#03 قانون أوم الفازوري واشتقاق ممانعات R و L و C واتجاه الطور وتأثير التردد

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. اربط فازور الجهد بفازور التيار

   

   نطبّق تمثيل الفازور على قوانين العناصر المثالية.

   الهدف: علاقة جبرية بين فازور الجهد V وفازور التيار I.

   قانون أوم الفازوري:

   $\displaystyle V=Z I$

   Z هي الممانعة؛ تحمل تأثير المقدار والطور معا، ووحدتها الأوم.

   نص الشرح الصوتي

   الآن سنستخدم كتابة الفازور مع قوانين العناصر. في التيار المتناوب لا نريد علاقة طويلة في الزمن، بل نريد علاقة مباشرة بين فازور الجهد وفازور التيار. نكتبها على الصورة: في يساوي زد في آي. العامل زد اسمه الممانعة، وهو يحمل تأثير المقدار والطور معا.

2. 2. اشتق ممانعة المقاومة واتجاه الطور

   

   المقاومة المثالية: لا تخزين للطاقة.

   قانون الزمن:

   $\displaystyle v\left(t\right)=R i\left(t\right)$

   لا مشتقة ولا تكامل:

   $\displaystyle V=R I$

   ممانعة المقاومة:

   $\displaystyle Z_{R}=R$

   الممانعة حقيقية موجبة؛ الجهد والتيار في الطور نفسه.

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بالمقاومة. في الزمن نكتب الجهد يساوي آر في التيار. لا توجد مشتقة ولا تكامل، لذلك تبقى العلاقة في الفازورات بسيطة: في يساوي آر في آي. إذن ممانعة المقاومة هي آر فقط. هي كمية حقيقية، ولذلك يكون الجهد والتيار في الطور نفسه.

3. 3. حوّل مشتقة التيار إلى ممانعة الملف

   

   الملف المثالي: نبدأ بمشتقة التيار.

   قانون الزمن:

   $\displaystyle v\left(t\right)=L\cdot \frac{d i\left(t\right)}{\mathrm{d}t}$

   في تمثيل الفازور، الاشتقاق الزمني يقابله الضرب في jω.

   علاقة الفازورات:

   $\displaystyle V=j \omega L I$

   الممانعة على المحور التخيلي الموجب:

   $\displaystyle Z_{L}=j \omega L$

   جهد الملف يسبق تياره بزاوية 90°.

   نص الشرح الصوتي

   الآن الملف. قانون الملف في الزمن هو الجهد يساوي إل في مشتقة التيار. في الحالة الجيبية المستقرة تتحول المشتقة إلى ضرب في جي أوميغا. لذلك تصبح العلاقة: في يساوي جي أوميغا إل في آي. ممانعة الملف هي جي أوميغا إل، أي أنها على المحور التخيلي الموجب. وهذا يعني أن الجهد يسبق التيار بتسعين درجة.

4. 4. اشتق ممانعة المكثف وإشارتها

   

   قانون المكثف في الزمن:

   $\displaystyle i\left(t\right)=C\cdot \frac{d v\left(t\right)}{\mathrm{d}t}$

   علاقة الفازورات:

   $\displaystyle I=j \omega C V$

   نعزل الجهد:

   $\displaystyle V=\frac{I}{j \omega C}$

   ممانعة المكثف:

   $\displaystyle Z_{C}=\frac{1}{j \omega C}=-\frac{j}{\omega C}$

   ممانعة سالبة تخيليا؛ تيار المكثف يسبق جهده بزاوية 90°.

   نص الشرح الصوتي

   بالنسبة للمكثف نبدأ من العلاقة: التيار يساوي سي في مشتقة الجهد. في الفازورات تصبح آي تساوي جي أوميغا سي في. إذا حللناها بالنسبة للجهد نحصل على في يساوي واحدا على جي أوميغا سي مضروبا في آي. إذن ممانعة المكثف تساوي واحدا على جي أوميغا سي، أو سالب جي على أوميغا سي. هي على المحور التخيلي السالب، ولذلك يسبق التيار الجهد بتسعين درجة.

5. 5. قارن مواقع الممانعات وأثر التردد

   

   مقارنة عند تردد زاوي موجب واحد.

   المقاومة على المحور الحقيقي:

   $\displaystyle Z_{R}=R$

   الملف يتجه إلى أعلى:

   $\displaystyle Z_{L}=j \omega L$

   المكثف يتجه إلى أسفل:

   $\displaystyle Z_{C}=-\frac{j}{\omega C}$

   مع زيادة التردد: R ثابتة، مقدار ممانعة الملف يزيد، ومقدار ممانعة المكثف ينقص.

   نص الشرح الصوتي

   لنقارن العناصر الثلاثة. المقاومة على المحور الحقيقي. ممانعة الملف تتجه إلى أعلى على المحور التخيلي. وممانعة المكثف تتجه إلى أسفل. عندما يزيد التردد لا تتغير آر، لكن مقدار ممانعة الملف يزيد، ومقدار ممانعة المكثف ينقص.

6. 6. عوّض القيم وتحقق من الاتجاه

   

   تحقق عددي: المقدار وحده لا يكفي؛ الإشارة تحدد الاتجاه.

   التردد الزاوي المعطى:

   $\displaystyle \omega =1000 \left[\mathrm{rad/s}\right]$

   الملف 10 mH أي 0.01 H:

   $\displaystyle Z_{L}=j\times 1000\times 0.01=j10 \left[\mathrm{Ω}\right]$

   المكثف 100 μF أي 0.0001 F:

   $\displaystyle Z_{C}=-\frac{j}{1000\times 0.0001}=-j10 \left[\mathrm{Ω}\right]$

   المقداران متساويان: 10 أوم؛ والاتجاهان متعاكسان على المحور التخيلي.

   نص الشرح الصوتي

   لنثبت الاتجاه بإشارة عددية سريعة. خذ أوميغا تساوي ألف راديان في الثانية. إذا كان الملف عشرة ملي هنري، فإن ممانعته تساوي جي عشرة أوم. وإذا كان المكثف مئة ميكرو فاراد، فإن ممانعته تساوي سالب جي عشرة أوم. المقدار متساو هنا، لكن الاتجاه على المحور التخيلي عكس بعضه.

7. 7. لخّص الممانعة تمهيدا لقوانين كيرشوف

   

   الخلاصة:

   $\displaystyle V=Z I$

   تذكّر: R حقيقية؛ الملف +j؛ المكثف −j.

   التالي: قوانين كيرشوف وتحليل العقد والحلقات باستخدام الممانعات.

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة: الممانعة هي العامل الذي يربط فازور الجهد بفازور التيار. المقاومة حقيقية، والملف موجب تخيلي، والمكثف سالب تخيلي. في الدرس التالي سنضع هذه الممانعات داخل قوانين كيرشوف، وتحليل العقد، وتحليل الحلقات.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #03 - ممانعة المقاومة والملف والمكثف (2:51)