#20 Karakteristik polinom, gerekli katsayı koşulları, Routh tablosu, ilk sütun işaret değişimleri, üçüncü derece örnek ve sıfır içeren özel durumlar

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Routh-Hurwitz kriterinin amacını kur

   

   Bir önceki derste, kararlılığın transfer fonksiyonunun kutuplarının konumuna bağlı olduğunu öğrenmiştik.

   Tüm kutuplar sol yarı düzlemde olmalıdır.

   Ancak yüksek dereceli polinomlarda kökleri bulmak zordur.

   Kökleri hesaplamadan kararlılığı kontrol etmenin bir yolu var mı?

   Cevap evet.

   Routh-Hurwitz kriteri cebirsel bir test sunar.

   Sadece karakteristik polinomun katsayılarına ihtiyacımız var.

   Sesli anlatım metni

   Bir önceki derste, kararlılığın transfer fonksiyonunun kutuplarının konumuna bağlı olduğunu öğrenmiştik. Tüm kutuplar sol yarı düzlemde olmalıdır. Ancak yüksek dereceli polinomlarda kökleri bulmak zordur. Kökleri hesaplamadan kararlılığı kontrol etmenin bir yolu var mı? Cevap evet. Raut Hurvitz kriteri bize cebirsel bir test sunar. Sadece karakteristik polinomun katsayılarına ihtiyacımız var.

2. 2. Karakteristik polinomu tanımla

   

   İncelenen kapalı çevrimin gerçek katsayılı karakteristik polinomunu P(s) olarak yazalım.

   Giriş-çıkış BIBO analizi için P(s), sadeleştirilmiş kapalı-çevrim transfer fonksiyonunun paydasıdır; iç kararlılık ayrıca durum dinamiğini gerektirir.

   Bunu şöyle yazarız: a n çarpı s üzeri n, artı a n eksi bir çarpı s üzeri n eksi bir, ta ki a bir çarpı s, artı a sıfır.

   P(s)=0 kökleri, incelenen karakteristik köklerdir.

   Routh-Hurwitz kriteri, özel sıfır durumları doğru ele alındığında açık sağ-yarı-düzlemdeki kök sayısını kökleri çözmeden verir.

   Sesli anlatım metni

   Transfer fonksiyonuyla tanımlanan her doğrusal zamanla değişmeyen sistemin bir karakteristik polinomu vardır. Bu polinom, transfer fonksiyonunun paydasıdır. Bunu şöyle yazarız: a n çarpı s üzeri n, artı a n eksi bir çarpı s üzeri n eksi bir, ta ki a bir çarpı s, artı a sıfır. Bu polinomun kökleri sistemin kutuplarıdır. Raut Hurvitz kriteri, bu köklerin kaç tanesinin sağ yarı düzlemde olduğunu, onları çözmeden söyler.

3. 3. Gerekli katsayı koşullarını sına

   

   Routh tablosunu oluşturmadan önce kesin kararlılık için iki hızlı gerekli koşul vardır.

   Birincisi, tüm katsayılar mevcut olmalıdır.

   aₙ>0 ile normalize edilen gerçek polinomda sıfır/eksik katsayı varsa kesin Hurwitz kararlılığı mümkün değildir; kök sanal eksende de olabilir.

   İkincisi, tüm katsayılar aynı işarete sahip olmalıdır.

   Katsayıların hepsi pozitif değilse gerekli Hurwitz koşulu bozulur; kesin kararlılık sonucu verilemez.

   Bu koşullar gerekli ama yeterli değildir.

   İkisi de sağlansa bile kararlılığı doğrulamak için Routh tablosu gerekir.

   Sesli anlatım metni

   Raut tablosunu oluşturmadan önce, kararlılık için iki hızlı gerekli koşul vardır. Birincisi, tüm katsayılar mevcut olmalıdır. Herhangi bir katsayı sıfırsa, sistem kararlı olamaz. İkincisi, tüm katsayılar aynı işarete sahip olmalıdır. Herhangi bir katsayı diğerlerinden farklı işaretliyse, sağ yarı düzlemde en az bir kök vardır. Bu koşullar gerekli ama yeterli değildir. İkisi de sağlansa bile, kararlılığı doğrulamak için Raut tablosuna ihtiyacımız var.

4. 4. Routh tablosunun ilk iki satırını kur

   

   Şimdi Routh tablosunu oluşturalım.

   Tablo n artı bir satırdan oluşur, burada n polinomun derecesidir.

   İlk iki satır doğrudan katsayılardan gelir.

   sⁿ satırı n ile aynı paritedeki katsayıları alır: aₙ, aₙ₋₂, aₙ₋₄ ve devamı.

   sⁿ⁻¹ satırı karşı paritedeki katsayıları alır: aₙ₋₁, aₙ₋₃, aₙ₋₅ ve devamı.

   Her satır azalan s kuvvetleriyle etiketlenir.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi Raut tablosunu oluşturalım. Tablo n artı bir satırdan oluşur, burada n polinomun derecesidir. İlk iki satır doğrudan katsayılardan gelir. s üzeri n satırı tek indeksli katsayıları alır: a n, a n eksi iki, a n eksi dört ve böyle devam eder. s üzeri n eksi bir satırı çift indeksli katsayıları alır: a n eksi bir, a n eksi üç, a n eksi beş ve böyle devam eder. Her satır azalan s kuvvetleriyle etiketlenir.

5. 5. Routh tablosunu çapraz çarpımlarla hesapla

   

   Örneğin dördüncü derecede ilk yeni eleman b₁=(a₃a₂−a₄a₁)/a₃ olur; kalan elemanlar aynı determinant düzeniyle hesaplanır.

   Her giriş için, üstündeki ve solundaki elemanı alırız, bunu çapraz olarak üstündeki ve sağındaki elemanla çarparız, sonra ters çapraz çarpımı çıkarırız ve üstündeki soldaki elemana böleriz.

   Bu düzen s üzeri sıfır satırına kadar satır satır tekrarlanır.

   Her satırda bir öncekinden bir eleman daha az bulunur, son satırda tek bir giriş kalır.

   Sesli anlatım metni

   Kalan satırlar çapraz çarpım formülüyle hesaplanır. Her giriş için, üstündeki ve solundaki elemanı alırız, bunu çapraz olarak üstündeki ve sağındaki elemanla çarparız, sonra ters çapraz çarpımı çıkarırız ve üstündeki soldaki elemana böleriz. Bu düzen s üzeri sıfır satırına kadar satır satır tekrarlanır. Her satırda bir öncekinden bir eleman daha az bulunur, son satırda tek bir giriş kalır.

6. 6. İlk sütundaki işaret değişimlerini say

   

   Routh-Hurwitz kriterine göre ilk sütundaki işaret değişikliği sayısı açık sağ-yarı-düzlemdeki kök sayısına eşittir.

   Sıfır işaret değişimi açık sağ-yarı-düzlem kökü olmadığını gösterir; ancak kesin Hurwitz/BIBO kararlılığı için sanal-eksen kökü de bulunmamalıdır.

   Bir işaret değişikliği varsa, bir kararsız kök vardır.

   İki işaret değişikliği iki kararsız kök demektir.

   Açık sağ-yarı-düzlem kök sayısı ilk sütundan okunur; sıfır elemanı ve tümü-sıfır satır özel kuralları ayrıca uygulanır.

   Sesli anlatım metni

   Raut Hurvitz kriteri şunu söyler: Raut tablosunun ilk sütunundaki işaret değişikliklerinin sayısı, sağ yarı düzlemdeki kök sayısına eşittir. Sıfır işaret değişikliği varsa, tüm kökler sol yarı düzlemdedir ve sistem kararlıdır. Bir işaret değişikliği varsa, bir kararsız kök vardır. İki işaret değişikliği iki kararsız kök demektir. Sadece ilk sütuna bakmamız yeterlidir.

7. 7. Üçüncü derece örneği çöz

   

   Üçüncü dereceden bir örnek üzerinde çalışalım.

   Karakteristik polinomu düşünün: s küp artı altı s kare artı on bir s artı altı.

   Önce gerekli koşulları kontrol edelim.

   Tüm katsayılar mevcut ve pozitif.

   Güzel.

   Şimdi Routh tablosunu oluşturalım.

   s küp satırına bir ve on bir yazarız.

   s kare satırına altı ve altı yazarız.

   s üzeri bir satırı için: altı çarpı on bir eksi bir çarpı altı, hepsi bölü altı.

   Bu da altmış eksi altı bölü altı, yani dokuz eder.

   s üzeri sıfır satırı için: dokuz çarpı altı eksi altı çarpı sıfır, bölü dokuz, bu da altı eder.

   İlk sütun bir, altı, dokuz, altı.

   İlk sütunda işaret değişimi ve tabloda özel sıfır durumu yoktur.

   Sanal-eksen kökü de yoksa sistem kesin kararlıdır.

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü dereceden bir örnek üzerinde çalışalım. Karakteristik polinomu düşünün: s küp artı altı s kare artı on bir s artı altı. Önce gerekli koşulları kontrol edelim. Tüm katsayılar mevcut ve pozitif. Güzel. Şimdi Raut tablosunu oluşturalım. s küp satırına bir ve on bir yazarız. s kare satırına altı ve altı yazarız. s üzeri bir satırı için: altı çarpı on bir eksi bir çarpı altı, hepsi bölü altı. Bu da altmış eksi altı bölü altı, yani dokuz eder. s üzeri sıfır satırı için: dokuz çarpı altı eksi altı çarpı sıfır, bölü dokuz, bu da altı eder. İlk sütun bir, altı, dokuz, altı. Hiç işaret değişikliği yok. Sistem kararlıdır.

8. 8. Routh tablosunun özel durumlarını uygula

   

   İki özel durum ortaya çıkabilir.

   Birincisi, ilk sütunda sıfır var ama satırın geri kalanı tamamen sıfır değil.

   Bu durumda, sıfırı küçük bir pozitif sayı olan epsilon ile değiştirin, tabloyu normal şekilde devam ettirin ve epsilon sıfıra yaklaşırken işaret değişikliklerini inceleyin.

   İkincisi, tüm satır sıfırdan oluşuyor.

   Tümü-sıfır satır, orijine göre simetrik kökleri bildirir; yardımcı polinomun kökleri sanal eksen olasılığı için ayrıca incelenir.

   Üstündeki satırdan bir yardımcı polinom oluşturur, türevini alır ve türev katsayılarını sıfır satırının yerine koyarız.

   Sonra normal şekilde devam ederiz.

   Sesli anlatım metni

   İki özel durum ortaya çıkabilir. Birincisi, ilk sütunda sıfır var ama satırın geri kalanı tamamen sıfır değil. Bu durumda, sıfırı küçük bir pozitif sayı olan epsilon ile değiştirin, tabloyu normal şekilde devam ettirin ve epsilon sıfıra yaklaşırken işaret değişikliklerini inceleyin. İkincisi, tüm satır sıfırdan oluşuyor. Bu, polinomun orijine göre simetrik köklere sahip olduğunu gösterir. Üstündeki satırdan bir yardımcı polinom oluşturur, türevini alır ve türev katsayılarını sıfır satırının yerine koyarız. Sonra normal şekilde devam ederiz.

9. 9. Routh-Hurwitz prosedürünü toparla

   

   Özetleyelim.

   Routh-Hurwitz kriteri, karakteristik polinom katsayılarından açık sağ-yarı-düzlem kök sayısını belirler.

   Birinci adım: tüm katsayıların mevcut ve aynı işarette olduğunu doğrulayın.

   İkinci adım: katsayılardan Routh tablosunu oluşturun.

   Üçüncü adım: ilk sütundaki işaret değişikliklerini sayın.

   Sıfır işaret değişimi, açık sağ-yarı-düzlem kökü olmadığını gösterir.

   Sanal-eksen kökü de yoksa sistem kesin kararlıdır.

   Kesin kararlılık sonucundan önce sanal-eksen kökü olmadığını da özel satır kurallarıyla doğrulayın; ardından zaman-cevabı ölçütlerine geçebilirsiniz.

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Raut Hurvitz kriteri, kararlılığı sadece polinom katsayılarını kullanarak kontrol eder. Birinci adım: tüm katsayıların mevcut ve aynı işarette olduğunu doğrulayın. İkinci adım: katsayılardan Raut tablosunu oluşturun. Üçüncü adım: ilk sütundaki işaret değişikliklerini sayın. Sıfır işaret değişikliği, tüm kutupların sol yarı düzlemde olduğu anlamına gelir. Sistem kararlıdır. Bir sonraki derste zaman tanım bölgesi özelliklerini inceleyeceğiz: yükselme zamanı, yerleşme zamanı, aşım ve bunların kutup konumlarıyla ilişkisi.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #20 — Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri (4:56)