#44 Geçici Analiz #44 — RL basamak cevabı ve RC/RL dualitesi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. RL devresi: başlangıç, son değer ve tau

   

   Anahtar t=0 anında kapanır

   Başlangıçta indüktör akımı yoktur

   $\displaystyle i_{L}\left(0⁺\right)=0 A$

   DC kararlı halde indüktör kısa devredir

   $\displaystyle i_{L}\left(\infty \right)=\frac{V_{S}}{R}$

   İndüktörün gördüğü direnç R'dir

   $\displaystyle \tau =\frac{L}{R}$

   RC için τ=RC; RL için τ=L/R

   Üç değer genel formül için hazır

   Sesli anlatım metni

   Şimdi basamak cevabı formülünü bir Ar El devresine uygulayalım. Bir gerilim kaynağı V S, bir anahtar aracılığıyla seri bağlı direnç R ve indüktör L ye bağlı. Anahtar t eşittir sıfırda kapanır. Anahtarlamadan önce indüktörde akım yoktur, yani i L sıfır eşittir sıfır. Uzun süre sonra indüktör kısa devre gibi davranır ve akım maksimum kararlı hal değerine ulaşır: i L sonsuz eşittir V S bölü R. Ar El devresi için zaman sabiti tau eşittir L bölü R dir. Dikkat edin, bu Ar Si devrelerinden farklıdır: Ar Si için tau eşittir R çarpı Si, ama Ar El için tau eşittir L bölü R.

2. 2. RL akım yükselişi ve gerilim düşüşü

   

   x=i_L için genel formülü uygula

   $\displaystyle i_{L}\left(t\right)=\frac{V_{S}}{R}+\left[0-\frac{V_{S}}{R}\right]e^{(}-t/\tau )$

   $\displaystyle i_{L}\left(t\right)=\left(\frac{V_{S}}{R}\right)\left(1-e^{(}-t/\tau )\right)$

   Akım sıfırdan V_S/R'ye yükselir

   Bir tau'da yüzde 63,2'ye ulaşır

   Beş tau'da yüzde 99,3'e ulaşır

   $\displaystyle v_{L}\left(t\right)=V_{S} e^{(}-t/\tau )$

   İndüktör gerilimi V_S'den sıfıra iner

   Akım yükselirken gerilim düşer

   Sesli anlatım metni

   Genel formüle yerleştirelim: i L of t eşittir V S bölü R artı sıfır eksi V S bölü R çarpı e üssü eksi t bölü tau. Sadeleştirirsek, i L of t eşittir V S bölü R çarpı bir eksi e üssü eksi t bölü tau, burada tau eşittir L bölü R. Akım sıfırdan başlar ve üstel olarak V S bölü R ye yükselir. t eşittir tau da, i L, V S bölü R nin yüzde altmış üç nokta ikisine ulaşır. Beş tau da yüzde doksan dokuz nokta üçe ulaşır. İndüktör gerilimi ise: v L of t eşittir V S çarpı e üssü eksi t bölü tau. Gerilim V S den başlar ve üstel olarak sıfıra azalır. Kalıba dikkat edin: Ar El devrelerinde akım yükselirken indüktör gerilimi düşer. Bu, gerilimin yükselip akımın düştüğü Ar Si şarjının ayna görüntüsüdür.

3. 3. 10 V RL basamak sayısal örneği

   

   $\displaystyle R=200 \Omega , L=0,5 H, V_{S}=10 V$

   $\displaystyle i_{L}\left(0⁺\right)=0 A$

   $\displaystyle i_{L}\left(\infty \right)=\frac{10}{200}$

   i_L(∞)=50 mA

   $\displaystyle \tau =\frac{L}{R}=\frac{0,5}{200}$

   τ=2,5 ms

   i_L(t)=50(1−e⁽−400t)) mA

   i_L(τ)=31,6 mA; i_L(3τ)=47,5 mA

   i_L(5τ)=49,7 mA

   Sesli anlatım metni

   Sayısal bir örnek çözelim. Verilen: R eşittir iki yüz om, L eşittir sıfır nokta beş henri ve V S eşittir on volt. Birinci adım: başlangıç koşulu i L sıfır eşittir sıfır amper, indüktörde akım yok. İkinci adım: son değer i L sonsuz eşittir V S bölü R eşittir on bölü iki yüz, bu da elli miliamper eder. Üçüncü adım: zaman sabiti tau eşittir L bölü R eşittir sıfır nokta beş bölü iki yüz, bu da iki nokta beş milisaniye eder. Şimdi formülü uygulayalım: i L of t eşittir elli miliamper çarpı bir eksi e üssü eksi dört yüz t. t eşittir iki nokta beş milisaniyede, yani bir tau da, i L eşittir elli çarpı sıfır nokta altı üç iki, bu da otuz bir nokta altı miliamper verir. t eşittir yedi nokta beş milisaniyede, üç tau da, i L eşittir kırk yedi nokta beş miliamper. t eşittir on iki nokta beş milisaniyede, beş tau da, i L eşittir kırk dokuz nokta yedi miliamper, temelde elli.

4. 4. RC ve RL dualitesi

   

   Aynı genel formül, dual değişkenler

   RC: depolama elemanı C

   RL: depolama elemanı L

   RC ana değişkeni v_C; RL ana değişkeni i_L

   RC: τ=RC ↔ RL: τ=L/R

   DC'de C açık, L kısa devredir

   C enerjisi ½Cv²

   L enerjisi ½Li²

   Gerilim-akım rolleri birbirine karşılık gelir

   Sesli anlatım metni

   Şimdi Ar Si ve Ar El devrelerini yan yana karşılaştıralım. Buna dualite denir. Ar Si deki depolama elemanı kapasitör iken, Ar El de indüktördür. Ar Si de anahtar değişken gerilim V Si iken, Ar El de akım i L dir. Zaman sabiti Ar Si için tau eşittir R çarpı Si, Ar El için tau eşittir L bölü R dir. Şarj denkleminde Ar Si nin V Si of t eşittir V S çarpı bir eksi e üssü eksi t bölü R Si formülü vardır. Ar El nin ise i L of t eşittir V S bölü R çarpı bir eksi e üssü eksi t bölü tau formülü vardır. Kararlı halde kapasitör açık devre gibi davranır, akımı sıfırdır. İndüktör ise kısa devre gibi davranır, üzerindeki gerilim sıfırdır. Depolanan enerji: kapasitör yarım çarpı Si çarpı V kare, indüktör yarım çarpı L çarpı i kare depolar. Bu farklılıklara rağmen her ikisi de aynı genel formülü izler.

5. 5. Doğal cevap ve basamak cevabı

   

   İki cevap aynı üstel zaman ölçeğini kullanır

   Doğal cevapta kaynak bağlı değildir

   Depolanmış enerji serbest bırakılır

   Doğal cevap: başlangıç → 0

   Basamak cevabında kaynak t=0'da uygulanır

   Kaynak yeni kararlı hali belirler

   Basamak cevabı: başlangıç → son değer

   Doğal cevap için başlangıç ve tau yeterlidir

   Basamak için başlangıç, son değer ve tau gerekir

   Sesli anlatım metni

   Doğal cevap ile basamak cevabı arasındaki farkı da netleştirelim. Doğal cevap ta kaynak bağlı değildir ve devre depolanmış enerjisini serbest bırakır. Cevap başlangıç değerinden sıfıra azalır. Basamak cevabın da ise aniden bir kaynak uygulanır. Cevap başlangıç değerinden kaynağın belirlediği yeni kararlı hal değerine yükselir. Doğal cevap için sadece başlangıç koşulu ve tau gerekir. Basamak cevabı için başlangıç, son değer ve tau gerekir. Her ikisi de aynı üstel zaman sabiti davranışını paylaşır.

6. 6. RL basamak cevabı kontrol listesi

   

   RL basamak cevabını üç değerle çöz

   1) i_L(0⁺) değerini bul

   2) i_L(∞) değerini bul

   3) τ=L/R_eq değerini bul

   $\displaystyle i_{L}=\left(\frac{V_{S}}{R}\right)\left(1-e^{(}-t/\tau )\right)$

   $\displaystyle v_{L}=V_{S} e^{(}-t/\tau )$

   t=0 ve t→∞ sınırlarını doğrula

   RC/RL dualitesini işaret kontrolünde kullan

   Sonraki konu: ardışık anahtarlama

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Ar El basamak cevabı: i L of t eşittir V S bölü R çarpı bir eksi e üssü eksi t bölü tau, burada tau eşittir L bölü R. Akım sıfırdan V S bölü R ye yükselirken indüktör gerilimi V S den sıfıra azalır. Üç adımlı yöntem hem Ar Si hem Ar El devreleri için çalışır: başlangıç değerini bul, son değeri bul, tau yu bul, sonra genel formüle yerleştir. Ar Si ve Ar El devreleri birbirinin dualidir: kapasitör indüktöre, gerilim akıma ve R çarpı Si, L bölü R ye karşılık gelir. Bir sonraki derste ardışık anahtarlama konusunu inceleyeceğiz.