 5. bölümüne hoş geldiniz. Bugün bir başka plant modelleme örneği üzerinde çalışacağız. RLC paralel devresi. Bu ders, bir önceki derste öğrendiğimiz RC devresi üzerine kurulu.
2. Önceki RC modelleme yöntemini hatırla
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Geçen dersimizde RC devresini diferansiyel denklemlerle modelledik.
Giriş ve çıkışları nasıl belirleyeceğimizi ve matematiksel modeli nasıl türeteceğimizi öğrendik.
Şimdi aynı yaklaşımı daha karmaşık bir devreye uygulayacağız.
Paralel bağlı direnç, kapasitör ve indüktör.
Sesli anlatım metni
Geçen dersimizde RC devresini diferansiyel denklemlerle modelledik. Giriş ve çıkışları nasıl belirleyeceğimizi ve matematiksel modeli nasıl türeteceğimizi öğrendik. Şimdi aynı yaklaşımı daha karmaşık bir devreye uygulayacağız. Paralel bağlı direnç, kapasitör ve indüktör.
3. Paralel RLC devresini ve ölçümü kur
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
İşte RLC paralel devremiz.
Bir direnç R, bir kapasitör C ve bir indüktör L.
Aynı iki düğümü paylaşıyor.
Bir akım kaynağı giriş akımını sağlıyor ve paralel kombinasyon üzerindeki çıkış voltajını ölçüyoruz.
Sesli anlatım metni
İşte RLC paralel devremiz. Bir direnç R, bir kapasitör C ve bir indüktör L. Aynı iki düğümü paylaşıyor. Bir akım kaynağı giriş akımını sağlıyor ve paralel kombinasyon üzerindeki çıkış voltajını ölçüyoruz.
4. Giriş u ve çıkış y değişkenlerini tanımla
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Kontrol mühendisliğinin ilk kuralı giriş ve çıkışı net olarak tanımlamaktır.
Neyi başarmak istiyoruz ve neyle?
Giriş akımı i ile çıkış gerilimi V'yi kontrol etmek istiyoruz.
Kontrol notasyonunda giriş u ile, çıkış y ile gösterilir.
u=i ve y=V olarak tanımlıyoruz.
Sesli anlatım metni
Kontrol mühendisliğinin ilk kuralı giriş ve çıkışı net olarak tanımlamaktır. Neyi başarmak istiyoruz ve neyle? Giriş akımı i ile çıkış voltajı V'yi kontrol etmek istiyoruz. Kontrol notasyonunda giriş u ile, çıkış y ile gösterilir. Yani tanımlıyoruz: u eşittir i ve y eşittir V.
5. Üç dal için Kirchhoff akım yasasını yaz
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Şimdi devreyi analiz edelim.
Ana akım i paralel kombinasyona girer ve üç kola ayrılır.
Kirchhoff'un akım yasasına göre bir düğüme giren akımların toplamı, çıkan akımların toplamına eşittir.
Ana akım için i=i₁+i₂+i₃.
Sesli anlatım metni
Şimdi devreyi analiz edelim. Ana akım i paralel kombinasyona girer ve üç kola ayrılır. Kirchhoff'un akım yasasına göre bir düğüme giren akımların toplamı, çıkan akımların toplamına eşittir. Ana akımımız i, i1 artı i2 artı i3'e eşittir.
6. Direnç dalının gerilim koşulunu kur
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Her dal akımını bulalım.
Dirençten geçen i₁ akımıyla başlayalım.
Paralel devrede tüm elemanlar aynı voltajı paylaşır.
Direnç üzerindeki voltaj V'ye eşittir ve diğer ucu toprağa, yani sıfır volta bağlıdır.
Sesli anlatım metni
Her dal akımını bulalım. Dirençten geçen i1 akımıyla başlayalım. Paralel devrede tüm elemanlar aynı voltajı paylaşır. Direnç üzerindeki voltaj V'ye eşittir ve diğer ucu toprağa, yani sıfır volta bağlıdır.
7. Direnç akımı i₁'i hesapla
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Ohm yasasını kullanarak akım, voltajın dirence bölümüne eşittir.
Voltaj farkı V eksi sıfır, yani basitçe V'dir.
Dolayısıyla i₁=V/R.
Bu direnç akımıdır.
Sesli anlatım metni
Ohm yasasını kullanarak akım, voltajın dirence bölümüne eşittir. Voltaj farkı V eksi sıfır, yani basitçe V'dir. Dolayısıyla i1 eşittir V bölü R. Bu direnç akımıdır.
8. Kapasitör bağıntısını kur
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Şimdi kapasitör akımı i₂'yi bulalım.
Bunun için temel kapasitör ilişkisini hatırlamamız gerekiyor.
Yük bağıntısı Q=C·V'dir.
Ama bize yük değil, akım lazım.
Sesli anlatım metni
Şimdi i2 akımını, kapasitör akımını bulalım. Bunun için temel kapasitör ilişkisini hatırlamamız gerekiyor. Yük Q, kapasitans C çarpı voltaj V'ye eşittir. Ama bize yük değil, akım lazım.
9. Kapasitör akımı i₂'yi hesapla
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Akım, yükün zamana göre değişim hızı olarak tanımlanır.
Bu yüzden Q=C·V bağıntısının iki tarafının zamana göre türevini alırız.
Kapasitans C sabittir, bu yüzden türevin dışına çıkar.
Böylece elde ederiz.
i₂=C·dV/dt.
Kapasitör akımı voltajın ne kadar hızlı değiştiğine bağlıdır.
Sesli anlatım metni
Akım, yükün zamana göre değişim hızı olarak tanımlanır. Bu yüzden Q eşittir C V'nin her iki tarafının zamana göre türevini alırız. Kapasitans C sabittir, bu yüzden türevin dışına çıkar. Böylece elde ederiz. i2 eşittir C çarpı dV bölü dt. Kapasitör akımı voltajın ne kadar hızlı değiştiğine bağlıdır.
10. İndüktör gerilim-akım bağıntısını kur
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Son olarak indüktör akımı i₃'ü bulalım.
İndüktörler için voltaj-akım ilişkisini kullanırız.
İndüktör dalında V=L·di₃/dt.
Bu bize indüktör üzerindeki voltajın akımın ne kadar hızlı değiştiğine bağlı olduğunu söyler.
Sesli anlatım metni
Son olarak i3 akımını, indüktör akımını bulalım. İndüktörler için voltaj-akım ilişkisini kullanırız. V eşittir L çarpı di bölü dt. Bu bize indüktör üzerindeki voltajın akımın ne kadar hızlı değiştiğine bağlı olduğunu söyler.
11. İndüktör akımı i₃'ü hesapla
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Ama biz voltajı değil, akımı istiyoruz.
i₃ akımını çözmemiz gerekiyor.
Her iki tarafın zamana göre integralini alırsak sağ taraftaki türev ve integral birbirini götürür.
Böylece elde ederiz.
Sıfır başlangıç akımı varsayımıyla i₃=(1/L)∫V dt.
Sesli anlatım metni
Ama biz voltajı değil, akımı istiyoruz. i3 akımını çözmemiz gerekiyor. Her iki tarafın zamana göre integralini alırsak sağ taraftaki türev ve integral birbirini götürür. Böylece elde ederiz. i3 eşittir bir bölü L çarpı V'nin zamana göre integrali.
12. Üç dal akımını ana denklemde birleştir
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Şimdi üç dal akımının hepsine sahibiz.
Tam denklemimizi yazalım.
Ana akım i, tüm dal akımlarının toplamına eşittir.
i=V/R+C·dV/dt+(1/L)∫V dt.
Sesli anlatım metni
Şimdi üç dal akımının hepsine sahibiz. Tam denklemimizi yazalım. Ana akım i, tüm dal akımlarının toplamına eşittir. V bölü R artı C çarpı dV bölü dt artı bir bölü L çarpı V'nin zamana göre integrali.
13. İntegral teriminin oluşturduğu sorunu belirle
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Bu denklemle ilgili bir sorun var.
Kontrol teorisinde integro-diferansiyel denklemlerle değil, diferansiyel denklemlerle çalışmayı tercih ederiz.
O integral terimi analizi zorlaştırıyor.
Onu ortadan kaldırmamız gerekiyor.
Sesli anlatım metni
Bu denklemle ilgili bir sorun var. Kontrol teorisinde integro-diferansiyel denklemlerle değil, diferansiyel denklemlerle çalışmayı tercih ederiz. O integral terimi analizi zorlaştırıyor. Onu ortadan kaldırmamız gerekiyor.
14. İntegral terimini tüm denklemin türeviyle kaldır
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Çözüm, tüm denklemin zamana göre türevini almaktır.
Bir integralin türevini aldığımızda birbirlerini götürürler.
Türevi uygulayarak elde ederiz.
di/dt=(1/R)·dV/dt+C·d²V/dt²+(1/L)·V.
Sesli anlatım metni
Çözüm, tüm denklemin zamana göre türevini almaktır. Bir integralin türevini aldığımızda birbirlerini götürürler. Türevi uygulayarak elde ederiz. di bölü dt eşittir bir bölü R çarpı dV bölü dt artı C çarpı d kare V bölü dt kare artı bir bölü L çarpı V.
15. Kontrol değişkenleri u ve y'yi yerine koy
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Şimdi kontrol değişkenlerimizi yerine koyalım.
V'yi y ile çıkış için, i'yi u ile giriş için değiştiriyoruz.
Bu bize verir.
du/dt=(1/R)·dy/dt+C·d²y/dt²+(1/L)·y.
Sesli anlatım metni
Şimdi kontrol değişkenlerimizi yerine koyalım. V'yi y ile çıkış için, i'yi u ile giriş için değiştiriyoruz. Bu bize verir. du bölü dt eşittir bir bölü R çarpı dy bölü dt artı C çarpı d kare y bölü dt kare artı bir bölü L çarpı y.
16. İkinci dereceden RLC plant modelini yaz
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Standart forma düzenlersek çıkış terimleri solda.
$\displaystyle C\cdot ÿ+\left(\frac{1}{R}\right)\cdot ẏ+\left(\frac{1}{L}\right)\cdot y=u̇.$
Bu ikinci dereceden diferansiyel denklem, RLC paralel devremizin plant modelidir.
Sesli anlatım metni
Standart forma düzenlersek çıkış terimleri solda. C çarpı y iki nokta artı bir bölü R çarpı y nokta artı bir bölü L çarpı y eşittir u nokta. Bu ikinci dereceden diferansiyel denklem, RLC paralel devremizin plant modelidir.
17. RLC plant modelleme akışını toparla
Kirchhoff akım yasası ve R, C, L eleman bağıntıları C·ÿ+(1/R)·ẏ+(1/L)·y=u̇ modelini verir.
Neler başardığımızı gözden geçirelim.
Giriş akımını ve çıkış voltajını tanımladık.
Ohm yasası, kapasitör denklemleri ve indüktör denklemlerini kullanarak her elemanın akımını bulduk.
Kirchhoff yasasıyla birleştirdik.
İntegral terimini kaldırmak için türev aldık.
Ve final modeli standart kontrol formunda ifade ettik.
Bir sonraki derste bu denklemlerden blok diyagramları nasıl çizeceğimizi öğreneceğiz.
Görüşmek üzere.
Sesli anlatım metni
Neler başardığımızı gözden geçirelim. Giriş akımını ve çıkış voltajını tanımladık. Ohm yasası, kapasitör denklemleri ve indüktör denklemlerini kullanarak her elemanın akımını bulduk. Kirchhoff yasasıyla birleştirdik. İntegral terimini kaldırmak için türev aldık. Ve final modeli standart kontrol formunda ifade ettik. Bir sonraki derste bu denklemlerden blok diyagramları nasıl çizeceğimizi öğreneceğiz. Görüşmek üzere.