Devre Teorisi · Devre Teorisi Temelleri

#02 Seri-paralel dirençler, gerilim ve akım bölücüler

Seri ve paralel dirençleri tek eşdeğere indir; gerilim ve akım bölücü kurallarını ezberlemeden türet.

Soru

A ve B uçları arasında on iki ve dört ohmun paralel, bunun üç ohmla seri ve tüm kolun altı ohmla paralel olduğu karma direnç devresi.
Karma devre, bağlantı topolojisi korunarak içten dışa sadeleştirilir.

Seri ve paralel bağlı dirençlerin eşdeğerlerini türetin. İki dirençli gerilim ve akım bölücü bağıntılarını kurun. Ardından (12 Ω || 4 Ω) + 3 Ω kolunun 6 Ω ile paralel olduğu A-B devresinin eşdeğer direncini içten dışa sadeleştirerek bulun.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

  1. 1. Seri dirençler

    R bir ve R iki dirençlerinin A-B arasında seri bağlantısı ve ortak I akımı.
    Seride ortak büyüklük akımdır.

    Seri bağlantı → bütün elemanlarda aynı I

    V = V₁ + V₂ + …

    Req = R₁ + R₂ + …

    Seriye eklenen direnç Req'yi büyütür

    Sesli anlatım metni

    Seri bağlı dirençlerde dallanma olmadığı için bütün elemanlardan aynı akım geçer. Kirchhoff gerilim yasasına göre toplam uç gerilimi, direnç gerilimlerinin toplamıdır. Her gerilime V k eşittir I R k yazınca ortak akım dışarı alınır ve R eşdeğer eşittir R bir artı R iki artı devamı bulunur. Bu yüzden seri kola eklenen her pozitif direnç eşdeğer direnci artırır.

  2. 2. Gerilim bölücü

    İki seri direnç üzerinden gerilim bölücü kuralı.
    Gerilim, seri dirençlerle doğru orantılı bölünür.

    I = V/(R₁ + R₂)

    V₁ = IR₁

    V₁ = V · R₁/(R₁ + R₂)

    Büyük direnç, toplam gerilimden büyük pay alır

    Sesli anlatım metni

    İki seri dirençte ortak akım, toplam gerilim bölü R bir artı R ikidir. R bir üzerindeki gerilim V bir eşittir I çarpı R birdir. Akımı yerine koyarsak V bir eşittir V çarpı R bir bölü R bir artı R iki gerilim bölücü bağıntısı çıkar. Paydada toplam direnç, payda ise gerilimini aradığımız direnç vardır; dolayısıyla büyük direnç daha büyük gerilim payı alır.

  3. 3. Paralel dirençler

    R bir ve R iki dirençlerinin A-B arasında paralel bağlantısı ve ortak uç gerilimi.
    Paralelde ortak büyüklük gerilimdir.

    Paralel bağlantı → bütün kollarda aynı V

    1/Req = 1/R₁ + 1/R₂ + …

    İki direnç: Req = R₁R₂/(R₁ + R₂)

    Req < min(R₁, R₂)

    Sesli anlatım metni

    Paralel bağlı dirençlerin iki ucu aynı düğümlere bağlı olduğundan bütün kollardaki gerilim aynıdır. Toplam akım kol akımlarının toplamıdır; I eşittir V bölü R bağıntısı kullanıldığında bir bölü R eşdeğer, ters dirençlerin toplamına eşit olur. İki direnç için düzenleme, R eşdeğer eşittir R bir çarpı R iki bölü R bir artı R iki kısa yolunu verir. Paralel bağlantı yeni bir akım yolu açtığı için eşdeğer direnç her zaman en küçük kol direncinden küçüktür.

  4. 4. Akım bölücü

    İki paralel dirençte akımın kollara bölünmesi.
    Kol akımı dirençle ters orantılı bölünür.

    V = IT · R₁R₂/(R₁ + R₂)

    I₁ = V/R₁

    I₁ = IT · R₂/(R₁ + R₂)

    Payda karşı kol direnci bulunur

    Sesli anlatım metni

    İki paralel dirençte ortak gerilim, toplam akım çarpı paralel eşdeğer dirençtir. R bir kolunun akımı I bir eşittir V bölü R birdir. Ortak gerilimi yerine yazıp sadeleştirince I bir eşittir I toplam çarpı R iki bölü R bir artı R iki elde edilir. Akım küçük direnci tercih ettiği için I bir formülünün payında karşı kolun, yani R ikinin bulunması fiziksel olarak da tutarlıdır.

  5. 5. Hızlı kontrol kuralları

    Paralel direnç bağlantısı üzerinde eşdeğer direnç kontrol kuralları.
    Sonucu bağlantı türünün beklenen sınırıyla mutlaka karşılaştır.

    R || R = R/2

    R₂ ≫ R₁ ise R₁ || R₂ ≈ R₁

    Seri eşdeğer > her bir direnç

    Paralel eşdeğer < en küçük direnç

    Sesli anlatım metni

    Eşit iki direnç paralelse eşdeğerleri direnç değerinin yarısıdır. Dirençlerden biri diğerinden çok büyükse paralel eşdeğer küçük dirence çok yaklaşır. Pozitif dirençlerden oluşan seri eşdeğer, serideki her bir dirençten büyüktür. Paralel eşdeğer ise en küçük dirençten küçük olmalıdır. Bu sınırlar hesap makinesine basmadan hatayı yakalar.

  6. 6. Karma örneği oku

    On iki ve dört ohmun paralel olduğu karma A-B direnç devresi.
    Kesikli kutular, sıradaki güvenli sadeleştirme gruplarını gösterir.

    İç çift: 12 Ω || 4 Ω

    Bu eşdeğer, 3 Ω ile seri

    Üst kolun tamamı, 6 Ω ile paralel

    Sadeleştirme sırası: içten dışa

    Sesli anlatım metni

    A ile B arasındaki karma devrede ilk güvenli grup on iki ohm ile dört ohmun paralel çiftidir. Bu çiftin eşdeğeri sağdaki üç ohmluk dirençle seri bağlıdır. Oluşan üst kolun tamamı alttaki altı ohmluk kolla paraleldir. Topolojiyi bozmamak için yalnız aynı iki düğümü paylaşan paralel elemanları ve aralarında dallanma olmayan seri elemanları gruplayıp içten dışa ilerleriz.

  7. 7. İlk iki sadeleştirme

    On iki paralel dört ohm çiftinin üç ohma indirildiği ilk sadeleştirme çizimi.
    İlk eşdeğer, komşu 3 Ω ile seri hale gelir.

    12 || 4 = (12·4)/(12+4) = 3 Ω

    Üst kol: 3 Ω + 3 Ω

    3 + 3 = 6 Ω

    Kalan devre: 6 Ω || 6 Ω

    Sesli anlatım metni

    İlk adımda on iki ohm paralel dört ohm, on iki çarpı dört bölü on iki artı dört hesabıyla üç ohm olur. Bu yeni üç ohm, üst koldaki özgün üç ohmla artık açıkça seridir. Seri değerler toplanır ve üst kol altı ohma iner. Böylece A ile B arasında yalnız eşit iki altı ohmluk paralel kol kalır.

  8. 8. Son eşdeğer

    Karma devrenin A-B arasında tek üç ohmluk eşdeğer dirence indirgenmiş hali.
    Sonuç: R_eq = 3 Ω.

    Req = 6 Ω || 6 Ω

    Req = (6·6)/(6+6)

    Req = 3 Ω

    Kontrol: 3 Ω < 6 Ω

    Sesli anlatım metni

    Son devre altı ohm paralel altı ohmdur. Çarpım bölü toplam kullanılırsa R eşdeğer eşittir otuz altı bölü on iki olur. A ile B arasındaki toplam eşdeğer direnç üç ohmdur. Eşit paralel dirençlerin yarısı kuralı da aynı sonucu verir ve üç ohmun altı ohmdan küçük olması paralel bağlantı kontrolünü sağlar.

Kaynak video: Circuit Theory #02 — Series & Parallel Resistors, Voltage & Current Dividers (5:17)