Kontrol Teorisi · RC Diferansiyel Denkleminden Blok Diyagram

#07 RC plant diferansiyel denkleminin integralli forma dönüştürülmesi ve geri beslemeli blok diyagramının içten dışa kurulması

RC plant denklemini integralli forma çevirip toplama kavşağı, kazanç, integratör ve negatif geri besleme yoluyla blok diyagrama dönüştürün.

Soru

RC diferansiyel denkleminin integralli forma dönüşümünü ve 1/R negatif geri beslemeli blok diyagramını gösteren ders karesi. — C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.

C·dy/dt+(1/R)·y=u RC plant denkleminde giriş ve çıkışı belirleyin; sıfır başlangıç koşulunda denklemin integralini alıp y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimini elde edin; toplama kavşağı, 1/C kazancı, integratör ve 1/R negatif geri besleme yoluyla eşdeğer blok diyagramı çizin.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. RC denkleminden blok diyagram hedefini kur
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Kontrol teorisi ders 7'ye hoş geldiniz.
Bugün gerçek bir diferansiyel denklemden blok diyagram çizeceğiz.
Örnek olarak ders 4'teki RC devre modelini kullanacağız.
Sesli anlatım metni
Kontrol teorisi ders 7'ye hoş geldiniz. Bugün gerçek bir diferansiyel denklemden blok diyagram çizeceğiz. Örnek olarak ders 4'teki RC devre modelini kullanacağız.
2. RC plant denklemini ve değişkenleri hatırla
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Ders 4'teki RC devre denklemini hatırlayalım.
C·dy/dt+(1/R)·y=u denklemini bulmuştuk.
Burada u giriş akımı ve y çıkış gerilimi.
Şimdi bunu blok diyagrama dönüştürelim.
Sesli anlatım metni
Ders 4'teki RC devre denklemini hatırlayalım. C çarpı dy bölü dt artı bir bölü R çarpı y eşittir u'yu bulmuştuk. Burada u giriş akımı ve y çıkış gerilimi. Şimdi bunu blok diyagrama dönüştürelim.
3. Dört adımlı denklem–diyagram akışını kur
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Diferansiyel denklemden blok diyagram çizmek için dört adım var.
Adım 1: Giriş u ve çıkış y'yi belirle.
Adım 2: İntegral alarak türevleri kaldır.
Adım 3: y'yi denklemin bir tarafında yalnız bırak.
Adım 4: Blok diyagramı çiz.
Her adımı inceleyelim.
Sesli anlatım metni
Diferansiyel denklemden blok diyagram çizmek için dört adım var. Adım 1: Giriş u ve çıkış y'yi belirle. Adım 2: İntegral alarak türevleri kaldır. Adım 3: y'yi denklemin bir tarafında yalnız bırak. Adım 4: Blok diyagramı çiz. Her adımı inceleyelim.
4. Giriş u ve çıkış y'yi belirle
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Adım 1 basit.
Giriş ve çıkışı belirliyoruz.
Denkleme bakarsak u giriş ve y çıkış.
Bu, tam olarak ders 4'te tanımladığımız şey.
Tamam.
Adım 1 tamamlandı.
Sesli anlatım metni
Adım 1 basit. Giriş ve çıkışı belirliyoruz. Denkleme bakarsak u giriş ve y çıkış. Bu, tam olarak ders 4'te tanımladığımız şey. Tamam. Adım 1 tamamlandı.
5. Türevi neden integralle kaldırdığını açıkla
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Adım 2: Türevleri kaldır.
Neden?
Çünkü blok diyagramlarda türev alıcı değil, integratör kullanırız.
Denklemde dy bölü dt var.
Bu birinci dereceden türev.
Kaldırmak için tüm denklemin integralini alıyoruz.
Sesli anlatım metni
Adım 2: Türevleri kaldır. Neden? Çünkü blok diyagramlarda türev alıcı değil, integratör kullanırız. Denklemde dy bölü dt var. Bu birinci dereceden türev. Kaldırmak için tüm denklemin integralini alıyoruz.
6. RC denkleminin iki tarafının integralini al
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Sıfır başlangıç koşulunda iki tarafın integralini alıyoruz.
∫C·(dy/dt)dt=C·y olur.
∫(1/R)·y dt=(1/R)∫y dt olur.
Sağ taraf ∫u dt olur.
Artık denklemde türev yok.
Sesli anlatım metni
Her iki tarafın integralini alıyoruz. C çarpı dy bölü dt'nin integrali C çarpı y olur. Bir bölü R çarpı y'nin integrali, bir bölü R çarpı y'nin integrali dt olur. Ve u'nun integrali, u'nun integrali dt olur. Artık denklemde türev yok.
7. Çıkış y'yi yalnız bırakma hedefini kur
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Tamam, adım 2 tamamlandı.
Adım 3: y'yi yalnız bırak.
y'nin tek başına bir tarafta olması gerekiyor.
İntegralli y değil, dy bölü dt değil; sadece y.
Diğer tarafta herhangi bir terim kombinasyonu olabilir.
Sesli anlatım metni
Tamam, adım 2 tamamlandı. Adım 3: y'yi yalnız bırak. y'nin tek başına bir tarafta olması gerekiyor. İntegralli y değil, dy bölü dt değil; sadece y. Diğer tarafta herhangi bir terim kombinasyonu olabilir.
8. İntegral y terimini sağ tarafa taşı
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
C·y+(1/R)∫y dt=∫u dt ile başlıyoruz.
İntegral terimini sağ tarafa taşıyoruz.
$\displaystyle y=\left(\frac{1}{C}\right)\left[\int u \mathrm{d}t-\left(\frac{1}{R}\right)\int y \mathrm{d}t\right].$
Sesli anlatım metni
C çarpı y artı bir bölü R integral y dt eşittir integral u dt'den başlıyoruz. İntegral terimini sağ tarafa taşıyoruz. y eşittir bir bölü C çarpı, parantez aç, integral u dt eksi bir bölü R integral y dt, parantez kapat.
9. İntegralleri tek ifadede birleştir
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Bunu daha da sadeleştirebiliriz.
Her iki integral de aynı derecede olduğundan birleştiriyoruz.
$\displaystyle y=\left(\frac{1}{C}\right)\int \left[u-\left(\frac{1}{R}\right)y\right]\mathrm{d}t.$
Bu bizim son denklem formumuz.
Tamam.
Adım 3 tamamlandı.
Sesli anlatım metni
Bunu daha da sadeleştirebiliriz. Her iki integral de aynı derecede olduğundan birleştiriyoruz. y eşittir bir bölü C çarpı integral, parantez aç, u eksi bir bölü R çarpı y, parantez kapat, dt. Bu bizim son denklem formumuz. Tamam. Adım 3 tamamlandı.
10. Blok diyagramı içten dışa kurmaya başla
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Adım 4.
Blok diyagramı çiz.
Adım adım oluşturacağız.
İçten dışa doğru çalışarak.
Önce giriş ve çıkışı ayarlayalım.
Sesli anlatım metni
Adım 4. Blok diyagramı çiz. Adım adım oluşturacağız. İçten dışa doğru çalışarak. Önce giriş ve çıkışı ayarlayalım.
11. Giriş ve çıkış oklarını yerleştir
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Soldaki giriş u ve sağdaki çıkış y'yi çizerek başlıyoruz.
u'dan bir ok çiz ve y'ye işaret eden bir okla bitir.
Aralarındaki blokları dolduracağız.
Sesli anlatım metni
Soldaki giriş u ve sağdaki çıkış y'yi çizerek başlıyoruz. u'dan bir ok çiz ve y'ye işaret eden bir okla bitir. Aralarındaki blokları dolduracağız.
12. En içteki u−(1/R)y işlemini belirle
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Denkleme bakalım.
Dış işlemler (1/C)∫ biçimindedir.
İntegrandın içi u−(1/R)y'dir.
En içteki işlem u−(1/R)y'dir.
Bu, u'dan bir şey çıkardığımız bir toplama noktası gerektiği anlamına geliyor.
Sesli anlatım metni
Denkleme bakalım. y eşittir bir bölü C integral. u eksi bir bölü R y, dt. En içteki işlem u eksi bir bölü R çarpı y. Bu, u'dan bir şey çıkardığımız bir toplama noktası gerektiği anlamına geliyor.
13. 1/R geri besleme yolunu çiz
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
(1/R)y terimi çıkış y'den gelir.
Çıkış y'yi alıp bir bölü R ile çarpıp geri beslememiz gerekiyor.
Bu bir geri besleme döngüsü oluşturur.
y'den geriye giden bir çizgi çiz, bir bölü R kazanç bloğu ekle.
Sesli anlatım metni
Bir bölü R çarpı y terimi y'nin kendisinden geliyor. Çıkış y'yi alıp bir bölü R ile çarpıp geri beslememiz gerekiyor. Bu bir geri besleme döngüsü oluşturur. y'den geriye giden bir çizgi çiz, bir bölü R kazanç bloğu ekle.
14. İşaretli toplama noktasını çiz
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Şimdi toplama noktasına ekle.
u girişi artı işaretiyle normal giriyor.
Geri besleme sinyali (1/R)y eksi işaretiyle girer.
Toplama noktası çıkışı u−(1/R)y'dir.
Sesli anlatım metni
Şimdi toplama noktasına ekle. u girişi artı işaretiyle normal giriyor. Geri besleme sinyali bir bölü R çarpı y, eksi işaretiyle giriyor. Sonuç u eksi bir bölü R çarpı y.
15. İntegratör bloğunu ekle
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Tam da ihtiyacımız olan.
Toplama noktasından sonra sonucu entegre etmemiz gerekiyor.
İntegral sembolüyle bir integratör bloğu ekle.
İntegratör u−(1/R)y girişinden ∫[u−(1/R)y]dt üretir.
Sesli anlatım metni
Tam da ihtiyacımız olan. Toplama noktasından sonra sonucu entegre etmemiz gerekiyor. İntegral sembolüyle bir integratör bloğu ekle. Bu, u eksi bir bölü R y'yi alır ve zaman üzerinden integralini üretir.
16. 1/C kazanç bloğunu ekle
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Son olarak 1/C ile çarpıyoruz.
İntegratörden sonra bir bölü C kazanç bloğu ekle.
Bu bloğun çıkışı y.
Çıkış okuna bağla.
Sesli anlatım metni
Son olarak bir bölü C ile çarpıyoruz. İntegratörden sonra bir bölü C kazanç bloğu ekle. Bu bloğun çıkışı y. Çıkış okuna bağla.
17. Tam geri beslemeli blok diyagramı doğrula
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
İşte tamamlanmış blok diyagramımız.
u girişi toplama noktasına gider.
Sinyal 1/C kazanç bloğundan geçer.
Sonra integratörden geçer ve y olarak çıkar.
Geri besleme yolu y'yi alır.
Geri besleme yolu y'yi 1/R ile çarpıp eksi girişe döndürür.
Sesli anlatım metni
İşte tamamlanmış blok diyagramımız. u girişi toplama noktasına gider. Sonra bir bölü C'den geçer. Sonra integratörden geçer ve y olarak çıkar. Geri besleme yolu y'yi alır. Bir bölü R ile çarpar ve eksi işaretiyle toplama noktasına döner.
18. 1/C kazancı ile integratörü birleştir
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Ders 6'dan hatırlayın.
Kazanç ve integratörü tek blokta birleştirebiliriz.
Ayrı 1/C ve ∫ blokları yerine (1/C)∫ içeren tek blok kullanılabilir.
Her iki versiyon da tamamen aynı sonucu verir.
Sesli anlatım metni
Ders 6'dan hatırlayın. Kazanç ve integratörü tek blokta birleştirebiliriz. Ayrı bir bölü C ve integral blokları yerine bir bölü C çarpı integral içeren tek bir blok kullanırız. Her iki versiyon da tamamen aynı sonucu verir.
19. Ayrı ve birleşik blok sürümlerini karşılaştır
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Versiyon 1 iki blok kullanır: 1/C kazancı, ardından integratör.
Versiyon 2 birleşik (1/C)∫ bloğunu kullanır.
1/R geri besleme yolu ve toplama noktası aynı kalır.
Uygulamanız için hangisi daha net ise onu seçin.
Sesli anlatım metni
Versiyon 1 iki blok kullanır: Bir bölü C kazancı, ardından integratör. Versiyon 2 birleşik tek blok kullanır: Bir bölü C integral. Bir bölü R geri besleme yolu ve toplama noktası aynı kalır. Uygulamanız için hangisi daha net ise onu seçin.
20. RC zaman sabiti ve giriş ölçeğini yorumla
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Geri besleme yapısına dikkat edin.
Bu, RC dinamikli birinci dereceden sistemlerin karakteristiğidir.
1/R ve 1/C katsayıları birlikte τ=RC zaman sabitini oluşturur.
Giriş yolundaki 1/C, akımın dy/dt üzerindeki ölçeğidir; akımdan gerilime DC kazanç R'dir.
Sesli anlatım metni
Geri besleme yapısına dikkat edin. Bu, RC dinamikli birinci dereceden sistemlerin karakteristiğidir. Geri beslemedeki bir bölü R, direncin zaman sabitini nasıl etkilediğini gösterir. Bir bölü C, kapasitansın kazancı nasıl etkilediğini gösterir.
21. RC blok diyagram dönüşümünü toparla
C·dy/dt+(1/R)y=u denklemi, sıfır başlangıç koşulunda y=(1/C)∫[u−(1/R)y]dt biçimine ve eşdeğer geri beslemeli blok diyagrama dönüşür.
Özetleyelim.
RC devre denklemini dört adımda blok diyagrama dönüştürdük.
Birinci: Giriş u ve çıkış y'yi belirle.
İkinci: Türevleri kaldırmak için integral al.
Üçüncü: y'yi bir tarafta yalnız bırak.
Dördüncü: İçten dışa doğru diyagramı çiz.
Sonuç, çıkış y'nin bir kazanç bloğu üzerinden geri beslendiği bir geri beslemeli kontrol sistemi.
Bir sonraki derste aynı tekniği daha karmaşık sistemlere uygulayacağız.
Görüşmek üzere.
Sesli anlatım metni
Özetleyelim. RC devre denklemini dört adımda blok diyagrama dönüştürdük. Birinci: Giriş u ve çıkış y'yi belirle. İkinci: Türevleri kaldırmak için integral al. Üçüncü: y'yi bir tarafta yalnız bırak. Dördüncü: İçten dışa doğru diyagramı çiz. Sonuç, çıkış y'nin bir kazanç bloğu üzerinden geri beslendiği bir geri beslemeli kontrol sistemi. Bir sonraki derste aynı tekniği daha karmaşık sistemlere uygulayacağız. Görüşmek üzere.