Elektromanyetik Teori · Polarizasyon ve Dielektrikler

#14 Dielektrik polarizasyonu, bağlı yükler, elektrik süseptibilitesi, permitivite, dielektrik dayanımı, malzeme sınıfları ve kapasitör örneği

Bağlı yükleri polarizasyondan çıkar, permitiviteyi kur ve dielektrikli bir kapasitörün alan, yük ve gerilimini hesapla.

Soru

Polarizasyon, bağlı yükler, permitivite, dielektrik dayanımı ve kapasitör örneğini gösteren ders karesi. — Polarizasyon bağlı yükleri doğurur; lineer dielektrikte D = εE bağıntısı geçerlidir.

Polarizasyon vektörünü ve bağlı yükleri türetin; D = ε₀E + P bağıntısından permitiviteyi kurun, dielektrik dayanımını ve basit malzemeleri sınıflandırın, ardından dielektrikli kapasitör örneğini çözün.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. İletkenlerden dielektriklere geç
Polarizasyon bağlı yükleri doğurur; lineer dielektrikte D = εE bağıntısı geçerlidir.
Önceki derste elektrik akımlarını ve iletkenleri inceledik.
Ohm yasasının noktasal biçimi J = σE; tekdüze iletkende R = ℓ/(σS).
Ayrıca statik dengede mükemmel bir iletkenin içinde elektrik alanının sıfır olduğunu gördük.
Bugün diğer tarafa geçiyoruz: dielektrikler — yalıtkanlar.
Uygulanan bir elektrik alanının dielektriği nasıl kutuplaştırdığını ve bağlı yükler oluşturduğunu öğreneceğiz.
Duyarlılık, geçirgenlik ve dielektrik sabitini tanımlayacağız.
Malzemeleri doğrusal, izotropik ve homojen olarak sınıflandıracağız.
Son olarak süreklilik denklemini ve gevşeme zamanı kavramını türeteceğiz.
Sesli anlatım metni
Önceki derste elektrik akımlarını ve iletkenleri inceledik. Akım yoğunluğunun Je eşittir sigma çarpı E olduğunu — yani Ohm yasasının noktasal formunu — öğrendik ve direnci Ar eşittir uzunluk bölü sigma çarpı kesit alanı olarak türettik. Ayrıca statik dengede mükemmel bir iletkenin içinde elektrik alanının sıfır olduğunu gördük. Bugün diğer tarafa geçiyoruz: dielektrikler — yalıtkanlar. Uygulanan bir elektrik alanının dielektriği nasıl kutuplaştırdığını ve bağlı yükler oluşturduğunu öğreneceğiz. Duyarlılık, geçirgenlik ve dielektrik sabitini tanımlayacağız. Malzemeleri doğrusal, izotropik ve homojen olarak sınıflandıracağız. Son olarak süreklilik denklemini ve gevşeme zamanı kavramını türeteceğiz.
2. Polarizasyonu ve bağlı yükleri tanımla
Polarizasyon bağlı yükleri doğurur; lineer dielektrikte D = εE bağıntısı geçerlidir.
Bir yalıtkana elektrik alanı uyguladığınızda ne olur?
İletkenden farklı olarak yükler serbestçe akamaz.
Bunun yerine her atom veya molekül hafifçe deforme olur — pozitif çekirdek E yönünde, negatif elektron bulutu ise E'nin tersine kayar.
Bu her atomda küçük bir elektrik dipol oluşturur.
Bir atomun dipol momenti p = Qd; d, negatif yükten pozitif yüke yönelir.
Moleküller iki kategoriye ayrılır.
Hidrojen ve azot gibi apolar moleküllerin kalıcı dipolleri yoktur — dipol yalnızca alan tarafından indüklenir.
Su gibi polar moleküllerin zaten yerleşik bir dipol momenti vardır ve uygulanan alan onları kısmi hizalamaya döndürür.
Polarizasyon vektörü Pe'yi birim hacim başına dipol momenti olarak tanımlarız.
Pe'nin birimi kulomb bölü metrekare'dir.
Polarizasyon, bağlı yükler dediğimiz yükleri oluşturur — serbestçe hareket edemeyen ama toplu yer değiştirmeden kaynaklanan yükler.
Bağlı yüzey yük yoğunluğu ρ_ps = P·a_n.
Bağlı hacimsel yük yoğunluğu ρ_pv = −∇·P.
Bu bağlı yükler kendi elektrik alanlarını üretir ve uygulanan alana kısmen karşı koyarak dielektrik içindeki toplam alanı azaltır.
Sesli anlatım metni
Bir yalıtkana elektrik alanı uyguladığınızda ne olur? İletkenden farklı olarak yükler serbestçe akamaz. Bunun yerine her atom veya molekül hafifçe deforme olur — pozitif çekirdek E yönünde, negatif elektron bulutu ise E'nin tersine kayar. Bu her atomda küçük bir elektrik dipol oluşturur. Bir atomun dipol momenti pe eşittir Kü çarpı de'dir, burada de, eksiden artıya doğru olan yer değiştirme vektörüdür. Moleküller iki kategoriye ayrılır. Hidrojen ve azot gibi apolar moleküllerin kalıcı dipolleri yoktur — dipol yalnızca alan tarafından indüklenir. Su gibi polar moleküllerin zaten yerleşik bir dipol momenti vardır ve uygulanan alan onları kısmi hizalamaya döndürür. Polarizasyon vektörü Pe'yi birim hacim başına dipol momenti olarak tanımlarız. Pe'nin birimi kulomb bölü metrekare'dir. Polarizasyon, bağlı yükler dediğimiz yükleri oluşturur — serbestçe hareket edemeyen ama toplu yer değiştirmeden kaynaklanan yükler. Bağlı yüzey yük yoğunluğu ro pe es eşittir Pe nokta çarpım a şapka en. Bağlı hacimsel yük yoğunluğu ro pe ve eşittir eksi diverjans Pe. Bu bağlı yükler kendi elektrik alanlarını üretir ve uygulanan alana kısmen karşı koyarak dielektrik içindeki toplam alanı azaltır.
3. Permitivitiyi, dielektrik sabitini ve dayanımı kur
Polarizasyon bağlı yükleri doğurur; lineer dielektrikte D = εE bağıntısı geçerlidir.
Şimdi polarizasyonu elektrik alanına nicel olarak bağlayalım.
Lineer dielektrikte P = χ_eε₀E; χ_e boyutsuz elektrik süseptibilitesidir.
Toplam elektrik akı yoğunluğu D = ε₀E + P.
P = χ_eε₀E yerine konursa D = ε₀(1 + χ_e)E.
Bağıl permitivite (dielektrik sabiti) ε_r = 1 + χ_e.
D = ε₀ε_rE = εE ve ε = ε₀ε_r.
Dielektrik sabiti her zaman birden büyük veya bire eşittir.
Boş uzay için ε ar bire eşittir.
Su için ε ar yaklaşık 80'dir.
Cam için 5 ile 10 arasındadır.
Her dielektriğin dayanabileceği maksimum bir alan vardır.
Dielektrik dayanımı adı verilen bu değerin üzerinde malzeme kırılır — elektronlar koparılır ve yalıtkan iletken haline gelir.
Atmosfer basıncındaki hava için dielektrik dayanımı yaklaşık 3 megavolt bölü metredir.
Bu yüzden yüksek gerilim ekipmanları yalıtım olarak yağ veya özel gazlar kullanır.
Sesli anlatım metni
Şimdi polarizasyonu elektrik alanına nicel olarak bağlayalım. Çoğu malzemede polarizasyon uygulanan alanla orantılıdır: Pe eşittir ki e çarpı epsilon sıfır çarpı E, burada ki e elektrik duyarlılığıdır — boyutsuz bir sayı. Toplam akı yoğunluğu De, hem boş uzay katkısını hem de polarizasyonu içerir: De eşittir epsilon sıfır çarpı E artı Pe. Pe eşittir ki e epsilon sıfır E ifadesini yerine koyarsak De eşittir epsilon sıfır çarpı bir artı ki e, çarpı E olur. Bağıl geçirgenliği, diğer adıyla dielektrik sabitini, epsilon ar eşittir bir artı ki e olarak tanımlarız. Böylece De eşittir epsilon sıfır epsilon ar çarpı E olur, bunu kısaca De eşittir epsilon çarpı E yazarız, burada epsilon eşittir epsilon sıfır çarpı epsilon ar. Dielektrik sabiti her zaman birden büyük veya bire eşittir. Boş uzay için epsilon ar bire eşittir. Su için epsilon ar yaklaşık 80'dir. Cam için 5 ile 10 arasındadır. Her dielektriğin dayanabileceği maksimum bir alan vardır. Dielektrik dayanımı adı verilen bu değerin üzerinde malzeme kırılır — elektronlar koparılır ve yalıtkan iletken haline gelir. Atmosfer basıncındaki hava için dielektrik dayanımı yaklaşık 3 megavolt bölü metredir. Bu yüzden yüksek gerilim ekipmanları yalıtım olarak yağ veya özel gazlar kullanır.
4. Dielektrik malzemeleri sınıflandır
Polarizasyon bağlı yükleri doğurur; lineer dielektrikte D = εE bağıntısı geçerlidir.
Dielektrik malzemeleri üç özelliğe göre sınıflandırırız.
Bir malzeme doğrusaldır eğer De, E ile doğrusal olarak değişiyorsa — yani χ_e, alan şiddetinden bağımsız olarak sabitse.
Bir malzeme izotropiktir eğer özellikleri her yönde aynıysa — yani De ve E her zaman paraleldir ve ε skaler bir değerdir, tensör değil.
Bir malzeme homojendir eğer ε noktadan noktaya değişmiyorsa — malzemenin her yerinde aynı geçirgenlik.
Doğrusal, izotropik ve homojen olan bir malzemeye basit malzeme denir.
Basit malzemelerde serbest uzay formüllerinde ε₀ yerine ε kullanılır.
Coulomb yasası:
$\displaystyle F = Q₁Q₂/\left(4\pi \varepsilon R²\right).$
Enerji yoğunluğu w_E = ½εE².
Mühendislik dielektriklerinin çoğu orta alan şiddetlerinde basit malzeme gibi davranır.
İstisnalar da önemlidir.
Ferroelektrikler gibi doğrusal olmayan malzemelerde χ_e, E'ye bağlıdır.
Bazı kristaller gibi anizotropik malzemeler 3'e 3 geçirgenlik tensörü gerektirir çünkü x yönündeki alan y yönünde bir akı bileşeni oluşturabilir.
İnhomojen malzemelerde geçirgenlik uzamsal olarak değişir.
Sesli anlatım metni
Dielektrik malzemeleri üç özelliğe göre sınıflandırırız. Bir malzeme doğrusaldır eğer De, E ile doğrusal olarak değişiyorsa — yani ki e, alan şiddetinden bağımsız olarak sabitse. Bir malzeme izotropiktir eğer özellikleri her yönde aynıysa — yani De ve E her zaman paraleldir ve epsilon skaler bir değerdir, tensör değil. Bir malzeme homojendir eğer epsilon noktadan noktaya değişmiyorsa — malzemenin her yerinde aynı geçirgenlik. Doğrusal, izotropik ve homojen olan bir malzemeye basit malzeme denir. Basit malzemeler için Bölüm B'deki tüm formüller geçerlidir — sadece epsilon sıfırı epsilon ile değiştiririz. Coulomb yasası: Ef eşittir Kü bir Kü iki bölü dört pi epsilon Ar kare. Enerji yoğunluğu yarım çarpı epsilon çarpı E kare olur. Mühendislik dielektriklerinin çoğu orta alan şiddetlerinde basit malzeme gibi davranır. İstisnalar da önemlidir. Ferroelektrikler gibi doğrusal olmayan malzemelerde ki e, E'ye bağlıdır. Bazı kristaller gibi anizotropik malzemeler 3'e 3 geçirgenlik tensörü gerektirir çünkü x yönündeki alan y yönünde bir akı bileşeni oluşturabilir. İnhomojen malzemelerde geçirgenlik uzamsal olarak değişir.
5. Süreklilik ve gevşeme zamanını türet
Polarizasyon bağlı yükleri doğurur; lineer dielektrikte D = εE bağıntısı geçerlidir.
Bu bölümü bitirmeden önce bir temel sonuç daha türetelim: süreklilik denklemi.
Yük korunumu ilkesi, yükün yaratılamayacağını veya yok edilemeyeceğini belirtir.
Kapalı bir yüzeyden akım dışarı akıyorsa içerideki yük aynı miktarda azalmalıdır.
Süreklilik denklemi ∇·J = −∂ρ_v/∂t.
Bu süreklilik denklemidir.
Şimdi iletkenliği σ ve geçirgenliği ε olan bir malzemenin içine serbest yük yerleştirdiğimizde ne olur, düşünelim.
J = σE ve ∇·D = ρ_v ile ρ(t) = ρ₀e⁽−t/T_r); gevşeme zamanı T_r = ε/σ.
Bakır için σ 5,8 çarpı 10 üzeri 7 ve ε ar esasen bire eşittir.
Gevşeme zamanı yaklaşık 1,5 çarpı 10 üzeri eksi 19 saniyedir — bakırın içine yerleştirilen yük neredeyse anında kaybolur.
Erimiş kuvars için σ 10 üzeri eksi 17 ve ε ar 5'tir.
Gevşeme zamanı yaklaşık 51 gündür — iyi bir yalıtkanın içine yerleştirilen yük haftalarca kalır.
Bu muazzam fark — 18 büyüklük mertebesi — iletkenleri yalıtkanlardan ayıran şeydir.
Sesli anlatım metni
Bu bölümü bitirmeden önce bir temel sonuç daha türetelim: süreklilik denklemi. Yük korunumu ilkesi, yükün yaratılamayacağını veya yok edilemeyeceğini belirtir. Kapalı bir yüzeyden akım dışarı akıyorsa içerideki yük aynı miktarda azalmalıdır. Matematiksel formda: Je'nin diverjansı eşittir eksi ro ve'nin zamana göre kısmi türevi. Bu süreklilik denklemidir. Şimdi iletkenliği sigma ve geçirgenliği epsilon olan bir malzemenin içine serbest yük yerleştirdiğimizde ne olur, düşünelim. Je eşittir sigma E ve De'nin diverjansı eşittir ro ve ifadelerinden yükün üstel olarak azaldığını gösterebiliriz: ro te eşittir ro sıfır çarpı e üzeri eksi te bölü Te ar, burada Te ar eşittir epsilon bölü sigma gevşeme zamanıdır. Bakır için sigma 5,8 çarpı 10 üzeri 7 ve epsilon ar esasen bire eşittir. Gevşeme zamanı yaklaşık 1,5 çarpı 10 üzeri eksi 19 saniyedir — bakırın içine yerleştirilen yük neredeyse anında kaybolur. Erimiş kuvars için sigma 10 üzeri eksi 17 ve epsilon ar 5'tir. Gevşeme zamanı yaklaşık 51 gündür — iyi bir yalıtkanın içine yerleştirilen yük haftalarca kalır. Bu muazzam fark — 18 büyüklük mertebesi — iletkenleri yalıtkanlardan ayıran şeydir.
6. Dielektrikli kapasitör örneğini çöz
Polarizasyon bağlı yükleri doğurur; lineer dielektrikte D = εE bağıntısı geçerlidir.
Pratik bir örnek üzerinden gidelim.
Paralel plakalı kapasitörde d = 1,5 mm ve polistiren için ε_r = 2,55.
Uygulanan alan E = 10 kV/m.
Kısım a: Elektrik akı yoğunluğu De'yi bulun.
$\displaystyle D = \varepsilon ₀\varepsilon _{r}E.$
Bu 8,854 çarpı 10 üzeri eksi 12, çarpı 2,55, çarpı 10 üzeri 4.
D = 225,4 nC/m².
Kısım b: Polarizasyon Pe'yi bulun.
$\displaystyle P = χ_{e}\varepsilon ₀E.$
$\displaystyle χ_{e} = \varepsilon _{r} - 1 = 1,55.$
$\displaystyle P = 1,55\times 8,854\times 10⁻¹²\times 10⁴ C/m².$
P = 137 nC/m².
Her plakadaki serbest yüzey yük yoğunluğu ρ_s = D·a_n = 225,4 nC/m².
Dielektrik yüzeyindeki bağlı yük yoğunluğu ρ_ps = P·a_n = 137 nC/m².
Dikkat edin: bağlı yük serbest yükü kısmen iptal ederek içerideki alanı azaltır.
Plakalar arasındaki gerilim V = Ed = 10⁴×1,5×10⁻³ V.
Sonuç V = 15 V.
Sesli anlatım metni
Pratik bir örnek üzerinden gidelim. Bir paralel plakalı kondansatörün plaka aralığı de eşittir 1,5 milimetre ve polistiren ile doldurulmuş, polistirenin dielektrik sabiti epsilon ar eşittir 2,55. Uygulanan elektrik alanı E eşittir 10 kilovolt bölü metre. Kısım a: Elektrik akı yoğunluğu De'yi bulun. De eşittir epsilon sıfır epsilon ar çarpı E. Bu 8,854 çarpı 10 üzeri eksi 12, çarpı 2,55, çarpı 10 üzeri 4. Sonuç De eşittir 225,4 nanokulomb bölü metrekare. Kısım b: Polarizasyon Pe'yi bulun. Pe eşittir ki e çarpı epsilon sıfır çarpı E. Ki e eşittir epsilon ar eksi bir eşittir 1,55. Pe eşittir 1,55 çarpı 8,854 çarpı 10 üzeri eksi 12 çarpı 10 üzeri 4. Sonuç Pe eşittir 137 nanokulomb bölü metrekare. Kısım c: Her plakadaki serbest yük yüzey yoğunluğu De nokta çarpım a şapka en'e eşittir, yani 225,4 nanokulomb bölü metrekare. Kısım d: Dielektrik yüzeyindeki bağlı polarizasyon yük yoğunluğu Pe nokta çarpım a şapka en'e eşittir, yani 137 nanokulomb bölü metrekare. Dikkat edin: bağlı yük serbest yükü kısmen iptal ederek içerideki alanı azaltır. Kısım e: Plakalar arasındaki gerilim Ve eşittir E çarpı de eşittir 10 üzeri 4 çarpı 1,5 çarpı 10 üzeri eksi 3. Sonuç Ve eşittir 15 volt.
7. Polarizasyon ve dielektrik bağıntılarını özetle
Polarizasyon bağlı yükleri doğurur; lineer dielektrikte D = εE bağıntısı geçerlidir.
Ana sonuçları özetleyelim.
Polarizasyon Pe, birim hacim başına dipol momentidir ve dış alan dielektrik içindeki yükü yer değiştirdiğinde oluşur.
Bağlı yükler: ρ_ps = P·a_n ve ρ_pv = −∇·P.
D = ε₀E + P bağıntısı D = εE'ye götürür; ε = ε₀ε_r.
Basit malzemeler için — doğrusal, izotropik, homojen — tüm elektrostatik formüllerde ε sıfırı ε ile değiştirin.
Yük korunumu:
$\displaystyle ∇\cdot J = -\partial \rho _{v}/\partial t.$
Gevşeme zamanı T_r = ε/σ, serbest yükün sönme hızını belirler.
Sonraki derste sınır koşullarını inceleyeceğiz — iki farklı malzemenin arayüzeyinde E ve De'ye ne olur.
Sesli anlatım metni
Ana sonuçları özetleyelim. Polarizasyon Pe, birim hacim başına dipol momentidir ve dış alan dielektrik içindeki yükü yer değiştirdiğinde oluşur. Bağlı yükler polarizasyondan kaynaklanır: yüzey yükü ro pe es eşittir Pe nokta çarpım a şapka en, hacimsel yük ro pe ve eşittir eksi diverjans Pe. De eşittir epsilon sıfır E artı Pe ilişkisi De eşittir epsilon E'ye yol açar, burada epsilon eşittir epsilon sıfır epsilon ar. Basit malzemeler için — doğrusal, izotropik, homojen — tüm elektrostatik formüllerde epsilon sıfırı epsilon ile değiştirin. Süreklilik denklemi yük korunumunu ifade eder: diverjans Je eşittir eksi kısmi ro ve bölü kısmi te. Gevşeme zamanı Te ar eşittir epsilon bölü sigma malzeme içindeki yükün ne kadar hızlı azaldığını belirler. Sonraki derste sınır koşullarını inceleyeceğiz — iki farklı malzemenin arayüzeyinde E ve De'ye ne olur.