#09 Sinyaller ve Sistemler #09 | r(t), u(t), δ(t) Sinyal İlişkileri - Türev ve İntegral Zincirleri

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Dağılımsal türev zinciri

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   r(t)=t u(t) rampasının türevi, hemen her yerde ve dağılımsal anlamda basamaktır.

   Birim sıçramanın türevi δ(t) olduğundan rampanın ikinci dağılımsal türevi impulstur.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi üç temel sinyali kalkülüs aracılığıyla bağlıyoruz. Rampa r t ile başlayarak, ilk türevi birim basamaktır: d r t bölü d t eşittir u t. Rampa doğrusal olarak yükselir, eğimi pozitif zaman için bir ve negatif zaman için sıfırdır, bu da basamak fonksiyonudur. Bir türev daha alarak: d u t bölü d t eşittir delta t. Basamağın orijinde ani bir atlaması vardır ve bir atlamanın türevi bir impulstür. Her ikisini birleştirerek: delta t eşittir d kare r t bölü d t kare.

2. 2. İntegral zinciri

   Birim impulsun birikimi basamak verir; tek uç noktanın değeri ayrıca seçilir.

   Basamağın eksi sonsuzdan başlayan integrali rampadır. Buradaki nedensel temel sinyaller için bu integraller yakınsar.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ters yöne gidelim. Delta t ile başlayıp integralini alarak: eksi sonsuzdan t'ye delta tau d tau integrali u t'yi verir. İmpulsun sıfır alanı vardır ta ki t eşittir sıfırı geçene kadar, sonra biriken alan bir olur, bu da basamaktır. Bir kez daha integralini alarak: eksi sonsuzdan t'ye u tau d tau integrali r t'yi verir. Basamaktan gelen sabit biri biriktiririz ve doğrusal olarak artan bir fonksiyon üretiriz. Yani zincir şudur: delta integre edilince basamak, basamak integre edilince rampa olur.

3. 3. Ayrık ilişkilerin düzeltilmesi

   u[0]=1 ve r[n]=n u[n] için geri fark r[n]−r[n−1]=u[n−1] olur.

   u[k] toplamında n dahil edilirse (n+1)u[n], üst sınır n−1 olursa r[n] bulunur.

   İleri fark r[n+1]−r[n]=u[n] bağıntısını verir.

   Sesli anlatım metni

   Ayrık zamanda ilişkiler benzerdir ama türevler yerine farklar ve integraller yerine toplamlar kullanılır. Birim basamağın ilk geriye dönük farkı Kronecker deltasını verir: delta n eşittir u n eksi u n eksi bir. n eşittir sıfırda: u sıfır eksi u eksi bir eşittir bir eksi sıfır eşittir bir. Diğer tüm n'lerde değerler birbirini götürür. Rampa için: r n eşittir eksi sonsuzdan n'e kadar u k'nin birikimli toplamıdır. r n'in ilk farkı u n'i geri verir.

4. 4. Basamaktan impuls

   $\displaystyle \delta \left[n\right]=u\left[n\right]-u\left[n-1\right].$

   Sıfır indisinde fark bir, diğer indislerde sıfırdır. Kronecker impulsunun örnek değeri sonludur.

   Sesli anlatım metni

   Görsel olarak doğrulayalım. u n'i kök grafik olarak çizin: negatif n için sıfırlar, n eşittir sıfırdan itibaren birler. Şimdi u n eksi bir'i çizin: aynı desen bir sağa kaymış, birler n eşittir birden başlar. İkincisini birinciden çıkararak: n eşittir sıfırda bir eksi sıfır eşittir bir elde ederiz. n eşittir birde bir eksi bir eşittir sıfır. Diğer tüm noktalarda değerler birbirini götürür. Sonuç delta n'dir: n eşittir sıfırda değeri bir olan tek bir kök.

5. 5. İşlemleri karşılaştır

   Sürekli zamandaki türev ve integralin karşılığı ayrık zamanda fark ve toplamdır; indis kayması korunmalıdır.

   Dirac impulsu birim alanlı dağılımdır; sıradan bir fonksiyon değeri olarak sonsuz yerine konmaz.

   Sesli anlatım metni

   Her şeyi bir karşılaştırma tablosuna düzenleyelim. Birim basamak için: sürekli zaman çizgi grafik ile u t'ye sahipken, ayrık zaman kök grafik ile u n'e sahiptir. İmpuls için: delta t sürekli zamanda birim alanlı ok, delta n ise ayrık zamanda orijinde bir değeridir. Rampa için: r t sürekli zamanda t çarpı u t, r n ise ayrık zamanda n çarpı u n'dir. Sürekli zamandaki türev zinciri ayrık zamanda fark zincirine dönüşür.

6. 6. Altı temel sinyal

   Sürekli basamak ve rampayı eğriyle, ayrık olanları çubuklarla çiz.

   Sürekli impulsun konumunu ve ağırlığını belirt; ayrık impuls tek birim örnektir. Normalizasyon kuralları aynı değildir.

   Sesli anlatım metni

   İşte altı temel sinyalin tümü birlikte: birim basamak, impuls ve rampanın sürekli zamanlı ve ayrık zamanlı versiyonları. Sürekli zamanlı sinyaller düzgün eğriler ve çizgiler kullanırken, ayrık zamanlı sinyaller izole kökler kullanır. İmpuls benzersizdir: sürekli zamanda sonsuz ve anlık, ama ayrık zamanda sonlu ve sıradan. Bu altı fonksiyon sinyal işlemenin temel yapı taşlarıdır.

7. 7. Özet

   

   Sürekli rampadan basamağa ve impulsa dağılımsal türevle geçilir.

   Ayrık zamanda ileri veya geri farkı ve toplamın son indisini açık yaz; bir örneklik kaymayı atlama.

   Sesli anlatım metni

   Bu, temel sinyal fonksiyonları üzerine üçüncü dersi tamamlıyor. Anlık geçişi modelleyen birim basamak u t ve u n'i tanımladık. Doğrusal büyümeyi modelleyen birim rampa r t ve r n'i tanımladık. Ve güçlü eleme, çarpma ve ölçekleme özellikleriyle impuls delta t ve delta n'i tanımladık. En önemlisi, bunları türevler ve integrallerle bağladık: rampa türevlenince basamak, basamak türevlenince impuls olur. Bu ilişkiler gelecek derslerde temel olacaktır.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #09 | r(t), u(t), δ(t) Sinyal İlişkileri - Türev ve İntegral Zincirleri (4:09)