نظرية الدوائر الكهربائية 2 · تحليل العقد والحلقات في مجال لابلاس مع الشروط الابتدائية

#18 اشتقاق معادلة عقدة RC ومعادلة حلقة RL وفصل الدخل عن الطاقة الابتدائية

اكتب تيارات العقدة وهبوطات الحلقة خطوة بخطوة، واحتفظ بإشارات الطاقة الابتدائية.

السؤال

بطاقة من الفيديو الأصلي تشرح قوانين كيرشوف أو نماذج الفروع أو فصل استجابة الدخل عن البداية. — مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.

اكتب معادلة عقدة لدائرة RC متوازية يغذيها مصدر تيار، ومعادلة حلقة لدائرة RL متسلسلة يغذيها مصدر جهد، مع حفظ الشروط الابتدائية. العناصر مثالية خطية وثابتة: R وC وL موجبة، بوحدات الأوم والفاراد والهنري. t بالثانية، وs متغير لابلاس المركب بوحدة مقلوب الثانية. الجهود والتيارات الصغيرة زمنية والكبيرة تحويلاتها: V(s) بالفولت·ثانية وI(s) بالأمبير·ثانية. الرمز السفلي s في I_s وV_s يعني المصدر؛ ليس ضربا في متغير لابلاس. نستخدم تحويل لابلاس أحادي الجانب من 0^- مع احتساب نبضة الأصل إن وجدت، ولا نفترض انعدام الطاقة قبل التبديل. V_0=v_C(0^-) وi_0=i_L(0^-) قيم موقعة بالمراجع نفسها. في مثال العقدة تتصل R وC بين العقدة العليا وعقدة المرجع السفلى؛ مصدر التيار موصول بين العقدتين ويحقن تياره من المرجع إلى الأعلى. V جهد الأعلى ناقص المرجع، وتيارا المقاومة والمكثف من الأعلى إلى المرجع. لذلك I_s=I_R+I_C، وI_C=sCV−CV_0. الأرضي هنا مرجع جهد، لا يلزم أن يكون أرض الحماية الفيزيائية. في مثال الحلقة نختار تيارا متسلسلا، وهبوط جهد R وL في اتجاهه وفق الاصطلاح الذي يدخل فيه التيار الطرف الموجب. V_s ارتفاع جهد المصدر في مسار هذا التيار، وi_0 بالاتجاه نفسه. عندئذ V_s=RI+sLI−Li_0. مصادر الشروط الابتدائية تمثيل جبري للطاقة المخزنة وليست مصادر فيزيائية جديدة. نميز استجابة صفر الحالة الناتجة من الدخل وحده، واستجابة صفر الدخل الناتجة من البداية وحدها؛ صفر الحالة لا يعني الجزء المستقر فقط. في حالة صفر الدخل ودون نبضة خارجية تكون البداية مستمرة وتؤول استجابتَا RC وRL إلى الصفر؛ لا نعمم النهاية الصفرية على دخل مستمر غير صفري. الأقطاب الطبيعية −1/(RC) و−R/L، وثابتا الزمن RC وL/R؛ الصيغ الزمنية للزمن الموجب بعد التبديل. شروط التقارب للجزأين الطبيعيين σ>−1/(RC) وσ>−R/L؛ للاستجابة الكاملة تراعى أيضا شروط دخلها. في الدوائر الأعم نضيف معادلات القيود اللازمة لمصادر الجهد أو التيار المثالية (العقدة أو الحلقة الفائقة عند الحاجة)، لا نختزل كل شبكة إلى جمع معاملات موجبة فقط. المرجع البصري هنا بطاقات من الفيديو نفسه: استبدلت صورة RC ذات سلك المصدر السفلي المنقطع، وصورة RL ذات اتجاهات مصادر لا توافق المعادلة، ببطاقتي قوانين العقد والحلقات. كما استبدلت بطاقة الخطوات ذات النص الخارج من الصندوق ببطاقة الخلاصة. هذه ليست إعادة إنتاج لدوائر أو فيديو مصحح؛ مراجع المثال الصحيحة محددة في هذا السؤال وسطوره.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. نماذج الفروع وقوانين كيرشوف
مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.
لدينا نماذج R وL وC في مجال لابلاس؛ نستخدمها الآن داخل الدائرة.
هل تحويل الدائرة إلى مجال s يحتاج قوانين كيرشوف جديدة؟
لا؛ قوانين حفظ التيار والجهد باقية.
قانون كيرشوف للتيارات (KCL) وقانون كيرشوف للجهود (KVL) لم يتغيرا.
نكتب الآن الجهود والتيارات المحولة، لا القيم الزمنية الآنية.
الطاقة المخزنة قبل التبديل تظهر كحدود مصادر للشروط الابتدائية.
سنطبق ذلك على عقدة RC وحلقة RL، مع تعريف مراجع الجهد والتيار.
نص الشرح الصوتي
أصبح لدينا الآن نماذج مجال إس للمقاومة والملف والمكثف. السؤال التالي هو: بعد أن نحول الدائرة، هل نحتاج إلى قوانين دائرة جديدة؟ لا. قانون كيرشوف للتيارات وقانون كيرشوف للجهود يبقيان كما هما. الفرق الوحيد أننا نكتب التيارات والجهود في مجال لابلاس. والجزء الجديد هو حدود الشروط الابتدائية التي تظهر كمصادر. في هذا الدرس نكتب معادلة عقدة واحدة ومعادلة حلقة واحدة مباشرة في مجال إس.
2. تيارات العقدة
مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.
تحليل العقد يبدأ بتحديد المرجع والمجاهيل.
العقدة السفلى مرجع صفر؛ V(s) تحويل جهد العقدة العليا بالنسبة إليها.
نعرّف تيار كل فرع خارجا من العقدة العليا، ثم نستخدم قانون العنصر.
للمقاومة بين العقدة والمرجع:
$\displaystyle I_{R}\left(s\right)=\frac{V\left(s\right)}{R}$
للمكثف، مع V_0 جهد البداية العلوي بالنسبة للمرجع:
$\displaystyle I_{C}\left(s\right)=C\left(s V\left(s\right)-V_{0}\right)=s C V\left(s\right)-C V_{0}$
حد الذاكرة في تيار الفرع سالب لأنه من تحويل المشتقة؛ ليس تيارا إضافيا افترضناه.
بنقل الحد إلى جهة الدخل تتغير إشارته:
$\displaystyle I_{s}\left(s\right)+C V_{0}=\frac{V\left(s\right)}{R}+s C V\left(s\right)$
نص الشرح الصوتي
نبدأ بتحليل العقد. اختر عقدة المرجع، ثم سم الجهد المجهول عند العقدة V في إس. لكل فرع خارج من العقدة نكتب تيار الفرع باستعمال نموذج العنصر في مجال إس. المقاومة إلى الأرضي تعطي V على R. أما المكثف إلى الأرضي، ومعه جهد ابتدائي V صفر على اللوح العلوي، فيعطي تيارا يساوي s C V في إس ناقص C V صفر. هذا الحد السالب هو حد الذاكرة. وإذا نقلناه إلى جهة المصدر يصبح موجبا: زائد C V صفر.
3. مثال عقدة RC
مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.
مثالنا عقدة RC متوازية؛ بطاقة القاعدة بديلة عن رسم المصدر ذي السلك المقطوع.
مصدر I_s(s) متصل بين المرجع والعقدة ويحقن التيار من الأسفل إلى الأعلى.
المقاومة والمكثف من العقدة إلى المرجع؛ تيارا الفرعين إلى الأسفل.
بمرجع الجهد نفسه نعرف البداية قبل التبديل:
$\displaystyle V_{0}=v_{C}\left(0^{-}\right)$
التيار الداخل يساوي التيارين الخارجين:
$\displaystyle I_{s}\left(s\right)=I_{R}\left(s\right)+I_{C}\left(s\right)$
نعوض قانون كل فرع مع حد البداية:
$\displaystyle I_{s}\left(s\right)=\frac{V\left(s\right)}{R}+s C V\left(s\right)-C V_{0}$
ننقل حد البداية، نجمع V، ثم نقسم على معاملها:
$\displaystyle \left(\frac{1}{R}+s C\right)V\left(s\right)=I_{s}\left(s\right)+C V_{0},\; V\left(s\right)=\frac{I_{s}\left(s\right)+C V_{0}}{s C+\frac{1}{R}}$
نص الشرح الصوتي
هذا مثال العقدة. مصدر تيار I s في إس يحقن التيار داخل العقدة. المقاومة والمكثف موصولان من العقدة إلى الأرضي. والمكثف يبدأ بجهد ابتدائي V صفر. قانون كيرشوف للتيارات يقول: التيار الداخل يساوي مجموع تيارات الفروع. إذن I s في إس يساوي V على R زائد s C V ناقص C V صفر. وعند جمع حدود الجهد المجهول نحصل على: واحد على R زائد s C، الكل مضروب في V، يساوي I s زائد C V صفر.
4. فحص معادلة العقدة
مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.
نفحص حالتين، ثم نجمعهما بخاصية الخطية.
إذا V_0 صفر، تبقى استجابة صفر الحالة للدخل فقط:
$\displaystyle V\left(s\right)=\frac{I_{s}\left(s\right)}{s C+\frac{1}{R}}$
إذا الدخل صفر، تبقى الطاقة الابتدائية؛ من المعادلة:
$\displaystyle \left(s C+\frac{1}{R}\right)V\left(s\right)=C V_{0}$
نقسم، ثم نقسم البسط والمقام على C للحصول على جواب صفر الدخل:
$\displaystyle V\left(s\right)=\frac{C V_{0}}{s C+\frac{1}{R}}=\frac{V_{0}}{s+\frac{1}{R C}}$
الجواب الكامل مجموع صفر الحالة وصفر الدخل؛ الأول ليس الجزء المستقر فقط:
$\displaystyle V\left(s\right)=\frac{I_{s}\left(s\right)}{s C+\frac{1}{R}}+\frac{V_{0}}{s+\frac{1}{R C}}$
نص الشرح الصوتي
فحصان سريعان يجعلان المعادلة موثوقة. إذا كان الجهد الابتدائي V صفر يساوي صفرا، يختفي حد الذاكرة ويبقى تأثير مصدر الدخل فقط. وإذا كان مصدر الدخل صفرا، فإن الطاقة المخزنة في المكثف ما زالت تقود الاستجابة الطبيعية. المعادلة نفسها تعطينا V في إس يساوي V صفر على إس زائد واحد على R C. إذن الاستجابة القسرية والاستجابة الطبيعية موجودتان معا داخل نفس الجبر.
5. هبوط جهد الحلقة
مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.
تحليل الحلقات يستخدم هبوط الجهد في مسار محدد.
اختر تيار الحلقة I(s)، وعرّف هبوط R وL في اتجاهه، وV_s ارتفاع المصدر في المسار نفسه.
هبوط جهد المقاومة وفق هذا المرجع:
$\displaystyle V_{R}\left(s\right)=R I\left(s\right)$
بداية الملف i_0 في اتجاه I؛ هبوطه المحول:
$\displaystyle V_{L}\left(s\right)=L\left(s I\left(s\right)-i_{0}\right)=s L I\left(s\right)-L i_{0}$
ارتفاع المصدر يساوي مجموع هبوطات العناصر:
$\displaystyle V_{s}\left(s\right)=V_{R}\left(s\right)+V_{L}\left(s\right)$
إشارة حد الذاكرة تأتي من قانون العنصر واتجاه مرجعه؛ لا تحفظ قطبية مرسومة دون فحص.
نص الشرح الصوتي
ننتقل الآن إلى تحليل الحلقات. اختر تيار حلقة I في إس، ثم سر حول الحلقة واكتب هبوط الجهد على كل فرع. المقاومة تعطي R I. والملف، إذا كان مرجع التيار فيه موافقا لاتجاه الحلقة، يعطي s L I ناقص L i صفر. قانون كيرشوف للجهود يقول إن المصدر المطبق يساوي مجموع هبوطات الجهد. إشارة مصدر الذاكرة لا نحفظها أولا؛ بل تأتي من اتجاه المرجع ومن قانون العنصر المحول.
6. مثال حلقة RL
مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.
حلقة RL: مصدر V_s(s) ومقاومة R وملف L على التوالي؛ نعتمد المراجع المحددة هنا لا الرسم المعيب.
التيار الابتدائي مقاس في اتجاه تيار الحلقة نفسه:
$\displaystyle i_{0}=i_{L}\left(0^{-}\right)$
نعوض هبوط المقاومة وهبوط الملف في قانون الجهود:
$\displaystyle V_{s}\left(s\right)=R I\left(s\right)+s L I\left(s\right)-L i_{0}$
ننقل −Li_0 إلى جهة المصدر ونجمع معامل I:
$\displaystyle \left(R+s L\right)I\left(s\right)=V_{s}\left(s\right)+L i_{0}$
نقسم على المعاوقة الكلية؛ فصل البسط يبين الدخل والبداية:
$\displaystyle I\left(s\right)=\frac{V_{s}\left(s\right)+L i_{0}}{R+s L}=\frac{V_{s}\left(s\right)}{R+s L}+\frac{i_{0}}{s+\frac{R}{L}}$
نص الشرح الصوتي
في مثال الحلقة لدينا مصدر جهد V s في إس، ثم مقاومة R، ثم ملف L على التوالي. التيار الابتدائي للملف i صفر في اتجاه تيار الحلقة. من قانون كيرشوف للجهود: V s يساوي R I زائد s L I ناقص L i صفر. وعند جمع I نحصل على R زائد s L مضروبة في I، يساوي V s زائد L i صفر. لذلك I في إس يساوي V s زائد L i صفر، مقسوما على R زائد s L.
7. خطوات الحل العامة
مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.
خطوات الحل قابلة للتكرار، لكن اختيار المرجع وفحص الإشارة ضروريان.
أولا: حول المصادر المستقلة وكل فروع R وL وC إلى مجال s، لا العناصر وحدها.
ثانيا: احتفظ بالشروط الابتدائية الموقعة عند 0^-؛ لا تفترضها صفرا.
ثالثا: طبق قانون كيرشوف للتيارات أو الجهود مع اتجاهات متسقة.
رابعا: اجمع معاملات الجهود العقدية أو تيارات الحلقات المجهولة.
خامسا: حل المعادلات جبريا، ثم اعكس لابلاس إن احتجت الجواب الزمني.
في الشبكات الأكبر نجمع المعادلات في مصفوفة؛ نضيف قيود المصادر المثالية عند الحاجة.
نص الشرح الصوتي
طريقة العمل عامة وميكانيكية. أولا، حول المصادر المستقلة وكل فروع R و L و C إلى نماذج مجال إس. ثانيا، احتفظ بكل قيمة ابتدائية عند صفر ناقص. ثالثا، اكتب KCL أو KVL كما تفعل في تحليل الدوائر العادي. رابعا، اجمع الجهود العقدية أو تيارات الحلقات المجهولة. خامسا، حل جبريا، ثم خذ التحويل العكسي إذا كنت تحتاج إلى الإشارة في الزمن. في الدوائر الكبيرة تتحول العملية نفسها إلى معادلة مصفوفية في إس.
8. مصائد شائعة
مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.
خمس مصائد قد تمحو البداية أو تقلب الإشارة.
استخدم 0^- في هذه النماذج؛ تساوي 0+ معها يحتاج غياب النبضة التي تقفز بمتغير الحالة.
لا تغير إشارة الذاكرة وحدها؛ أعد قانون العنصر إذا عكست مرجع الجهد أو التيار.
المصدر المستقل أيضا يحول إلى s؛ المصدر الثابت بعد التبديل ليس ثابتا في مجال لابلاس.
لا تجمع جهدا زمنيا مع جهد محول، ولا معاوقة مع جهد؛ راقب الوحدات.
انعدام المصدر الخارجي لا يمحو طاقة C أوL الابتدائية؛ قد يبقى جواب صفر الدخل.
نص الشرح الصوتي
انتبه إلى خمس مصائد. لا تستخدم صفر موجب عندما يحتاج النموذج إلى صفر ناقص. لا تعط مصدر الذاكرة إشارة خاطئة. لا تنس أن المصادر المستقلة نفسها يجب أن تتحول إلى مجال إس. لا تخلط عناصر الزمن مع معادلات مجال إس. ولا تحذف حدود الاستجابة الطبيعية فقط لأن المصدر الخارجي يساوي صفرا؛ فالطاقة المخزنة قد تكون هي المصدر.
9. الخلاصة
مرجع من الفيديو نفسه؛ رسمَا RC وRL المعيبان استبدلا ببطاقتي القواعد، وبطاقة الخطوات بالخلاصة. المراجع والمعادلات الصحيحة في سطور الدفتر؛ المصدر لم يعد إنتاجه.
الخلاصة: قوانين كيرشوف نفسها، ونماذج الفروع محولة.
الدرس السابق اشتق نماذج R وL وC مع مصادر الذاكرة.
هنا أدخلنا النماذج في معادلات عقدة وحلقة، وحللنا جبريا.
في العقد نجمع معاملات الجهد (المواصليات) مع حدود المصادر؛ في مثالنا:
$\displaystyle \left(\frac{1}{R}+s C\right)V\left(s\right)=I_{s}\left(s\right)+C V_{0}$
في الحلقة نجمع معاملات التيار (المعاوقات) مع حدود المصادر؛ في مثالنا:
$\displaystyle \left(R+s L\right)I\left(s\right)=V_{s}\left(s\right)+L i_{0}$
الجواب الكامل يجمع استجابة الدخل من حالة صفرية واستجابة الشروط الابتدائية من دخل صفري.
الدرس التالي دالة الانتقال: نسبة خرج إلى دخل مع شروط ابتدائية صفرية؛ ليست كل نسبة تحت بداية غير صفرية دالة انتقال.
نص الشرح الصوتي
الخلاصة. الدرس السابع عشر أعطانا نماذج الفروع. هذا الدرس يبين كيف نستخدمها داخل المعادلات. تحليل العقد يجمع الممانعات الناقلة حول V في إس. وتحليل الحلقات يجمع الممانعات حول I في إس. والنتيجة تحمل استجابة الدخل واستجابة الشروط الابتدائية معا. في الدرس التالي نحول هذه المعادلات إلى دوال انتقال: خرج على دخل، مع شروط ابتدائية صفرية.