#08 القوة بين الشحنات النقطية وتعريف المجال الكهربائي ومبدأ التراكب

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. مهّد للانتقال إلى الكهروستاتيكا

   

   في الدروس السابقة بنينا أدوات الرياضيات اللازمة للنظرية الكهرومغناطيسية: التدرج، والتباعد، والدوران، وتحويلات الإحداثيات، ثم مبرهنة التباعد ومبرهنة ستوكس.

   الآن نبدأ الكهروستاتيكا: دراسة الشحنات الساكنة والمجالات التي تولدها.

   في هذا الدرس ندرس قانون كولوم، ومفهوم المجال الكهربائي، ومبدأ التراكب.

   نص الشرح الصوتي

   في الدروس السابقة بنينا أدوات الرياضيات اللازمة للنظرية الكهرومغناطيسية: التدرج، والتباعد، والدوران، وتحويلات الإحداثيات، ثم مبرهنة التباعد ومبرهنة ستوكس. الآن نبدأ الكهروستاتيكا: دراسة الشحنات الساكنة والمجالات التي تولدها. في هذا الدرس ندرس قانون كولوم، ومفهوم المجال الكهربائي، ومبدأ التراكب.

2. 2. احسب قوة كولوم واتجاهها

   

   قانون كولوم يصف القوة الكهروستاتيكية بين شحنتين نقطيتين.

   إذا كانت q₁ عند الأصل وq₂ عند R، فإن القوة على q₂ هي F = [q₁q₂/(4πε₀R²)]e_R.

   سماحية الفراغ:

   $\displaystyle \varepsilon ₀ = 8.854\times 10⁻¹² F/m.$

   ثابت كولوم:

   $\displaystyle k =\frac{ 1}{4\pi \varepsilon ₀}\approx 9\times 10⁹ N\cdot m²/C².$

   إذا كانت الشحنتان لهما الإشارة نفسها فالقوة تنافرية، وإذا كانتا مختلفتي الإشارة فالقوة تجاذبية.

   لنحسب مثالا سريعا.

   q₁ = +3 μC عند الأصل، وq₂ = −2 μC عند (0،4،0) m.

   المسافة بينهما تساوي أربعة أمتار.

   مقدار القوة يساوي k مضروبا في حاصل ضرب مقادير الشحنتين، مقسوما على R تربيع.

   وهذا يعطي تسعة في عشرة أس تسعة، مضروبا في ستة في عشرة أس سالب اثني عشر، ثم مقسوما على ستة عشر.

   النتيجة ثلاثة فاصلة ثلاثة سبعة خمسة ملي نيوتن.

   وبما أن الشحنتين مختلفتا الإشارة، فإن القوة على q اثنين تجاذبية، أي تتجه نحو q واحد في اتجاه سالب e_y.

   نص الشرح الصوتي

   قانون كولوم يصف القوة الكهروستاتيكية بين شحنتين نقطيتين. إذا كانت الشحنة q واحد عند الأصل، والشحنة q اثنان عند متجه الموضع R، فالقوة المؤثرة في q اثنين تساوي q واحد في q اثنين، مقسوما على أربعة pi epsilon zero في R تربيع، باتجاه المتجه الوحدي R hat من q واحد نحو q اثنين. epsilon zero هي سماحية الفراغ، وتساوي تقريبا ثمانية فاصلة ثمانية خمسة أربعة في عشرة أس سالب اثني عشر فاراد لكل متر. والثابت k يساوي واحدا على أربعة pi epsilon zero، أي تقريبا تسعة في عشرة أس تسعة نيوتن متر مربع لكل كولوم مربع. إذا كانت الشحنتان لهما الإشارة نفسها فالقوة تنافرية، وإذا كانتا مختلفتي الإشارة فالقوة تجاذبية. لنحسب مثالا سريعا. الشحنة q واحد تساوي موجب ثلاثة ميكرو كولوم عند الأصل، والشحنة q اثنان تساوي سالب اثنين ميكرو كولوم عند النقطة صفر، أربعة، صفر متر. المسافة بينهما تساوي أربعة أمتار. مقدار القوة يساوي k مضروبا في حاصل ضرب مقادير الشحنتين، مقسوما على R تربيع. وهذا يعطي تسعة في عشرة أس تسعة، مضروبا في ستة في عشرة أس سالب اثني عشر، ثم مقسوما على ستة عشر. النتيجة ثلاثة فاصلة ثلاثة سبعة خمسة ملي نيوتن. وبما أن الشحنتين مختلفتا الإشارة، فإن القوة على q اثنين تجاذبية، أي تتجه نحو q واحد في اتجاه سالب y hat.

3. 3. طبّق المجال الكهربائي ومبدأ التراكب

   

   الآن نعرف المجال الكهربائي.

   ضع شحنة اختبار موجبة وصغيرة جدا q في نقطة ما من الفضاء.

   هذه الشحنة تشعر بقوة F بسبب الشحنات المصدرية.

   المجال الكهربائي في تلك النقطة هو E = F/q.

   إذن المجال الكهربائي هو القوة لكل وحدة شحنة.

   وهو موجود في الفضاء حتى لو لم نضع شحنة اختبار هناك.

   لشحنة Q عند الأصل:

   $\displaystyle E = \left[\frac{Q}{4\pi \varepsilon ₀r²}\right]e_{r}.$

   إذا كانت Q موجبة فالمجال يتجه شعاعيا إلى الخارج، وإذا كانت سالبة فالمجال يتجه إلى الداخل.

   أما مقدار المجال فيتناقص مثل واحد على r تربيع.

   مبدأ التراكب يقول إن المجال الكهربائي الكلي الناتج من عدة شحنات هو المجموع المتجهي للمجالات الفردية.

   لعدد N من الشحنات: E_total = Σᵢ[q_i/(4πε₀R_i²)]e_Ri.

   لنطبق ذلك في مثال.

   شحنتان متساويتان، كل واحدة موجب واحد ميكرو كولوم، عند النقطتين سالب واحد، صفر وموجب واحد، صفر متر.

   نريد المجال عند النقطة P: صفر، واحد.

   المسافة من كل شحنة إلى P هي جذر اثنين متر.

   مقدار المجال من كل شحنة يساوي k في عشرة أس سالب ستة مقسوما على اثنين، أي أربعة آلاف وخمسمئة نيوتن لكل كولوم.

   بسبب التناظر، المركبتان الأفقيتان متعاكستان وتتلاغيان تماما.

   أما المركبتان الرأسيان فتتجهان إلى الأعلى وتُجمعان.

   المركبة الرأسية لكل مجال تساوي أربعة آلاف وخمسمئة على جذر اثنين، أي تقريبا ثلاثة آلاف ومئة واثنين وثمانين نيوتن لكل كولوم.

   إذن المجال الكلي E = 6364 e_y N/C.

   التناظر جعل الحساب أبسط بكثير.

   نص الشرح الصوتي

   الآن نعرف المجال الكهربائي. ضع شحنة اختبار موجبة وصغيرة جدا q في نقطة ما من الفضاء. هذه الشحنة تشعر بقوة F بسبب الشحنات المصدرية. المجال الكهربائي في تلك النقطة هو E يساوي F مقسوما على q. إذن المجال الكهربائي هو القوة لكل وحدة شحنة. وهو موجود في الفضاء حتى لو لم نضع شحنة اختبار هناك. بالنسبة إلى شحنة نقطية مفردة Q عند الأصل، يكون المجال الكهربائي على بعد r مساويا: Q مقسوما على أربعة pi epsilon zero في r تربيع، مضروبا في r hat. إذا كانت Q موجبة فالمجال يتجه شعاعيا إلى الخارج، وإذا كانت سالبة فالمجال يتجه إلى الداخل. أما مقدار المجال فيتناقص مثل واحد على r تربيع. مبدأ التراكب يقول إن المجال الكهربائي الكلي الناتج من عدة شحنات هو المجموع المتجهي للمجالات الفردية. لعدد N من الشحنات النقطية، E total يساوي مجموع q i على أربعة pi epsilon zero في R i تربيع، مضروبا في R i hat. لنطبق ذلك في مثال. شحنتان متساويتان، كل واحدة موجب واحد ميكرو كولوم، عند النقطتين سالب واحد، صفر وموجب واحد، صفر متر. نريد المجال عند النقطة P: صفر، واحد. المسافة من كل شحنة إلى P هي جذر اثنين متر. مقدار المجال من كل شحنة يساوي k في عشرة أس سالب ستة مقسوما على اثنين، أي أربعة آلاف وخمسمئة نيوتن لكل كولوم. بسبب التناظر، المركبتان الأفقيتان متعاكستان وتتلاغيان تماما. أما المركبتان الرأسيان فتتجهان إلى الأعلى وتُجمعان. المركبة الرأسية لكل مجال تساوي أربعة آلاف وخمسمئة على جذر اثنين، أي تقريبا ثلاثة آلاف ومئة واثنين وثمانين نيوتن لكل كولوم. إذن المجال الكلي يساوي ستة آلاف وثلاثمئة وأربعة وستين في اتجاه y hat نيوتن لكل كولوم. التناظر جعل الحساب أبسط بكثير.

4. 4. راجع علاقتي القوة والمجال

   

   لنلخص.

   قانون كولوم: F = (kq₁q₂/R²)e_R.

   يُعرّف المجال الكهربائي بالعلاقة E = F/q، أي القوة لكل وحدة شحنة.

   وللشحنة النقطية: E = kQ/r² e_r.

   أما مبدأ التراكب فيسمح لنا بإيجاد المجال الكلي من عدة شحنات عن طريق الجمع المتجهي للمجالات الفردية.

   في الدرس القادم نمدد هذه الأفكار إلى توزيعات الشحنة المستمرة: الخطية والسطحية والحجمية.

   نص الشرح الصوتي

   لنلخص. قانون كولوم يعطي القوة بين شحنتين نقطيتين: F يساوي k q واحد q اثنين على R تربيع، في اتجاه R hat. المجال الكهربائي يعرف بأنه E يساوي F على q، أي القوة لكل وحدة شحنة. وللشحنة النقطية: E يساوي k Q على r تربيع في اتجاه r hat. أما مبدأ التراكب فيسمح لنا بإيجاد المجال الكلي من عدة شحنات عن طريق الجمع المتجهي للمجالات الفردية. في الدرس القادم نمدد هذه الأفكار إلى توزيعات الشحنة المستمرة: الخطية والسطحية والحجمية.

الفيديو المصدر: النظرية الكهرومغناطيسية #08 | قانون كولوم والمجال الكهربائي (5:31)