#15 Gauss yasasından Poisson ve Laplace denklemleri, üç koordinat sisteminde Laplasiyen, sınır değer çözüm prosedürü ve elektrohidrodinamik pompa örneği

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Dielektriklerden potansiyel denklemlerine geç

   

   Bir önceki dersimizde polarizasyon ve dielektrikleri incelemiştik.

   Polarizasyon vektörü P'yi, bağlı yük yoğunluklarını, dielektrik sabiti ε_r ve geçirgenlik ε kavramlarını tanımladık.

   Ayrıca dielektrik arayüzlerde D ve E için sınır koşullarını kurduk.

   Bugün elektrostatiğin en güçlü araçlarından birine geçiyoruz: Poisson ve Laplace denklemleri.

   Bu denklemler, yük dağılımını her yerde bilmesek bile sınır koşullarından elektrik potansiyeli V'yi bulmamızı sağlar.

   Sesli anlatım metni

   Bir önceki dersimizde polarizasyon ve dielektrikleri incelemiştik. Polarizasyon vektörü P'yi, bağlı yük yoğunluklarını, dielektrik sabiti epsilon r ve geçirgenlik epsilon kavramlarını tanımladık. Ayrıca dielektrik arayüzlerde D ve E için sınır koşullarını kurduk. Bugün elektrostatiğin en güçlü araçlarından birine geçiyoruz: Poisson ve Laplace denklemleri. Bu denklemler, yük dağılımını her yerde bilmesek bile sınır koşullarından elektrik potansiyeli V'yi bulmamızı sağlar.

2. 2. Poisson ve Laplace denklemlerini türet

   

   Bu denklemleri bildiğimiz eşitliklerden türetelim.

   Diferansiyel formda Gauss yasasından başlıyoruz: D'nin diverjansı, hacim yük yoğunluğu ρ_v'ye eşittir.

   Doğrusal, izotropik ve homojen ortamda D = εE; dolayısıyla ∇·(εE) = ρ_v.

   Ayrıca E = −∇V.

   Bunu Gauss yasasına koyarsak: negatif ε çarpı V'nin gradyanının diverjansı, ρ_v'ye eşittir.

   Epsilon bölge boyunca sabitse, dışarı çıkarabiliriz: negatif ε çarpı V'nin ∇²V, ρ_v'ye eşittir.

   Böylece Poisson denklemini elde ederiz: V'nin ∇²V, negatif ρ_v bölü ε'a eşittir.

   Bölgede serbest yük yoksa, ρ_v sıfırdır ve Poisson denklemi Laplace denklemine sadeleşir: V'nin ∇²V sıfıra eşittir.

   Sesli anlatım metni

   Bu denklemleri bildiğimiz eşitliklerden türetelim. Diferansiyel formda Gauss yasasından başlıyoruz: D'nin diverjansı, hacim yük yoğunluğu rho v'ye eşittir. Doğrusal, izotropik, homojen bir ortamda D, epsilon çarpı E'ye eşittir, dolayısıyla epsilon E'nin diverjansı rho v'ye eşittir. E'nin, V'nin negatif gradyanına eşit olduğunu da biliyoruz. Bunu Gauss yasasına koyarsak: negatif epsilon çarpı V'nin gradyanının diverjansı, rho v'ye eşittir. Epsilon bölge boyunca sabitse, dışarı çıkarabiliriz: negatif epsilon çarpı V'nin Laplasiyeni, rho v'ye eşittir. Böylece Poisson denklemini elde ederiz: V'nin Laplasiyeni, negatif rho v bölü epsilon'a eşittir. Bölgede serbest yük yoksa, rho v sıfırdır ve Poisson denklemi Laplace denklemine sadeleşir: V'nin Laplasiyeni sıfıra eşittir.

3. 3. Laplasiyeni üç koordinat sisteminde yaz

   

   V'nin ∇²V her koordinat sisteminde farklı biçim alır.

   Kartezyen koordinatlarda, x, y ve z'ye göre ikinci kısmi türevlerin toplamıdır.

   Silindirik koordinatlarda, rho türevli bir bölü rho terimi, fi türevli bir bölü rho kare terimi ve z türev terimi vardır.

   Küresel koordinatlarda, r türevli bir bölü r kare terimi, teta türevli bir bölü r kare sinüs teta terimi ve fi türevli bir bölü r kare sinüs kare teta terimi vardır.

   Sınır değer problemini çözmek için genel prosedür şudur: Birinci adım, Laplace veya Poisson denklemini doğrudan integrasyon ile çözüp bilinmeyen sabitlerle V'yi bulun.

   İkinci adım, sınır koşullarını uygulayarak sabitleri belirleyin.

   Üçüncü adım: E = −∇V ile alanı bulun.

   Dördüncü adım, gerekirse D'yi, yüzey yükünü veya kapasitansı bulun.

   Sesli anlatım metni

   V'nin Laplasiyeni her koordinat sisteminde farklı biçim alır. Kartezyen koordinatlarda, x, y ve z'ye göre ikinci kısmi türevlerin toplamıdır. Silindirik koordinatlarda, rho türevli bir bölü rho terimi, fi türevli bir bölü rho kare terimi ve z türev terimi vardır. Küresel koordinatlarda, r türevli bir bölü r kare terimi, teta türevli bir bölü r kare sinüs teta terimi ve fi türevli bir bölü r kare sinüs kare teta terimi vardır. Sınır değer problemini çözmek için genel prosedür şudur: Birinci adım, Laplace veya Poisson denklemini doğrudan integrasyon ile çözüp bilinmeyen sabitlerle V'yi bulun. İkinci adım, sınır koşullarını uygulayarak sabitleri belirleyin. Üçüncü adım, E eşittir negatif gradyan V'den E'yi bulun. Dördüncü adım, gerekirse D'yi, yüzey yükünü veya kapasitansı bulun.

4. 4. EHD pompası örneğini çöz

   

   Sadiku'dan Örnek 6.1'i adım adım çözelim.

   Bir elektrohidrodinamik pompada iki paralel elektrot d mesafesiyle ayrılmıştır.

   Aralarındaki bölge düzgün yük yoğunluğu ρ₀ içerir.

   Sol elektrot V₀ voltajında, sağ elektrot sıfır volttadır.

   Pompanın basıncını bulun.

   Verilen yük yoğunluğu ρ₀ = 25 mC/m³.

   Sol elektrot gerilimi V₀ = 22 kV.

   Birinci adım: ρ_v sıfır olmadığından Poisson denklemini kullanıyoruz.

   Potansiyel yalnızca z'ye bağlı, bu yüzden Laplasiyen d² V bölü d z² eşittir negatif ρ₀ bölü ε olur.

   İkinci adım: Bir kez integre edelim.

   Birinci integral: dV/dz = −ρ₀z/ε + A.

   Üçüncü adım: Tekrar integre edelim.

   İkinci integral:

   $\displaystyle V = -\frac{\rho ₀z²}{2\varepsilon }+ Az + B.$

   Dördüncü adım: Sınır koşullarını uygulayalım.

   V(0) = V₀ olduğundan B = V₀.

   $\displaystyle B = 22.000 V.$

   V(d) = 0 ⇒ 0 = −ρ₀d²/(2ε) + Ad + V₀.

   $\displaystyle A =\frac{ \rho ₀d}{2\varepsilon }- V₀/d.$

   Elektrik alanı E = −dV/dz.

   $\displaystyle E = \left(\frac{\rho ₀z}{\varepsilon }- A\right)a_{z}.$

   Net kuvvet F = ∫ρ₀E dv.

   İntegral sonucu F = ρ₀SV₀a_z.

   Basınç p = F/S = ρ₀V₀.

   p = 25×10⁻³×22×10³ Pa.

   Sonuç p = 550 N/m² = 550 Pa.

   Sesli anlatım metni

   Sadiku'dan Örnek 6.1'i adım adım çözelim. Bir elektrohidrodinamik pompada iki paralel elektrot d mesafesiyle ayrılmıştır. Aralarındaki bölge düzgün yük yoğunluğu rho o içerir. Sol elektrot V o voltajında, sağ elektrot sıfır volttadır. Pompanın basıncını bulun. Verilen değerler: rho o eşittir 25 milikulon bölü metreküp. V o eşittir 22 kilovolt. Birinci adım: rho v sıfır olmadığından Poisson denklemini kullanıyoruz. Potansiyel yalnızca z'ye bağlı, bu yüzden Laplasiyen d kare V bölü d z kare eşittir negatif rho o bölü epsilon olur. İkinci adım: Bir kez integre edelim. d V bölü d z eşittir negatif rho o z bölü epsilon, artı bir A sabiti. Üçüncü adım: Tekrar integre edelim. V eşittir negatif rho o z kare bölü 2 epsilon, artı A z, artı B. Dördüncü adım: Sınır koşullarını uygulayalım. z eşittir 0'da V eşittir V o, dolayısıyla B eşittir V o. Yani B eşittir 22000 volt. z eşittir d'de V eşittir 0'dır, dolayısıyla sıfır eşittir negatif rho o d kare bölü 2 epsilon, artı A d, artı V o. A'yı çözelim: A eşittir rho o d bölü 2 epsilon, eksi V o bölü d. Beşinci adım: Elektrik alanı E eşittir negatif d V bölü d z'dir. Bu bize rho o z bölü epsilon eksi A'yı, z yönünde verir. Yük üzerindeki net kuvvet F, rho o çarpı E'nin hacim integraline eşittir. Hesapladıktan sonra kuvvet F eşittir rho o çarpı S çarpı V o, z yönünde olur. Basınç, birim alana düşen kuvvettir: p eşittir rho o çarpı V o. Sayısal değerleri koyalım: p eşittir 25 çarpı 10 üzeri negatif 3, çarpı 22 çarpı 10 üzeri 3. Bu bize p eşittir 550 Newton bölü metrekare verir.

5. 5. Poisson–Laplace çözüm akışını özetle

   

   Özetleyelim.

   Poisson denklemi, V'nin ∇²V eşittir negatif ρ_v bölü ε, serbest yük varken geçerlidir.

   Laplace denklemi ∇²V = 0, yüksüz bölgelerde geçerlidir.

   Çözüm prosedürü: denklemi integre et, sınır koşullarını uygula, V'nin gradyanından E'yi bul.

   Bir sonraki dersimizde bu denklemleri direnç ve kapasitans hesaplarına uygulayacağız.

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Poisson denklemi, V'nin Laplasiyeni eşittir negatif rho v bölü epsilon, serbest yük varken geçerlidir. Laplace denklemi, V'nin Laplasiyeni eşittir sıfır, yüksüz bölgelerde geçerlidir. Çözüm prosedürü: denklemi integre et, sınır koşullarını uygula, V'nin gradyanından E'yi bul. Bir sonraki dersimizde bu denklemleri direnç ve kapasitans hesaplarına uygulayacağız.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #15 Poisson ve Laplace Denklemleri (5:26)