#17 قوانين العناصر، مصادر الذاكرة، واشتقاق الاستجابة الطبيعية لدائرة RC

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. من لابلاس إلى الدائرة

   

   أدوات لابلاس ربطت الزمن بالمجال المركب؛ الآن نستخدمها لبناء نماذج الدائرة.

   نعود إلى المقاومة والملف والمكثف، لا إلى قواعد تحويل مجردة.

   نكتب لكل عنصر علاقة جبرية في مجال s، مع حفظ اتجاهات الجهد والتيار.

   للمقاومة المثالية الثابتة تبقى المعاوقة:

   $\displaystyle Z_{R}=R$

   ذاكرة الملف والمكثف تظهر كحدود مصادر في النموذج؛ ليست طاقة جديدة أضيفت إلى الدائرة.

   بهذه النماذج نكتب لاحقا قوانين كيرشوف للعقد والحلقات في مجال s.

   نص الشرح الصوتي

   في الدروس السابقة بنينا أدوات لابلاس: التعريف، الخواص، التحويل العكسي، الأقطاب، الأصفار، وفحص البداية والنهاية. الآن نرجع بهذه الأدوات إلى الدوائر نفسها. الهدف بسيط: نأخذ كل عنصر في الزمن، ونستبدله بنموذج جبري في مجال إس. المقاومة ستبقى تقريبا كما هي. أما الملف والمكثف فلهما ذاكرة، ولذلك تظهر قيمة التيار الابتدائي أو الجهد الابتدائي كمصدر مستقل. بعد هذه الخطوة نستطيع في الدرس التالي كتابة معادلات العقد والحلقات مباشرة في مجال إس.

2. 2. الطاقة والذاكرة

   

   الفارق هو الطاقة المخزنة، لا مجرد شكل رمز العنصر.

   المقاومة المثالية تبدد الطاقة ولا تملك متغير حالة مستقل؛ لا مصدر ابتدائي منفصل لها.

   الملف يتذكر تياره قبل التبديل؛ نعرف الاختصار:

   $\displaystyle i_{0}=i_{L}\left(0^{-}\right)$

   المكثف يتذكر جهده قبل التبديل؛ نعرف الاختصار:

   $\displaystyle v_{0}=v_{C}\left(0^{-}\right)$

   صفر ناقص يعني الحد قبل التبديل مباشرة، في تحويل لابلاس أحادي الجانب المستعمل هنا.

   حذف الحدود الابتدائية غير الصفرية يحذف أثر الطاقة المخزنة من الحل.

   نص الشرح الصوتي

   الفاصل المهم هو تخزين الطاقة. المقاومة لا تخزن الطاقة كمتغير حالة، لذلك لا يظهر لها حد ابتدائي. الملف يخزن طاقة مغناطيسية، ومتغير الحالة فيه هو التيار قبل التبديل، أي i L عند صفر ناقص. المكثف يخزن طاقة كهربائية، ومتغير الحالة فيه هو الجهد قبل التبديل، أي v C عند صفر ناقص. رمز صفر ناقص مهم جدا: نقرأ القيمة قبل لحظة التبديل مباشرة. إذا لم يتذكر نموذج مجال إس هذه الطاقة، فإن الجزء الطبيعي من الاستجابة سيختفي من الحل.

3. 3. نموذج المقاومة

   

   المقاومة المثالية الثابتة هي الحالة المرجعية، مع اصطلاح الإشارة السلبي.

   التيار يدخل الطرف الموجب؛ قانون الزمن:

   $\displaystyle v_{R}\left(t\right)=R i_{R}\left(t\right)$

   بالخطية، وفي مجال لابلاس:

   $\displaystyle V_{R}\left(s\right)=R I_{R}\left(s\right)$

   لا مشتقة ولا تكامل في قانون المقاومة؛ لذلك لا يظهر حد ابتدائي مستقل.

   معاوقة المقاومة وحدها:

   $\displaystyle Z_{R}=R$

   الرموز الكبيرة تحويلات زمنية، وليست قيما لحظية؛ عناصر التخزين تضيف حدود الذاكرة.

   نص الشرح الصوتي

   نبدأ بالمقاومة لأنها الحالة المرجعية النظيفة. في الزمن، جهد المقاومة يساوي R مضروبة في تيارها. بعد تحويل لابلاس نحصل مباشرة على V R في إس يساوي R مضروبة في I R في إس. لا توجد مشتقة ولا تكامل، لذلك لا تظهر قيمة ابتدائية. في دائرة مجال إس تبقى المقاومة هي R فقط. لهذا تصبح الأجزاء المقاومية جبرا عاديا، بينما عناصر التخزين تجلب معها حدود الذاكرة.

4. 4. نموذج الملف

   

   نقصد اصطلاح الإشارة السلبي بالمعنى الطاقي؛ التعريف الحاسم هو أن مرجع التيار يدخل طرف الجهد الموجب.

   قانون الملف المثالي ذي L ثابتة:

   $\displaystyle v_{L}\left(t\right)=L \left(\frac{d i_{L}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\right)$

   قاعدة المشتقة أحادية الجانب مع صفر ناقص، قبل توزيع L:

   $\displaystyle V_{L}\left(s\right)=L\left[s I_{L}\left(s\right)-i_{L}\left(0^{-}\right)\right]$

   نوزع L على الحدين ولا نسقط الإشارة:

   $\displaystyle V_{L}\left(s\right)=s L I_{L}\left(s\right)-L i_{L}\left(0^{-}\right)$

   نفصل المعاوقة عن هبوط جهد المصدر في اتجاه التيار؛ i_0 هو التيار الابتدائي:

   $\displaystyle Z_{L}=s L,\; E_{L}\left(s\right)=-L i_{0}$

   إذن نموذج الملف يجمع هبوط المعاوقة وحد الذاكرة، لا المعاوقة والجهد مباشرة:

   $\displaystyle V_{L}\left(s\right)=Z_{L} I_{L}\left(s\right)+E_{L}\left(s\right)$

   نص الشرح الصوتي

   بالنسبة إلى الملف نستخدم اصطلاح الإشارة السالبية المعتاد: التيار يدخل من طرف الجهد الموجب. قانون الزمن هو v L يساوي L مضروبة في مشتقة i L. قاعدة لابلاس للمشتقة تعطينا V L في إس يساوي L مضروبة في s I L في إس ناقص i L عند صفر ناقص. أي أن V L في إس يساوي s L I L في إس ناقص L i L عند صفر ناقص. نقرأ ذلك كمعاوقة s L، ومعها حد مصدر سببه التيار الابتدائي. إذن الملف ليس مجرد معاوقة؛ إنه يتذكر تياره قبل التبديل.

5. 5. نموذج المكثف

   

   الجهد قبل التبديل هو متغير ذاكرة المكثف.

   مع دخول التيار الطرف الموجب وقيمة C ثابتة:

   $\displaystyle i_{C}\left(t\right)=C \left(\frac{d v_{C}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\right)$

   قاعدة المشتقة تحفظ حد البداية داخل القوس:

   $\displaystyle I_{C}\left(s\right)=C\left[s V_{C}\left(s\right)-v_{C}\left(0^{-}\right)\right]$

   نقسم على sC بعد نقل الحد الابتدائي؛ خطوتا الحل:

   $\displaystyle s C V_{C}\left(s\right)=I_{C}\left(s\right)+C v_{0},\; V_{C}\left(s\right)=\frac{I_{C}\left(s\right)}{s C}+\frac{v_{0}}{s}$

   نفصل المعاوقة عن هبوط المصدر؛ v_0 هو الجهد الابتدائي:

   $\displaystyle Z_{C}=\left(\frac{1}{s C}\right),\; E_{C}\left(s\right)=\frac{v_{0}}{s}$

   المكثف يتذكر جهده؛ الصيغة الكاملة للفرع:

   $\displaystyle V_{C}\left(s\right)=Z_{C} I_{C}\left(s\right)+E_{C}\left(s\right)$

   نص الشرح الصوتي

   في المكثف متغير التخزين هو الجهد. مع نفس اصطلاح الإشارة، التيار i C يساوي C مضروبة في مشتقة v C. بعد تحويل لابلاس نحصل على I C في إس يساوي C مضروبة في s V C في إس ناقص v C عند صفر ناقص. إذا حللنا هذه العلاقة من أجل الجهد، نجد V C في إس يساوي I C في إس مقسوما على s C، زائد v C عند صفر ناقص مقسوما على s. إذن المعاوقة هي واحد على s C، والجهد الابتدائي يظهر كمصدر جهد. المكثف يتذكر الجهد كما يتذكر الملف التيار.

6. 6. ورقة النماذج

   

   نقارن النماذج بكتابة جهد كل فرع، لا بجمع كميات مختلفة الوحدات.

   المقاومة بلا حد ذاكرة:

   $\displaystyle V_{R}\left(s\right)=R I_{R}\left(s\right)$

   الملف بحد التيار الابتدائي السالب، للمرجع المختار:

   $\displaystyle V_{L}\left(s\right)=s L I_{L}\left(s\right)-L i_{0}$

   المكثف بحد الجهد الابتدائي الموجب، للمرجع المختار:

   $\displaystyle V_{C}\left(s\right)=\frac{I_{C}\left(s\right)}{s C}+\frac{v_{0}}{s}$

   القطبية تأتي من قانون العنصر وقاعدة المشتقة؛ لا تحفظ رسما دون تعريف مرجعه.

   إذا عكسنا مرجعا نعيد كتابة القانون والشرط الابتدائي بنفس المرجع؛ لا نقلب حد المصدر وحده عشوائيا.

   الطريقة الآمنة: اختر المراجع، اكتب قانون الزمن، ثم حوله واحتفظ بحد البداية.

   نص الشرح الصوتي

   ضع النماذج الثلاثة جنبا إلى جنب. المقاومة هي R. الملف هو s L مع حد من التيار الابتدائي. والمكثف هو واحد على s C مع حد من الجهد الابتدائي. الإشارات ليست شيئا نحفظه عميانا؛ هي تأتي من قاعدة المشتقة ومن اتجاهات المرجع المختارة. إذا عكست مرجع التيار أو الجهد، فإن إشارة الحد تتغير معه. الطريقة الآمنة دائما هي: اكتب قانون العنصر أولا، ثم خذ تحويل لابلاس.

7. 7. تفريغ مكثف عبر مقاومة

   

   مثال تفريغ مكثف عبر مقاومة.

   R وC موجبان، ولا مصدر خارجي أو نبضة تيار عند التبديل؛ الجهد مستمر:

   $\displaystyle v\left(0^{+}\right)=v\left(0^{-}\right)=V_{0}$

   نعرف تياري R وC من العقدة العليا إلى السفلى؛ قانون التيارات ثم قوانين العناصر:

   $\displaystyle i_{C}+i_{R}=0,\; C \left(\frac{d v\left(t\right)}{\mathrm{d}t}\right)+\frac{v\left(t\right)}{R}=0$

   نطبق التحويل أحادي الجانب مع الجهد السابق للتبديل:

   $\displaystyle C\left[s V\left(s\right)-V_{0}\right]+\frac{V\left(s\right)}{R}=0$

   نوسع ثم نجمع ونقسم؛ جميع خطوات الجبر:

   $\displaystyle s C V\left(s\right)-C V_{0}+\frac{V\left(s\right)}{R}=0,\; \left(s C+\frac{1}{R}\right)V\left(s\right)=C V_{0},\; V\left(s\right)=\frac{C V_{0}}{s C+\frac{1}{R}}=\frac{V_{0}}{s+\frac{1}{R C}}$

   نعكس التحويل للزمن الموجب؛ α هو معدل الاضمحلال، لا زمنه:

   $\displaystyle v\left(t\right)=V_{0} e^{-\alpha t},\; \alpha =\left(\frac{1}{R C}\right),\; t>0$

   القطب سالب وثابت الزمن موجب؛ فحص السرعة:

   $\displaystyle p=-\left(\frac{1}{R C}\right),\; \tau =R C>0$

   نص الشرح الصوتي

   نأخذ مثالا صغيرا. مكثف يبدأ بجهد ابتدائي V صفر، ثم يفرغ طاقته خلال مقاومة R. مجموع تيار المكثف وتيار المقاومة يساوي صفرا، لذلك C في مشتقة v زائد v على R يساوي صفرا. بعد لابلاس: C مضروبة في s V في إس ناقص V صفر، زائد V في إس على R، يساوي صفرا. نجمع حدود V في إس فنحصل على V في إس يساوي V صفر مقسوما على s زائد واحد على R C. في الزمن هذه هي V صفر مضروبة في e للأس ناقص t على R C. والقطب عند ناقص واحد على R C.

8. 8. مصائد الشروط الابتدائية

   

   أربع مصائد.

   في قاعدة التحويل المختارة نستخدم صفر ناقص؛ من دون نبضة الجهد على L أو نبضة التيار في C قد يساوي الحد صفر موجب.

   لا نضيف مصدرا ابتدائيا إلى المقاومة المثالية؛ ليست عنصرا مخزنا للطاقة.

   استخرج قطبية المصدر من القانون ومن مرجعي الفرع، لا من الحفظ.

   انعدام المصدر الخارجي لا يبرر حذف الشروط الابتدائية غير الصفرية.

   هذه استجابة صفر دخل؛ الطاقة القديمة هي التي تتبدد في المقاومة، وليست هناك طاقة مستقلة جديدة.

   نص الشرح الصوتي

   هناك أربع مصائد شائعة. أولا، استخدم قيمة صفر ناقص، لا صفر موجب، لأننا نقرأ الطاقة المخزنة قبل التبديل. ثانيا، لا تضف مصدر ذاكرة إلى المقاومة؛ المقاومة لا تملك حالة مخزنة. ثالثا، لا تحفظ قطبية المصدر بلا فهم؛ استخرج الإشارة من اتجاهات المرجع وقانون العنصر المحول. رابعا، لا تحذف الحد الابتدائي فقط لأن الدائرة بلا مصدر خارجي. الاستجابة الطبيعية يقودها بالضبط ما كان مخزنا من طاقة.

9. 9. الخلاصة

   

   الخلاصة.

   المقاومة تبقى R؛ قانون الفرع:

   $\displaystyle V_{R}\left(s\right)=R I_{R}\left(s\right)$

   الملف يحتفظ بالتيار الابتدائي؛ هبوط الفرع:

   $\displaystyle V_{L}\left(s\right)=s L I_{L}\left(s\right)-L i_{0}$

   المكثف يحتفظ بالجهد الابتدائي؛ هبوط الفرع:

   $\displaystyle V_{C}\left(s\right)=\frac{I_{C}\left(s\right)}{s C}+\frac{v_{0}}{s}$

   الحدود الابتدائية تمثيل جبري للطاقة المخزنة؛ لا نجمع معاوقة مع جهد كأنهما الكمية نفسها.

   التالي: نضع هذه النماذج داخل معادلات العقد والحلقات ثم نحل العابر جبريا.

   نص الشرح الصوتي

   الخلاصة. المقاومة تبقى R في مجال إس. الملف يصبح s L ويتذكر تياره الابتدائي. المكثف يصبح واحدا على s C ويتذكر جهده الابتدائي. حدود المصادر هذه هي الجسر بين الطاقة الفيزيائية المخزنة وبين معادلات الدائرة الجبرية. في الدرس التالي سنستخدم هذه النماذج لكتابة معادلات العقد والحلقات مباشرة في مجال إس، ثم نحل الاستجابة العابرة كمسألة جبرية.

الفيديو المصدر: نظرية الدوائر 2 #17 - نماذج R و L و C في مجال s مع الشروط الابتدائية (5:55)