#42 Dördüncü dereceden parametrik karakteristik polinom, Routh tablosu, K>0 kararlılık aralığı ve K=0 sanal-eksen sınırı

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Parametrik dördüncü derece kararlılık sorusunu kur

   

   İşte problem.

   Elimizde bir transfer fonksiyonu var.

   G(s)=(s+3)/(3s⁴+3Ks³+4s²+Ks+1/3).

   Paydanın içinde serbest bir parametre var — Ka.

   Görevimiz, bu transfer fonksiyonunun kararlı olduğu tüm Ka değerlerini bulmak.

   Bir transfer fonksiyonunun tek başına kararlılığı tek bir şey demektir — her kutbun, yani payda polinomunun her kökünün, açık sol yarı düzlemde olması gerekir.

   BIBO kararlılığı sadeleştirilmiş transferin kutupları belirler; pay yalnız tam kutup-sıfır iptali varsa kutup kümesini değiştirebilir.

   Bu problemde z=−3, kararlılık aralığı sonucunu değiştiren bir kararsız kutup iptali oluşturmaz; iç kararlılık ayrıca değerlendirilmelidir.

   İncelenecek karakteristik polinom D(s)=3s⁴+3Ks³+4s²+Ks+1/3'tür.

   Hangi Ka için bu dördüncü dereceden polinomun her kökü açık sol yarı düzlemde kalır?

   Genel bir Ka için dördüncü dereceden bir polinomu elle çözmek çok ağır — kökler Ka'nın karmaşık fonksiyonlarıdır.

   Daha akıllı bir yola ihtiyacımız var.

   O yol, Routh-Hurwitz.

   Sesli anlatım metni

   İşte problem. Elimizde bir transfer fonksiyonu var. G ès, eşittir s artı üç, bölü, üç s üzeri dört, artı üç Ka s üzeri üç, artı dört s kare, artı Ka s, artı üçte bir. Paydanın içinde serbest bir parametre var — Ka. Görevimiz, bu transfer fonksiyonunun kararlı olduğu tüm Ka değerlerini bulmak. Bir transfer fonksiyonunun tek başına kararlılığı tek bir şey demektir — her kutbun, yani payda polinomunun her kökünün, açık sol yarı düzlemde olması gerekir. Pay, kararlılık için fark etmez. Eksi üçteki sıfırın burada hiç rolü yoktur. Soru, böylece tek bir polinoma indirgeniyor — üç s üzeri dört, artı üç Ka s üzeri üç, artı dört s kare, artı Ka s, artı üçte bir. Hangi Ka için bu dördüncü dereceden polinomun her kökü açık sol yarı düzlemde kalır? Genel bir Ka için dördüncü dereceden bir polinomu elle çözmek çok ağır — kökler Ka'nın karmaşık fonksiyonlarıdır. Daha akıllı bir yola ihtiyacımız var. O yol, Routh-Hurwitz.

2. 2. Routh-Hurwitz stratejisini ve kapsamını sınırla

   

   Strateji.

   Routh-Hurwitz, tek bir kök bile hesaplamadan kararlılık verir.

   İki aşamada çalışır.

   Birinci aşama — gerek koşul.

   Baş katsayısı pozitif gerçek bir Hurwitz polinomunda bütün katsayıların kesin pozitif olması gerekli, fakat tek başına yeterli olmayan bir koşuldur.

   Bir katsayı sıfırsa veya işaretler birbirine uymuyorsa, sistem zaten kararsızdır.

   Bitti — durabiliriz.

   İkinci aşama — Routh tablosu.

   Polinom katsayılarından bir tablo kuruyoruz.

   İlk sütunu hesaplıyoruz.

   Sıfır eleman veya tam sıfır satırı olmayan düzenli durumda kararlılık, Routh ilk sütununun baş katsayıyla aynı ve kesin pozitif işarette olmasını gerektirir.

   Polinomun içinde Ka gibi bir parametre olduğunda, girdiler Ka'nın ifadeleri haline gelir.

   Ka'ya bağlı her girdi bir eşitsizliğe dönüşür.

   Tüm bu eşitsizlikler birlikte, kararlılık için Ka aralığını verir.

   Her iki aşamayı da çalıştıracağız — önce gerek koşul, sonra tam Routh tablosu — ve sonunda kısıtlamaları birleştireceğiz.

   Sesli anlatım metni

   Strateji. Routh-Hurwitz, tek bir kök bile hesaplamadan kararlılık verir. İki aşamada çalışır. Birinci aşama — gerek koşul. Her kökün açık sol yarı düzlemde olması için, polinomun her katsayısının var olması ve hepsinin aynı işareti paylaşması gerekir. Bir katsayı sıfırsa veya işaretler birbirine uymuyorsa, sistem zaten kararsızdır. Bitti — durabiliriz. İkinci aşama — Routh tablosu. Polinom katsayılarından bir tablo kuruyoruz. İlk sütunu hesaplıyoruz. Kararlılık, ilk sütundaki her girdinin aynı işareti paylaşmasına denktir — yukarıdan aşağıya işaret değişimi olmamalı. Polinomun içinde Ka gibi bir parametre olduğunda, girdiler Ka'nın ifadeleri haline gelir. Ka'ya bağlı her girdi bir eşitsizliğe dönüşür. Tüm bu eşitsizlikler birlikte, kararlılık için Ka aralığını verir. Her iki aşamayı da çalıştıracağız — önce gerek koşul, sonra tam Routh tablosu — ve sonunda kısıtlamaları birleştireceğiz.

3. 3. Katsayı gerek koşulundan K>0 sonucunu al

   

   Birinci aşama — gerek koşul.

   Paydanın katsayılarını sırayla yazalım.

   Üç, üç Ka, dört, Ka, üçte bir.

   Bunlardan ikisi parametreyi taşıyor — üç Ka ve Ka.

   Diğer üçü sabit pozitif sayılar.

   Gerek koşulun sağlanması için her katsayının kesin pozitif olması gerekir — aynı işaret, sıfır yok.

   Üç pozitif.

   Her zaman.

   Dört pozitif.

   Her zaman.

   Üçte bir pozitif.

   Her zaman.

   Üç Ka, Ka pozitif olduğunda pozitif olur.

   Ka, Ka pozitif olduğunda pozitif olur.

   Birleştirelim.

   Gerek koşul K>0'dır.

   K≤0 kesin asimptotik/BIBO kararlılık sağlayamaz; K=0 sınırı sanal-eksen kutupları için ayrıca sınıflandırılmalıdır.

   K>0 gerekli koşuldur.

   Aynı zamanda yeter koşul mu — bunu Routh tablosu söyleyecek.

   Sesli anlatım metni

   Birinci aşama — gerek koşul. Paydanın katsayılarını sırayla yazalım. Üç, üç Ka, dört, Ka, üçte bir. Bunlardan ikisi parametreyi taşıyor — üç Ka ve Ka. Diğer üçü sabit pozitif sayılar. Gerek koşulun sağlanması için her katsayının kesin pozitif olması gerekir — aynı işaret, sıfır yok. Üç pozitif. Her zaman. Dört pozitif. Her zaman. Üçte bir pozitif. Her zaman. Üç Ka, Ka pozitif olduğunda pozitif olur. Ka, Ka pozitif olduğunda pozitif olur. Birleştirelim. Gerek koşul tek bir eşitsizlikte özetleniyor — Ka büyüktür sıfır. Ka sıfır veya negatifse, sistem zaten kararsız, daha fazla işleme gerek yok. Ka büyüktür sıfır gerek koşuldur. Aynı zamanda yeter koşul mu — bunu Routh tablosu söyleyecek.

4. 4. Routh tablosunun ilk iki satırını kur

   

   İkinci aşama — Routh tablosu.

   İlk iki satırı doğrudan katsayılardan koyalım.

   s⁴ satırı: [3,4,1/3].

   s³ satırı: [3K,K,0].

   Bu iki satır yazıldı.

   Kalan üç satır hesaplanmalı.

   Her hücre için tarif aynıdır.

   Üstteki iki satırdan iki çarpı iki bir blok alın — solda öncülük eden sütun, sağda hücrenin üstünde ve sağındaki sütun.

   O bloğun determinantını alın.

   Hemen üstteki satırın baş elemanına bölün.

   Bir sonraki sütuna geçin.

   Yapı tamamen mekaniktir.

   s kare satırını hesapla — iki hücre.

   s üzeri bir satırını hesapla — bir hücre.

   s üzeri sıfır satırını hesapla — bir hücre.

   Toplam beş hücre.

   Sonra ilk sütunu oku.

   Sesli anlatım metni

   İkinci aşama — Routh tablosu. İlk iki satırı doğrudan katsayılardan koyalım. s üzeri dört satırı, baş terimden başlayarak bir atlamalı tüm katsayıları toplar — üç, dört, üçte bir. s üzeri üç satırı kalan katsayıları toplar — üç Ka, Ka ve satırı doldurmak için bir sıfır. Bu iki satır yazıldı. Kalan üç satır hesaplanmalı. Her hücre için tarif aynıdır. Üstteki iki satırdan iki çarpı iki bir blok alın — solda öncülük eden sütun, sağda hücrenin üstünde ve sağındaki sütun. O bloğun determinantını alın. Hemen üstteki satırın baş elemanına bölün. Bir sonraki sütuna geçin. Yapı tamamen mekaniktir. s kare satırını hesapla — iki hücre. s üzeri bir satırını hesapla — bir hücre. s üzeri sıfır satırını hesapla — bir hücre. Toplam beş hücre. Sonra ilk sütunu oku.

5. 5. s² satırını hesapla

   

   s kare satırı.

   İlk iki satırdan hesaplanan iki hücre var.

   İlk hücre — adı b bir olsun.

   İki çarpı iki bloğu al.

   Üst satır, üç ve dört.

   Alt satır, üç Ka ve Ka.

   Çapraz çarp.

   Üç Ka çarpı dört, on iki Ka.

   Üç çarpı Ka, üç Ka.

   Çıkar.

   On iki Ka eksi üç Ka, dokuz Ka.

   Üstteki satırın baş elemanına böl — üç Ka.

   $\displaystyle b₁=\frac{3K\cdot 4-3K}{3K}=3, K\ne 0.$

   $\displaystyle b₁=3.$

   Ka sadeleşti.

   Hücre sabit pozitif bir sayı, Ka'ya hiç bağlı değil.

   İkinci hücre — adı b iki olsun.

   Üst satır, üç ve üçte bir.

   Alt satır, üç Ka ve sıfır.

   Çapraz çarp.

   Üç Ka çarpı üçte bir, Ka eder.

   Üç çarpı sıfır, sıfır.

   Çıkar.

   Ka eksi sıfır, Ka.

   Üç Ka'ya böl.

   $\displaystyle b₂=\frac{3K\left(\frac{1}{3}\right)-3\cdot 0}{3K}=\frac{1}{3}, K\ne 0.$

   $\displaystyle b₂=1/3.$

   Yine Ka sadeleşti — bir başka sabit pozitif sayı.

   s² satırı: [3,1/3,0].

   İki sıfırdan farklı hücre de pozitif sabit.

   Ka bağımlılığı buharlaştı.

   Sesli anlatım metni

   s kare satırı. İlk iki satırdan hesaplanan iki hücre var. İlk hücre — adı b bir olsun. İki çarpı iki bloğu al. Üst satır, üç ve dört. Alt satır, üç Ka ve Ka. Çapraz çarp. Üç Ka çarpı dört, on iki Ka. Üç çarpı Ka, üç Ka. Çıkar. On iki Ka eksi üç Ka, dokuz Ka. Üstteki satırın baş elemanına böl — üç Ka. Dokuz Ka bölü üç Ka, üçtür. b bir eşittir üç. Ka sadeleşti. Hücre sabit pozitif bir sayı, Ka'ya hiç bağlı değil. İkinci hücre — adı b iki olsun. Üst satır, üç ve üçte bir. Alt satır, üç Ka ve sıfır. Çapraz çarp. Üç Ka çarpı üçte bir, Ka eder. Üç çarpı sıfır, sıfır. Çıkar. Ka eksi sıfır, Ka. Üç Ka'ya böl. Ka bölü üç Ka, üçte birdir. b iki eşittir üçte bir. Yine Ka sadeleşti — bir başka sabit pozitif sayı. s kare satırı şimdi üç, üçte bir, sıfır. İki sıfırdan farklı hücre de pozitif sabit. Ka bağımlılığı buharlaştı.

6. 6. s¹ ve s⁰ satırlarını hesapla

   

   s üzeri bir satırı.

   Bir hücre, adı c bir olsun.

   Önceki iki satırdan iki çarpı iki bloğu al.

   Üst satır, üç Ka ve Ka.

   Alt satır, üç ve üçte bir.

   Çapraz çarp.

   Üç çarpı Ka, üç Ka.

   Üç Ka çarpı üçte bir, Ka.

   Çıkar.

   Üç Ka eksi Ka, iki Ka.

   Üstteki satırın baş elemanına böl — üç.

   $\displaystyle c₁=\frac{3K-\left(3K\right)\left(\frac{1}{3}\right)}{3}=2K/3.$

   Burada Ka hayatta kaldı.

   Hücre Ka'ya bağlı.

   s üzeri sıfır satırı.

   Bir hücre, adı d bir olsun.

   Bloğu al.

   Üst satır, üç ve üçte bir.

   Alt satır, iki Ka bölü üç ve sıfır.

   Çapraz çarp.

   İki Ka bölü üç çarpı üçte bir, iki Ka bölü dokuz.

   Üç çarpı sıfır, sıfır.

   Çıkar.

   İki Ka bölü dokuz eksi sıfır, iki Ka bölü dokuz.

   Üstteki satırın baş elemanına böl — iki Ka bölü üç.

   İki Ka bölü dokuz, bölü iki Ka bölü üç.

   İki Ka sadeleşir.

   Geriye dokuzda bir bölü üçte bir kalır, ki bu dokuzda üç eder, ki bu üçte birdir.

   $\displaystyle d₁=1/3.$

   Ka yine sadeleşti.

   Tablonun en altı sabit pozitif bir değer.

   Sesli anlatım metni

   s üzeri bir satırı. Bir hücre, adı c bir olsun. Önceki iki satırdan iki çarpı iki bloğu al. Üst satır, üç Ka ve Ka. Alt satır, üç ve üçte bir. Çapraz çarp. Üç çarpı Ka, üç Ka. Üç Ka çarpı üçte bir, Ka. Çıkar. Üç Ka eksi Ka, iki Ka. Üstteki satırın baş elemanına böl — üç. c bir eşittir iki Ka bölü üç. Burada Ka hayatta kaldı. Hücre Ka'ya bağlı. s üzeri sıfır satırı. Bir hücre, adı d bir olsun. Bloğu al. Üst satır, üç ve üçte bir. Alt satır, iki Ka bölü üç ve sıfır. Çapraz çarp. İki Ka bölü üç çarpı üçte bir, iki Ka bölü dokuz. Üç çarpı sıfır, sıfır. Çıkar. İki Ka bölü dokuz eksi sıfır, iki Ka bölü dokuz. Üstteki satırın baş elemanına böl — iki Ka bölü üç. İki Ka bölü dokuz, bölü iki Ka bölü üç. İki Ka sadeleşir. Geriye dokuzda bir bölü üçte bir kalır, ki bu dokuzda üç eder, ki bu üçte birdir. d bir eşittir üçte bir. Ka yine sadeleşti. Tablonun en altı sabit pozitif bir değer.

7. 7. İlk sütundan tam kararlılık aralığını bul

   

   Routh tablosunun ilk sütunu artık tamamlandı.

   Routh ilk sütunu: [3,3K,3,2K/3,1/3].

   Kararlılık her girdinin aynı işareti paylaşmasını gerektirir — ve baş girdi pozitif olduğundan, her girdinin kesin pozitif olması gerekir.

   Sütundan aşağı yürüyelim.

   Üç pozitif.

   Ka üzerinde kısıt yok.

   Üç Ka, Ka pozitif olduğunda pozitif olur.

   Bir eşitsizlik.

   Üç pozitif.

   Ka üzerinde kısıt yok.

   İki Ka bölü üç, Ka pozitif olduğunda pozitif olur.

   Aynı eşitsizlik, tekrar.

   Üçte bir pozitif.

   Ka üzerinde kısıt yok.

   K'ya bağlı iki ilk-sütun girdisi de K>0 ister.

   Birinci aşamadaki gerek koşul ile birleştirelim — orada da Ka büyüktür sıfır.

   İki aşama hemfikir.

   Son cevap.

   Sonuç: transfer fonksiyonu ancak ve ancak K>0 için BIBO kararlıdır.

   K=0'da s³ satırı tümüyle sıfır olur; yardımcı polinom A(s)=3s⁴+4s²+1/3'tür.

   K>0 için dört kutbun tamamı açık sol yarı düzlemdedir.

   K=0'da RHP kutbu yoktur; dört basit kutup sanal eksendedir. K<0'da ilk sütunda dört işaret değişimi ve dört RHP kutbu vardır.

   Sesli anlatım metni

   Routh tablosunun ilk sütunu artık tamamlandı. Yukarıdan aşağıya — üç, üç Ka, üç, iki Ka bölü üç, üçte bir. Kararlılık her girdinin aynı işareti paylaşmasını gerektirir — ve baş girdi pozitif olduğundan, her girdinin kesin pozitif olması gerekir. Sütundan aşağı yürüyelim. Üç pozitif. Ka üzerinde kısıt yok. Üç Ka, Ka pozitif olduğunda pozitif olur. Bir eşitsizlik. Üç pozitif. Ka üzerinde kısıt yok. İki Ka bölü üç, Ka pozitif olduğunda pozitif olur. Aynı eşitsizlik, tekrar. Üçte bir pozitif. Ka üzerinde kısıt yok. Beş girdiden ikisi Ka'ya bağlı, ve ikisi de aynı şeyi istiyor — Ka büyüktür sıfır. Birinci aşamadaki gerek koşul ile birleştirelim — orada da Ka büyüktür sıfır. İki aşama hemfikir. Son cevap. G ès transfer fonksiyonu, Ka'nın sıfırdan büyük olduğu her değer için kararlıdır, Ka'nın sıfır veya küçük olduğu her değer için kararsızdır. Ka eşittir sıfırda temiz bir parametrik kararlılık sınırı. Sınırın üstünde, dört kutbun hepsi açık sol yarı düzlemde. Sınırda veya altında, en az bir kutup sağ yarı düzleme geçiyor ve sistem patlıyor.

8. 8. K=0 sınırını yardımcı polinomla doğrula

   

   Doğrulama.

   Temiz bir cevabımız var — kararlılık için Ka büyüktür sıfır.

   Sayı koyup gerçek basamak yanıtına bakarak hızlı bir kontrol yapalım.

   K=2 örneğinde bütün kutuplar LHP'dedir.

   Kararlı bölgenin rahatça içinde.

   Basamak yanıtı kısa süreli salınım yapıp sonlu bir değere yerleşiyor.

   Sınırlı.

   Kararlı.

   Teori ile uyumlu.

   K=0,1 hâlâ kararlı bölgededir ve sınıra yakın olduğundan uzun süre çınlar.

   Hâlâ pozitif, ama sınıra yakın.

   Yanıt daha uzun süre çınlıyor — küçük Ka, sönümü açlığa mahkûm ediyor — ama yine de yerleşiyor.

   Asimptotik olarak kararlı, fakat sanal eksene yakın kutuplar nedeniyle küçük sönüm marjlıdır.

   Sınıra yukarıdan zarif bir şekilde yaklaşılıyor.

   K=0 tam kararlılık sınırıdır.

   Sınırın üzerindedir, kararlı bölgenin içinde değildir.

   Gerek koşul başarısız — bir katsayı şimdi sıfır.

   K=0'da kutuplar ±j√[(2−√3)/3] ve ±j√[(2+√3)/3]'tür; basamak yanıtı sınırlı fakat kalıcı salınımlıdır ve yerleşmez.

   Basit sanal-eksen kutupları nedeniyle asimptotik ve BIBO kararlı değildir; sıfır-giriş anlamında marjinaldir.

   K=−0,5 için Routh ilk sütununda dört işaret değişimi vardır.

   Sınırın altında.

   Payda artık yanlış işaretli bir katsayıya sahip ve yanıt patlıyor — eğri grafiğin dışına uçuyor.

   Güçlü bir şekilde kararsız, tahmin edildiği gibi.

   Dört veri noktası, dört eşleşme.

   Routh-Hurwitz, tek bir kutup bile hesaplamadan doğru cevabı verdi.

   Sesli anlatım metni

   Doğrulama. Temiz bir cevabımız var — kararlılık için Ka büyüktür sıfır. Sayı koyup gerçek basamak yanıtına bakarak hızlı bir kontrol yapalım. Sol üst panel — Ka eşittir iki. Kararlı bölgenin rahatça içinde. Basamak yanıtı kısa süreli salınım yapıp sonlu bir değere yerleşiyor. Sınırlı. Kararlı. Teori ile uyumlu. Sağ üst panel — Ka eşittir 0.1. Hâlâ pozitif, ama sınıra yakın. Yanıt daha uzun süre çınlıyor — küçük Ka, sönümü açlığa mahkûm ediyor — ama yine de yerleşiyor. Az kararlı, kıl payı. Sınıra yukarıdan zarif bir şekilde yaklaşılıyor. Sol alt panel — Ka eşittir sıfır. Tam sınırın üstünde. Gerek koşul başarısız — bir katsayı şimdi sıfır. Yanıt sınırsız sürükleniyor ve salınıyor. Sınırda kararsız, tahmin edildiği gibi. Sağ alt panel — Ka eşittir eksi 0.5. Sınırın altında. Payda artık yanlış işaretli bir katsayıya sahip ve yanıt patlıyor — eğri grafiğin dışına uçuyor. Güçlü bir şekilde kararsız, tahmin edildiği gibi. Dört veri noktası, dört eşleşme. Routh-Hurwitz, tek bir kutup bile hesaplamadan doğru cevabı verdi.

9. 9. Parametrik kararlılık sonucunu toparla

   

   Özet.

   Problem.

   G(s)=(s+3)/(3s⁴+3Ks³+4s²+Ks+1/3).

   Hangi Ka için transfer fonksiyonu kararlıdır?

   Yöntem.

   Routh-Hurwitz.

   Önce gerek koşul, sonra tam Routh tablosu.

   Routh ilk sütunu.

   [3,3K,3,2K/3,1/3].

   Kısıtlamalar.

   Sadece iki girdi Ka'ya bağlı.

   İkisi de K>0 ister.

   Cevap.

   G(s) ancak ve ancak K>0 için BIBO kararlıdır.

   Ana fikir.

   Bir transfer fonksiyonu paydasında serbest bir parametre taşıdığında, Routh tablosu kararlılık sorusunu o parametredeki bir eşitsizlikler sistemine dönüştürür.

   Eşitsizlikleri çöz — kararlı aralığı elde et.

   Kök bulmaya gerek yok.

   Routh-Hurwitz daha yüksek mertebe ve parametrik polinomlara da uygulanır; sıfır baş elemanı, tam sıfır satırı ve çoklu eşitsizlikler ayrıca ele alınmalıdır.

   Parametrik kararlılık sınırı, kontrol mühendisinin tasarıma götürdüğü en yararlı araçtır.

   Sesli anlatım metni

   Özet. Problem. G ès eşittir s artı üç, bölü, üç s üzeri dört, artı üç Ka s üzeri üç, artı dört s kare, artı Ka s, artı üçte bir. Hangi Ka için transfer fonksiyonu kararlıdır? Yöntem. Routh-Hurwitz. Önce gerek koşul, sonra tam Routh tablosu. Routh ilk sütunu. Üç, üç Ka, üç, iki Ka bölü üç, üçte bir. Kısıtlamalar. Sadece iki girdi Ka'ya bağlı. İkisi de Ka büyüktür sıfır talep ediyor. Cevap. G ès, ancak ve ancak Ka sıfırdan büyük ise kararlıdır. Ana fikir. Bir transfer fonksiyonu paydasında serbest bir parametre taşıdığında, Routh tablosu kararlılık sorusunu o parametredeki bir eşitsizlikler sistemine dönüştürür. Eşitsizlikleri çöz — kararlı aralığı elde et. Kök bulmaya gerek yok. Aynı yöntem ölçekleniyor — herhangi bir parametre, herhangi bir katsayı sayısı, herhangi bir polinom mertebesi için çalışır. Parametrik kararlılık sınırı, kontrol mühendisinin tasarıma götürdüğü en yararlı araçtır.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #42 — Routh-Hurwitz Parametrik Kararlılık (Çözümlü Örnek 19) (11:07)