#40 Geçici Analiz #40 — RC doğal cevap ve kapasitör boşalması

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. RC doğal cevabın fiziksel kurulumu

   

   Sıfır girişli RC doğal cevap

   Kapasitör başlangıçta V₀'a şarjlıdır

   t=0 anında R üzerinden boşalmaya başlar

   t≥0 için dış kaynak yoktur

   Tek enerji kaynağı w_C(0)=½CV₀²

   Aranan büyüklük v_C(t)

   Doğal cevap başlangıç enerjisinin sönümüdür

   Sesli anlatım metni

   V-sıfır voltuna kadar şarj edilmiş bir kapasitör düşünelim. Bu kapasitör bir direnç üzerinden bir anahtarla bağlı. t sıfır anında anahtar kapanıyor. Devrede dışarıdan bir kaynak yok, yani bu sıfır-girişli cevap, diğer adıyla doğal cevaptır. Tek enerji kaynağı kapasitörün başlangıç şarjıdır. Soru şu: kapasitör gerilimi zamanla nasıl değişir?

2. 2. Diferansiyel denklemin türetimi

   

   RC çevrimine KVL veya düğüme KCL uygula

   $\displaystyle i_{R}+i_{C}=0$

   v/R+C·dv/dt=0

   dv/dt+v/(RC)=0

   Birinci derece homojen diferansiyel denklem

   Başlangıç koşulu v(0)=V₀

   v(t)=V₀e⁽−t/τ), τ=RC

   Sesli anlatım metni

   Devreye Kirchhoff gerilim yasasını uygulayalım. Direnç üzerindeki gerilim i çarpı R, kapasitör üzerindeki gerilim ise v'dir. i eşittir C çarpı d-v-d-t olduğunu yerine koyarsak: R-C çarpı d-v-d-t artı v eşittir sıfır. Her iki tarafı R-C'ye bölersek: d-v-d-t artı v bölü R-C eşittir sıfır. Bu birinci dereceden lineer bir diferansiyel denklemdir. Çözüm üstel bir fonksiyondur: v t eşittir V-sıfır çarpı e üssü eksi t bölü R-C. Zaman sabitini tau eşittir R çarpı C olarak tanımlıyoruz.

3. 3. Zaman sabiti ve grafik yorum

   

   τ=RC devrenin hız ölçeğidir

   $\displaystyle \Omega \cdot F=s$

   $\displaystyle v\left(\tau \right)=V₀e⁻¹=0,368V₀$

   Büyük R veya C ⇒ daha yavaş boşalma

   Başlangıç eğimi dv/dt(0)=−V₀/τ

   t=0 teğeti ekseni t=τ'da keser

   5τ sonunda yüzde 0,674 kalır

   Sesli anlatım metni

   Zaman sabiti tau eşittir R çarpı C'nin birimi saniyedir. Ohm çarpı Farad saniye verir. t eşittir tau anında gerilim, e üssü eksi bir çarpı V-sıfır'a düşer. Bu başlangıç değerinin yüzde 36.8'idir. Zaman sabiti bize devrenin NE KADAR HIZLI cevap verdiğini söyler. Büyük tau yavaş azalma demektir. Daha fazla direnç veya daha fazla kapasitans boşalmayı yavaşlatır. Küçük tau ise hızlı azalma demektir. t eşittir sıfırdaki teğet doğru, tam olarak t eşittir tau noktasında zaman eksenini keser.

4. 4. Akım, güç ve enerji ifadeleri

   

   v(t)'den diğer büyüklükleri türet

   i_C=C·dv/dt

   $\displaystyle i_{C}\left(t\right)=-\frac{V₀}{R}\cdot e^{(}-t/\tau )$

   Eksi işaret pasif referansta boşalmayı gösterir

   $\displaystyle p_{R}\left(t\right)=\frac{V₀²}{R}\cdot e^{(}-2t/\tau )$

   w_C(t)=½CV₀²e⁽−2t/τ)

   Güç ve enerji iki kat üstel oranla azalır

   Sesli anlatım metni

   Gerilimden diğer tüm büyüklükleri türetebiliriz. Akım: i t eşittir C çarpı d-v-d-t, bu da eksi V-sıfır bölü R çarpı e üssü eksi t bölü tau verir. Eksi işareti, akımın şarj yönünün tersine aktığını gösterir. Kapasitör boşalmaktadır. Dirençte harcanan güç: p t eşittir i-kare çarpı R, bu da V-sıfır-kare bölü R çarpı e üssü eksi iki-t bölü tau'ya eşittir. Gücün gerilimden iki kat hızlı azaldığına dikkat edin, çünkü güç i-kare'ye bağlıdır.

5. 5. Sayısal RC doğal cevap örneği

   

   $\displaystyle R=2 k\Omega , C=100 µF, V₀=50 V$

   $\displaystyle \tau =\left(2000\right)\left(100\times 10⁻⁶\right)$

   $\displaystyle \tau =0,2 s$

   $\displaystyle v\left(t\right)=50e^{(}-t/0,2)=50e^{(}-5t) V$

   i_C(t)=−25e⁽−5t) mA

   t=τ için e⁻¹≈0,368

   $\displaystyle v\left(0,2\right)=18,4 V$

   Sesli anlatım metni

   Örnek: 50 volta şarj edilmiş 100 mikrofaradlık bir kapasitör, 2 kiloomlu bir direnç üzerinden boşalıyor. Birinci adım: tau eşittir R çarpı C eşittir 2000 çarpı 100 çarpı on üssü eksi altı, bu da 0.2 saniye yani 200 milisaniye eder. İkinci adım: v t eşittir 50 çarpı e üssü eksi t bölü 0.2 volt. Üçüncü adım: i t eşittir eksi 50 bölü 2000 çarpı e üssü eksi t bölü 0.2, bu da eksi 25 miliamper çarpı e üssü eksi 5-t eder. t eşittir 0.2 saniyede, v eşittir 50 çarpı 0.368 eşittir 18.4 volt.

6. 6. Beş zaman sabiti kuralı

   

   Kalan gerilim V/V₀=e⁽−t/τ)

   1τ: yüzde 36,8

   2τ: yüzde 13,5

   3τ: yüzde 5,0

   4τ: yüzde 1,8

   5τ: yüzde 0,674; pratikte sıfır

   Örnekte 5τ=1,0 s

   Sesli anlatım metni

   5-tau kuralı mühendisler için pratik bir rehberdir. t eşittir bir-tau'da gerilim V-sıfır'ın yüzde 36.8'idir. İki-tau'da yüzde 13.5. Üç-tau'da yüzde 5.0. Dört-tau'da yüzde 1.8. Ve beş-tau'da sadece yüzde 0.7 kalır. Mühendisler geçici rejimi 5 zaman sabitinden sonra fiilen ÖLMÜŞ kabul eder. Örneğimizde tau eşittir 200 milisaniye olduğuna göre, kapasitör bir saniye sonra tamamen boşalmış olur. 5 çarpı 200 milisaniye.

7. 7. Enerji korunumu ve grafik yöntem

   

   Başlangıç enerjisinin tamamı R'de harcanır

   w_C(0)=½CV₀²

   $\displaystyle p_{R}\left(t\right)=\frac{V₀²}{R}\cdot e^{(}-2t/\tau )$

   ∫₀∞p_R(t)dt=½CV₀²

   Elektrik alan enerjisi ısıya dönüşür

   v(t) asimptotik olarak sıfıra yaklaşır

   Başlangıç teğeti ölçümden τ tahmini sağlar

   Sesli anlatım metni

   Kapasitörde başlangıçta depolanan enerji yarım C çarpı V-sıfır karedir. Kapasitör boşaldıkça bu enerjinin TAMAMI dirençte ısı olarak harcanır. Doğrulayabiliriz: p t'yi sıfırdan sonsuza kadar integre edelim. V-sıfır-kare bölü R çarpı e üssü eksi iki-t bölü tau'nun integrali yarım C çarpı V-sıfır kare verir. Tam olarak başlangıçtaki depolanan enerji. Enerji korunur: hiçbir şey kaybolmaz, hiçbir şey oluşturulmaz. Kapasitörün elektrik alan enerjisi tamamen direncin ısı enerjisine dönüşür. Gerilim eğrisi V-sıfır'dan başlar ve üstel olarak sıfıra doğru azalır, asla tam olarak sıfıra ulaşmaz. Başlangıç eğimi eksi V-sıfır bölü tau'dur. t eşittir sıfırdaki teğet doğruyu çizin, bu doğru zaman eksenini tam olarak t eşittir tau'da keser. Bu bize ölçümlerden zaman sabitini tahmin etmek için basit bir grafik yöntemi verir. Akım eğrisi ise ayna görüntüsü gibidir. En negatif değerinden başlar ve aynı zaman sabiti ile sıfıra doğru azalır.

8. 8. RC doğal cevap özeti

   

   RC doğal cevabın ana sonuçları

   v(t)=V₀e⁽−t/RC)

   τ=RC azalma hızını belirler

   $\displaystyle i_{C}\left(t\right)=-\frac{V₀}{R}\cdot e^{(}-t/\tau )$

   5τ sonrası geçici rejim pratikte bitmiştir

   Başlangıç enerjisi dirençte ısı olur

   Doğal cevap: kaynak yok, başlangıç enerjisi var

   Sesli anlatım metni

   Bu dersten üç temel sonuç. Birincisi: RC doğal cevap, v t eşittir V-sıfır çarpı e üssü eksi t bölü tau'dur, burada tau eşittir R çarpı C'dir. İkincisi: zaman sabiti tau azalma hızını belirler. t eşittir sıfırdaki teğet doğru ekseni t eşittir tau'da keser ve 5-tau'dan sonra geçici rejim fiilen sıfırdır. Üçüncüsü: kapasitörde depolanan tüm enerji, yarım C V-sıfır kare, dirençte ısı olarak harcanır. Bir sonraki derste RL doğal cevabını göreceğiz, yani bugün öğrendiğimiz her şeyin dualini.