#41 Geçici Analiz #41 — RL doğal cevap teorisi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. RL doğal cevabın fiziksel kurulumu

   

   Sıfır girişli RL doğal cevap

   İndüktör akımı başlangıçta I₀'dır

   $\displaystyle i_{L}\left(0⁻\right)=i_{L}\left(0⁺\right)=I₀$

   t≥0 için dış kaynak yoktur

   Tek enerji kaynağı w_L(0)=½LI₀²

   İndüktör enerjisini R üzerinden boşaltır

   Aranan büyüklük i(t)

   Akım aniden sıfıra inemez

   Doğal cevap manyetik enerjinin sönümüdür

   Sesli anlatım metni

   Şimdi Ar-El devresinin doğal cevabını inceliyoruz. Başlangıç akımı I-sıfır olan bir indüktör ve bir direnç var. Switch t eşittir sıfırda açılır. Öncesinde, indüktör akımı I-sıfır değerinde sabitleşir. Switch'i açtığımız anda, devreyi süren bir dış kaynak yok. Sadece indüktörün manyetik alanında depolanan enerji var. İndüktör, enerjisini direnç aracılığıyla boşaltacak ve i-of-t'yi t sıfırdan büyük için bulmalıyız.

2. 2. RL denklemi ve üstel çözüm

   

   RL çevrimine KVL uygula

   $\displaystyle v_{L}+v_{R}=0$

   L·di/dt+R·i=0

   di/dt+(R/L)i=0

   Değişkenler: di/i=−(R/L)dt

   $\displaystyle \ln i=-\frac{t}{\tau }+K$

   $\displaystyle i\left(t\right)=A\cdot e^{(}-t/\tau )$

   $\displaystyle i\left(0\right)=I₀ \Rightarrow A=I₀$

   $\displaystyle i\left(t\right)=I₀e^{(}-t/\tau ), \tau =\frac{L}{R}$

   Sesli anlatım metni

   Devrenin etrafında Kirchhoff gerilim yasasını uygulayalım: V-L artı V-R eşittir sıfır. V eşittir L çarpı d-i-d-t ve V eşittir i-R yerine koyunca, L çarpı d-i-d-t artı i çarpı R eşittir sıfır elde ederiz. Düzenleyelim: d-i-d-t artı R bölü L çarpı i eşittir sıfır. Bu birinci derece, doğrusal, homojen bir diferansiyel denklemdir. Zaman sabitini tanımlayalım: tau eşittir L bölü R — birimleri saniye, Ar-Si gibi. Değişkenleri ayıralım: d-i bölü i eşittir eksi bir bölü tau çarpı d-t. Her iki tarafı integre edelim: L-N i eşittir eksi t bölü tau artı sabit. i için çözelim: i-of-t eşittir A çarpı e üssü eksi t bölü tau. Başlangıç koşulunu uygulayalım: t eşittir sıfırda, i eşittir I-sıfır. O halde A eşittir I-sıfır. Son çözüm: i-of-t eşittir I-sıfır çarpı e üssü eksi t bölü tau.

3. 3. RL zaman sabiti

   

   τ=L/R akım azalmasının hız ölçeğidir

   $\displaystyle \frac{H}{\Omega }=\frac{V\cdot \frac{s}{A}}{\frac{V}{A}}=s$

   $\displaystyle i\left(\tau \right)=I₀e⁻¹=0,368I₀$

   Başlangıç eğimi di/dt(0)=−I₀/τ

   Başlangıç teğeti ekseni t=τ'da keser

   L artarsa τ artar

   Daha büyük L daha yavaş akım değişimi

   R artarsa τ azalır

   Daha büyük R enerjiyi daha hızlı harcar

   Sesli anlatım metni

   Zaman sabiti tau, azalma hızını belirler. t eşittir tau'da, akım başlangıç değerinin yüzde otuz altı nokta sekizine düşer, yani e'nin tersi kadar. Birim kontrolü: L henry cinsinden, yani volt-saniye bölü amper. R ise volt bölü amper cinsindendir. Yani L bölü R saniye verir. Eğrinin başlangıç eğimi: d-i-d-t, t eşittir sıfırda, eksi I-sıfır bölü tau'dur. Bunu grafik olarak kullanabiliriz: t eşittir sıfırda üstel eğriye bir teğet çizgisi çiz. Bu teğet çizgi, zaman eksenini tam t eşittir tau'da kesecektir. Deneysel ölçümlerden tau bulmak için pratik bir yöntemdir. Büyük L, indüktörün daha fazla enerji depoladığını ve hızlı akım değişimine karşı koyduğunu gösterir, yani tau büyük ve azalma yavaştır. Büyük R, hızlı dağıtım demektir, yani tau küçük ve azalma hızlıdır.

4. 4. RL gerilim, güç ve enerji

   

   Akımdan diğer büyüklükleri çıkar

   $\displaystyle i\left(t\right)=I₀e^{(}-t/\tau )$

   $\displaystyle v_{R}\left(t\right)=I₀R\cdot e^{(}-t/\tau )$

   $\displaystyle v_{L}\left(t\right)=-I₀R\cdot e^{(}-t/\tau )$

   v_L+v_R=0 her an sağlanır

   $\displaystyle p_{R}\left(t\right)=I₀²R\cdot e^{(}-2t/\tau )$

   w_L(t)=½LI₀²e⁽−2t/τ)

   ∫₀∞p_Rdt=½LI₀²

   Manyetik alan enerjisinin tamamı R'de ısı olur

   Sesli anlatım metni

   Ar-El doğal cevabı için tüm cevap büyüklükleri burada. İndüktör akımı: i-of-t eşittir I-sıfır çarpı e üssü eksi t bölü tau. Direnç üzerindeki gerilim: V-R eşittir i çarpı R eşittir I-sıfır çarpı R çarpı e üssü eksi t bölü tau. Bunu V-sıfır çarpı e üssü eksi t bölü tau şeklinde yazabiliriz, V-sıfır eşittir I-sıfır çarpı R başlangıç gerilimidir. İndüktör üzerindeki gerilim: V-L eşittir eksi V-sıfır çarpı e üssü eksi t bölü tau. Eksi işaret önemliydi; indüktör, akım azalışına karşı koyarak ters yönde gerilim oluşturur. Kirchhoff gerilim yasası her an gerçeklenmelidir: V-L artı V-R eşittir sıfır. Dirençte dağıtılan güç: p eşittir i-kare çarpı R eşittir I-sıfır-kare çarpı R çarpı e üssü eksi iki-t bölü tau. Güç, akımdan iki kat daha hızlı azalır çünkü i-kareye bağlıdır. Son olarak, indüktörda depolanan manyetik enerji: w eşittir yarı L çarpı i-kare eşittir yarı L çarpı I-sıfır-kare çarpı e üssü eksi iki-t bölü tau. Zamanla, tüm bu manyetik enerji termal enerjiye, yani dirençte ısı dağıtımına dönüşür.