#51 Geçici Analiz #51 — Seri RLC doğal cevabı ve ikilik

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Seri RLC'yi paralel RLC ile ilişkilendir

   

   Seri RLC yeni bir teori değildir

   Aynı ikinci derece davranış ikili devrede görülür

   Paralel devrede doğal değişken çoğu kez gerilimdir

   Seri devrede doğal değişken çoğu kez i(t) akımıdır

   Elemanların hepsinden aynı akım geçer

   Devre biçimi değişir; kutup mantığı değişmez

   Sesli anlatım metni

   Şu ana kadar paralel R L C formuna odaklandık. Şimdi seri R L C devresine geçiyoruz. Bu yeni bir teori değil. Aynı ikinci derece davranışın dual devre üzerinden görünmesidir. Temel fark, hangi doğal değişkeni izlediğimizdir. Seri formda çoğu zaman en temiz değişken akım olur.

2. 2. Seri RLC doğal cevap denklemini kur

   

   Kaynak-sız seri RLC çevrimine KVL uygula

   $\displaystyle v_{R}+v_{L}+v_{C}=0$

   v_R=Ri ve v_L=L di/dt

   Kondansatör gerilimini yok etmek için türev al

   d²i/dt²+(R/L)di/dt+(1/LC)i=0

   Bu, standart ikinci derece homojen denklemdir

   Cevap değişkeni: seri akım i(t)

   Sesli anlatım metni

   Seri R L C doğal cevabında aynı akım dirençten, indüktörden ve kapasitörden geçer. Çevrim denklemini yazıp kapasitör gerilimini elimine ettiğimizde akım için standart ikinci derece denklem elde edilir: i nin ikinci türevi artı R bölü L çarpı i nin birinci türevi artı bir bölü L C çarpı i eşittir sıfır. Yani seri devre de paralel devre ile aynı ikinci derece yapıya sahiptir.

3. 3. Seri ve paralel RLC ikiliğini kur

   

   Seri RLC

   $\displaystyle \alpha _{s}=\frac{R}{2L}$

   ω₀=1/√(LC)

   ana değişken i · çevre yasası KVL

   Paralel RLC

   α_p=1/(2RC)

   ana değişken v · düğüm yasası KCL

   ω₀ iki devrede de aynıdır

   Sesli anlatım metni

   Parametreler de aynı anlamı korur. Seri R L C için alfa, R bölü iki L olur; omega sıfır ise bir bölü L C köküdür. Bunu paralel formla karşılaştırın: orada alfa bir bölü iki R C idi. Yani doğal frekans aynı kalır; fakat direnç modele farklı girdiği için sönüm katsayısı değişir. Ana cevap değişkeni gerilimden akıma kayar ve K C L yerine K V L gelir. Dualitenin özeti budur.

4. 4. Seri RLC örneğini sınıflandır

   

   $\displaystyle R=1 \Omega , L=1 H, C=0,25 F$

   $\displaystyle \alpha =\frac{R}{2L}=0,5 s⁻¹$

   ω₀=1/√(LC)=2 rad/s

   α<ω₀ olduğundan cevap eksik sönümlüdür

   ω_d=√(ω₀²−α²)=√3,75≈1,9365 rad/s

   $\displaystyle i_{n}=e^{-0,5t}\left[B₁\cos \left(1,9365t\right)+B₂\sin \left(1,9365t\right)\right]$

   B₁ ve B₂ başlangıç koşullarından gelir

   Sesli anlatım metni

   Kısa bir örnek deneyelim. R bir ohm, L bir henry ve C dörtte bir farad olsun. Bu durumda alfa bir bölü iki olur, omega sıfır ise iki radyan bölü saniye olur. Alfa, omega sıfırdan küçük olduğu için devre underdamped durumdadır. Dolayısıyla azalan bir zarf altında salınım bekleriz.

5. 5. Seri akım dalga biçimini yorumla

   

   Akım sıfır çevresinde salınır

   Direnç her çevrimde enerjiyi azaltır

   Zarf: ±Ke^−0,5t

   Salınım hızı ω_d≈1,9365 rad/s

   Doğal cevapta i(t)→0

   α sönüm hızını, ω_d salınım hızını belirler

   Paralel RLC ile aynı fiziksel yorum korunur

   Sesli anlatım metni

   Burada ortaya çıkan akım davranışını görüyorsunuz. Seri akım salınır; fakat direnç sistemden enerji çektiği için zarf zamanla küçülür. Doğal cevap sonunda yine sıfıra gider, ancak izlenen yol daha önce olduğu gibi alfa ve omega sıfır tarafından belirlenir. Devre formu değişti, fakat ikinci derece mantık değişmedi.

6. 6. Seri RLC doğal cevabını özetle

   

   Seri RLC, paralel RLC'nin ikili biçimidir

   i″+(R/L)i′+(1/LC)i=0

   α=R/(2L), ω₀=1/√(LC)

   Aşırı, kritik, eksik ve sönümsüz dört durum geçerlidir

   Başlangıç koşulları iki sabiti belirler

   Devre değişse de ikinci derece çözüm akışı aynıdır

   Sıradaki: odaklı ikinci derece problem çözümü

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Seri R L C, paralel R L C nin dualidir. Akım için yazılan doğal cevap denklemi ikinci derecedir ve burada alfa R bölü iki L, omega sıfır ise bir bölü L C köküdür. Aynı dört durum yine vardır: overdamped, critical, underdamped ve undamped. Bir sonraki derste bu fikirleri ikinci derece problem çözümlerinde kullanacağız.