نظرية الدوائر الكهربائية 2 · الأقطاب والأصفار والقيمة الابتدائية والنهائية

#16 قراءة التحويل الرشيد، الأنماط الزمنية، وشروط نظريتي البداية والنهاية

اقرأ الأنماط من الأقطاب، وافحص شروط البداية والنهاية قبل التعويض؛ مثالان بحسابات واضحة.

السؤال

إطار مرجعي من الفيديو نفسه عن الأقطاب والأصفار أو الحدود أو استجابة الخطوة. — مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.

اقرأ التحويل F(s)=(2s+5)/((s+1)(s+3)) قبل عكسه: حدد الأقطاب والصفر، ثم تحقق من القيمة الابتدائية 2 والنهائية 0. طبق الاختبارين أيضا على المثال المستقل Y(s)=10/(s(s+2)) الذي يبدأ بصفر وينتهي بخمسة. الإشارات سببية وعادية وليست توزيعات؛ الصيغ الزمنية المعروضة للزمن الموجب، وu(t) مفهوم عند مدها إلى الزمن السالب. s=σ+jω، وσ هو الجزء الحقيقي. اختزل العوامل المشتركة قبل تحديد الأقطاب والأصفار؛ مواقع الأصفار لا تحدد الكسب، والإلغاء في تحويل الخرج لا يثبت اختفاء الديناميكيات الداخلية أو استقرارها. F تحويل إشارة وليس بالضرورة دالة انتقال دائرة، لذلك تحتاج عبارة الأنماط الطبيعية إلى سياق النموذج. للقطب المكرر من الرتبة m تظهر قوى الزمن من صفر إلى m−1، مع احتمال معاملات صفرية؛ المثال المعروض من الرتبة الثانية. الزوج −α±jω يعطي اهتزازا مخمدا فقط إذا α>0، وبقاء الاهتزاز عند α=0 يختلف عن النمو عند α<0. نظرية البداية تتطلب حدا أيمن منتهيا ولا نبضة أو مشتقة نبضة عند الأصل؛ s يذهب إلى +∞ على المحور الحقيقي. في نظرية النهاية الرشيدة هنا يجب أن تكون جميع أقطاب sF المتبقية بعد الاختزال في النصف الأيسر المفتوح، بما يستبعد أي قطب متبق عند الأصل أو على المحور التخيلي أو في النصف الأيمن. الرمزان f_∞ وy_∞ يعنيان الحد الزمني إلى +∞ لا التعويض في الزمن بعدد عادي. الأسهم في سطور الحدود تعني الاقتراب عند الوجهة المكتوبة في المقدمة، لا مساواة لكل s أو لكل t. لا نستنتج وحدات جهد أو تيار غير معطاة. بطاقات الفيديو القديم مراجع مساعدة؛ استبدلت لقطتا الخريطة والأنماط ذواتا تداخل الكتابة ببطاقات من الفيديو نفسه، ولم ينتج رسم أو فيديو مصدر مصحح.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. قراءة التحويل قبل عكسه
مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.
في الدرس السابق فككنا التحويل إلى كسور جزئية وأعدنا كل حد إلى الزمن.
قبل حساب العكسي كاملا يمكن قراءة بنية التحويل وحدوده.
هذه القراءة تختصر الحساب، لكنها تحتاج شروطا واضحة.
بعد اختزال العوامل المشتركة، تكشف أقطاب التحويل قوالب الزمن؛ ربطها بأنماط الدائرة الطبيعية يحتاج نموذجها الديناميكي.
الأصفار والكسب يشكلان أوزان الأنماط؛ الإلغاء الجبري قد يخفي نمطا داخليا ولا يثبت زواله الفيزيائي.
نقرأ حد البداية وحد النهاية من التحويل، بعد التحقق من شروط كل نظرية.
نص الشرح الصوتي
في الدرس السابق فككنا F of s إلى كسور جزئية، ثم أخذنا تحويل لابلاس العكسي لكل جزء. الآن نسأل سؤالا أسرع: قبل أن نحسب العكسي كاملا، ماذا نستطيع أن نقرأ من التعبير نفسه؟ الكثير. جذور المقام، أي الأقطاب، تخبرنا ما الأنماط الطبيعية الممكنة في الزمن. وجذور البسط، أي الأصفار، تخبرنا كيف تختلط هذه الأنماط، وكيف تتغير أوزانها، وأحيانا كيف يحدث الإلغاء. ولدينا أيضا نظريتان بالحدود تعطينا بداية الموجة ونهايتها من دون فتح الحل كله.
2. الأقطاب والأصفار
مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.
نختزل العوامل المشتركة أولا، ثم نكتب التحويل الرشيد:
$\displaystyle F\left(s\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}$
جذور البسط غير الملغاة هي الأصفار:
$\displaystyle N\left(z\right)=0$
جذور المقام غير الملغاة هي الأقطاب:
$\displaystyle D\left(p\right)=0$
مثال الدرس السابق:
$\displaystyle F\left(s\right)=\frac{2s+5}{\left(s+1\right)\left(s+3\right)}$
بعد التأكد من عدم وجود عامل مشترك:
$\displaystyle p_{1}=-1,\; p_{2}=-3,\; z=-\frac{5}{2}=-2.5$
على مستوى s، الأقطاب بعلامة × والصفر بدائرة مفتوحة؛ σ أفقي هو الجزء الحقيقي وω عمودي هو الجزء التخيلي.
هنا يحدد القطبان نمطين أسّيين، ويحدد البسط أوزانهما مع الكسب.
نص الشرح الصوتي
نبدأ بتحويل رشيد: F of s تساوي N of s على D of s. الأصفار هي جذور البسط. والأقطاب هي جذور المقام. في مثال الدرس السابق: اثنان s زائد خمسة على s زائد واحد مضروبة في s زائد ثلاثة. الأقطاب عند ناقص واحد وناقص ثلاثة، والصفر عند ناقص اثنين فاصلة خمسة. على مستوى s نرسم الأقطاب بعلامة إكس، ونرسم الصفر بدائرة مفتوحة. الأقطاب تصنع الأنماط الأسية المسموح بها، أما الصفر فيغير طريقة مزج هذه الأنماط.
3. الأقطاب والأنماط
مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.
لقطب حقيقي بسيط؛ a موجب في حالة الاضمحلال، والحد للزمن الموجب:
$\displaystyle p=-a,\; g\left(t\right)=A e^{-a t}$
للقطب من الرتبة الثانية يظهر حد مضروب في الزمن؛ الرتبة الأعلى تضيف قوى أعلى:
$\displaystyle g\left(t\right)=\left(A+B t\right)e^{-a t}$
للزوج −α±jω وبمعاملات حقيقية؛ التخميد فقط عندما α موجب:
$\displaystyle g\left(t\right)=e^{-\alpha t}\left[A \cos \left(\omega t\right)+B \sin \left(\omega t\right)\right]$
α=0 يعني اهتزازا مستمرا، وα السالب يعني نموا؛ الزوج المركب ليس مخمدا تلقائيا.
بين أقطاب الاضمحلال، الأبعد يسارا أسرع؛ مثال للمعدلين الموجبين:
$\displaystyle a_{1}=4,\; a_{2}=1,\; e^{-4t}<e^{-t},\; t>0$
قطب ذو جزء حقيقي موجب يعطي نمطا ناميا؛ بعد الاختزال وفي الإشارة المعنية:
$\displaystyle \sigma _{p}>0$
نص الشرح الصوتي
قاعدة القراءة المهمة هي هذه: القطب عند ناقص a يصنع النمط e أس ناقص a t. إذا كان القطب مكررا، يظهر نفس الاضمحلال ومعه عامل t. وإذا كان لدينا زوج أقطاب مركبة مترافقة، نحصل على اهتزاز مخمد. إذن الأقطاب ليست مجرد جذور للمقام؛ إنها تخبرنا ببنات بناء الاستجابة الزمنية. الأبعد إلى اليسار يضمحل أسرع، والأقرب إلى المحور التخيلي يضمحل أبطأ. أما القطب في النصف الأيمن فهو علامة نمو وتحذير.
4. دور الأصفار
مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.
الأصفار تشكل الاستجابة بطريقة مختلفة عن الأقطاب.
الصفر وحده لا يضيف قالبا أسّيا جديدا إلى التحويل المختزل.
يتغير الخليط عبر معاملات الكسور الجزئية؛ في مثالنا:
$\displaystyle F\left(s\right)=\left(\frac{\frac{3}{2}}{s+1}\right)+\left(\frac{\frac{1}{2}}{s+3}\right)$
قد تتغير الأوزان والإشارات أو يلغى عامل مشترك تماما؛ هذا الإلغاء في التحويل لا يضمن استقرار كل ديناميكية داخلية.
يمكن لتعبيرين لهما المقام نفسه أن يعطيا استجابتين مختلفتين بسبب البسط والكسب.
الأقطاب تحدد القوالب، والأصفار مع الكسب تحدد أوزانها؛ مواقع الأصفار وحدها لا تكفي.
نص الشرح الصوتي
الأصفار تعمل بطريقة مختلفة. الصفر عادة لا يصنع نمطا زمنيا جديدا. بدلا من ذلك، يشكل طريقة جمع أنماط الأقطاب. قد يقوي نمطا، أو يضعف نمطا آخر، أو يعكس الإشارة، أو يلغي قطبا إذا وقع فوقه تماما. لذلك قد يكون لدائرتين الأقطاب نفسها، لكن الاستجابات الزمنية تبدو مختلفة. الأقطاب تعطي الأنماط الممكنة، والأصفار تساعد في تحديد خليط هذه الأنماط عند الخرج.
5. القيمة الابتدائية
مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.
نظرية البداية لإشارة عادية سببية ذات حد أيمن منته؛ لا نبضة أو مشتقة نبضة عند الأصل.
عندما يذهب s إلى +∞ على المحور الحقيقي؛ شرط الإشارة السابقة لازم:
$\displaystyle s F\left(s\right)\to f\left(0^{+}\right),\; s>0$
في تكامل لابلاس، كبر s الموجب يثقل الأزمنة الأقرب إلى الصفر.
نضرب التحويل كله في s:
$\displaystyle s F\left(s\right)=\frac{s\left(2s+5\right)}{\left(s+1\right)\left(s+3\right)}$
نقسم البسط والمقام على مربع s ثم نجعل s يذهب إلى +∞:
$\displaystyle s F\left(s\right)=\frac{2+\frac{5}{s}}{\left(1+\frac{1}{s}\right)\left(1+\frac{3}{s}\right)}\to 2$
مطابقة الحل الزمني عند الصفر الموجب:
$\displaystyle f\left(0^{+}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)=2$
نص الشرح الصوتي
نظرية القيمة الابتدائية تقرأ أول لحظة من الموجة. إذا كانت F of s هي تحويل f of t، فإن f عند صفر موجب تساوي النهاية عندما s تذهب إلى ما لا نهاية، ل s مضروبة في F of s. بشكل حدسي، s الكبيرة تركز على الزمن القريب جدا من البداية. في مثالنا نضرب F of s في s. عند s كبيرة جدا، تبقى الحدود المسيطرة: s مضروبة في اثنين s زائد خمسة، على s زائد واحد مضروبة في s زائد ثلاثة، فتقترب من اثنين. وهذا يطابق جواب الزمن من الدرس السابق: ثلاثة على اثنين زائد واحد على اثنين يساوي اثنين.
6. القيمة النهائية وشروطها
مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.
قبل نظرية النهاية نفحص أقطاب التحويل بعد ضربه في s واختزاله؛ لا نعوض مباشرة.
عندما يذهب s إلى 0+ على المحور الحقيقي وتتحقق شروط النهاية؛ f_∞ هو حد الزمن إلى اللانهاية:
$\displaystyle s F\left(s\right)\to f_{\infty },\; s>0$
للتحويل الرشيد العادي السببي هنا، يجب أن تكون جميع أقطاب sF المتبقية في النصف الأيسر المفتوح؛ أي الجزء الحقيقي لكل منها سالب تماما.
بقاء قطب عند الأصل أو على المحور التخيلي أو في النصف الأيمن يمنع استعمال هذا الاختبار؛ الحد الجبري وحده ليس دليلا.
قطبا sF المتبقيان هما −1 و−3؛ بعد اجتياز الشرط:
$\displaystyle f_{\infty }=\frac{0\left(2\cdot 0+5\right)}{\left(0+1\right)\left(0+3\right)}=0$
فحص زمني مستقل؛ كلا الحدين يضمحل عندما يذهب الزمن إلى +∞:
$\displaystyle f\left(t\right)=\left(\frac{3}{2}\right)e^{-t}+\left(\frac{1}{2}\right)e^{-3t}\to 0$
نص الشرح الصوتي
نظرية القيمة النهائية تقرأ حالة الاستقرار، لكن بعد فحص مهم. الصيغة هي: f عند اللانهاية تساوي النهاية عندما s تذهب إلى صفر، ل s مضروبة في F of s. لكن هذا صالح فقط إذا كانت كل الأقطاب المتبقية في s F of s داخل النصف الأيسر من مستوى s. إذا بقي قطب في النصف الأيمن، أو بقي اهتزاز على المحور التخيلي، فقد تعطيك النظرية جوابا مضللا. في المثال نفسه، s F of s تذهب إلى صفر عند s يساوي صفر، إذن القيمة النهائية صفر. وكلا النمطين الأسيين يضمحلان، فالنتيجة منطقية.
7. فحص استجابة خطوة
مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.
مثال مستقل لاستجابة خطوة؛ لا نخلط y الجديدة مع f السابقة.
التحويل السببي المعطى:
$\displaystyle Y\left(s\right)=\frac{10}{s\left(s+2\right)}$
نضرب ونختزل عامل s؛ القطب المتبقي عند −2:
$\displaystyle s Y\left(s\right)=\frac{10}{s+2}$
عندما يذهب s الموجب إلى +∞:
$\displaystyle s Y\left(s\right)=\frac{10}{s+2}\to 0$
إذن حد البداية الأيمن:
$\displaystyle y\left(0^{+}\right)=0$
بعد فحص القطب −2، نجعل s يذهب إلى 0+؛ حد النهاية:
$\displaystyle y_{\infty }=\frac{10}{2}=5$
المنحنى يبدأ بصفر ويقترب من خمسة؛ فحص عكسي مستقل للزمن غير السالب:
$\displaystyle y\left(t\right)=5\left(1-e^{-2t}\right),\; t\ge 0$
نص الشرح الصوتي
نطبق الآن النظريتين على استجابة خطوة. لتكن Y of s تساوي عشرة على s مضروبة في s زائد اثنين. أولا نضرب في s، فتصبح s Y of s تساوي عشرة على s زائد اثنين. للقيمة الابتدائية نجعل s تذهب إلى ما لا نهاية، فنحصل على صفر. إذن y عند صفر موجب تساوي صفر. للقيمة النهائية نجعل s تذهب إلى صفر، فنحصل على عشرة على اثنين، أي خمسة. من دون أن نأخذ العكسي كاملا، عرفنا أن المنحنى يبدأ من صفر ويستقر عند خمسة.
8. مصائد شائعة
مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.
ثلاثة تنبيهات تمنع الاستعمال الآلي للنظريات.
وجود قطب عند الأصل في Y وحده لا يفشل نظرية النهاية؛ قد يزول عند الضرب في s.
في مثال الخطوة نختبر التحويل المختزل، لا المقام القديم:
$\displaystyle s Y\left(s\right)=\left(\frac{10}{s+2}\right),\; p=-2$
أي قطب متبق ذي جزء حقيقي غير سالب يمنع هذا الاختبار الرشيد للنهاية؛ يشمل الأصل والمحور التخيلي.
الصفر ليس مصدرا لنمط أسّي مستقل؛ لا نعامله كقطب.
نقرأ الأقطاب المختزلة للقوالب والأصفار مع الكسب للخليط، ونميز استجابة الخرج من الديناميكيات الداخلية المخفية.
نص الشرح الصوتي
هناك ثلاث مصائد مهمة. الأولى: وجود قطب عند الأصل في Y of s لا يعني تلقائيا فشل نظرية القيمة النهائية. الاختبار يكون على أقطاب s Y of s بعد الضرب في s. الثانية: إذا بقي أي قطب في النصف الأيمن، فالنظرية غير صالحة. الثالثة: لا تعامل الصفر كأنه يصنع نمطه الأسي الخاص. الأصفار تشكل الخليط، أما الأقطاب فهي التي تصنع الأنماط الطبيعية.
9. الخلاصة
مرجع من الفيديو الأصلي؛ الصيغ والشروط منسقة في سطور الدفتر. بطاقات بديلة من الفيديو نفسه لا تعني تصحيح الفيديو.
الأقطاب هي جذور المقام بعد الاختزال، وتكشف قوالب الزمن في التحويل المدروس.
الأصفار هي جذور البسط بعد الاختزال؛ مع الكسب تحدد خليط القوالب.
لبداية إشارة عادية ذات حد أيمن منته ومن دون نبضة أصل، نأخذ حد sF عندما s الموجب يذهب إلى اللانهاية.
للنهاية نفحص أولا جميع أقطاب sF المتبقية؛ إن كانت يسارا تماما نأخذ حده عندما s الموجب يقترب من الصفر.
التالي: نماذج المقاومة والملف والمكثف في مجال s مع الذاكرة والشروط الابتدائية.
نص الشرح الصوتي
الخلاصة: الأقطاب هي جذور المقام، وتكشف الأنماط الطبيعية في الزمن. الأصفار هي جذور البسط، وتشكل خليط تلك الأنماط. نظرية القيمة الابتدائية تقرأ أول لحظة من حد s الكبير. ونظرية القيمة النهائية تقرأ حالة الاستقرار من حد s الصغير، لكن فقط بعد فحص الاستقرار. في الدرس القادم نحول المقاومة والملف والمكثف إلى نماذج في مجال s مع الشروط الابتدائية.