#13 Sinyaller ve Sistemler #13 | AZ Sinyaller ve Çift/Tek Ayrıştırma

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Temel diziler

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   u[n], n≥0 için birdir; δ[n] yalnız sıfırda birdir; r[n]=n u[n].

   Basamağın geri farkı δ[n], n−1 indisine kadar birikimli toplamı r[n] verir.

   Sesli anlatım metni

   Temel ayrık zamanlı sinyalleri kısaca tekrarlayalım. Birim basamak u n, n sıfırdan büyük veya eşit olduğunda bir, negatif n için sıfırdır. Birim impuls delta n yalnızca n eşittir sıfırda birdir. Birim rampa r n eşittir n çarpı u n — negatif n için sıfır, negatif olmayan n için doğrusal olarak büyür. Bu sinyaller birbiriyle ilişkilidir: u n, delta n eksi k'nın kümülatif toplamıdır ve delta n eşittir u n eksi u n eksi bir. Bu ilişkiler bir zincir oluşturur: impuls, basamak, sonra rampa.

2. 2. Üstel ve sinüzoidal dizi

   Kaynaktaki K exp(n)u[n] örneği büyüyen nedensel üsteldir. Genel K aⁿ u[n] dizisinin davranışını a'nın büyüklüğü belirler.

   cos(Ωn+φ), Ω/(2π) rasyonel olduğunda periyodiktir. Ω=2π/N için pozitif tamsayı N bir periyottur; özel durumlarda temel periyot daha küçük olabilir.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ayrık zamanda iki sinyal türü daha. Üstel sinyal f n eşittir K çarpı e üzeri n çarpı u n'dir. K, n eşittir sıfırdaki başlangıç genliğidir. Sürekli zamandan farklı olarak bu sinyal yalnızca tam sayı n değerlerinde tanımlıdır ve dikey çubuk grafik olarak gösterilir. Ayrık zamanlı sinüzoidal sinyal x n eşittir K çarpı kosinüs iki pi bölü N çarpı n artı Omega sıfır'dır. Tam sayı N periyottur — bir tam döngüdeki örnek sayısı. Açısal frekans Omega eşittir iki pi bölü N radyan bölü örnektir. Sürekli zamandaki gibi K genliği, Omega sıfır faz kaymasını kontrol eder.

3. 3. Basamak bileşimleri

   u[n−2], n=2'de başlar; u[n−2]+u[n−4], n=4'te birden ikiye çıkar.

   u[n−2]−2u[n−6], 2≤n≤5 için bir ve n≥6 için −1'dir.

   r[n]−r[n−3] üçe kadar yükselir ve üçte kalır.

   Sesli anlatım metni

   Ayrık zamanlı sinyal bileşimlerini çizelim. İlk panelde u n eksi iki basitçe iki birim sağa kaydırılmış basamaktır — n eşittir ikiden itibaren birdir. İkinci panelde u n eksi iki artı u n eksi dört bir merdiven oluşturur: n ikiden önce sıfır, n iki ile üç arasında bir, n dört ve sonrasında ikidir. Üçüncü panelde u n eksi iki eksi iki çarpı u n eksi altı — n iki ile beş arasında bir, n altıdan itibaren eksi bire düşer. Dördüncü panelde r n eksi r n eksi üç: rampa sıfırdan üçe yükselir, sonra üçte düz kalır — ikinci rampa büyümeyi iptal eder.

4. 4. Rampa bileşimi

   f[n]=r[n]+r[n−2]−2r[n−4] için negatif indislerde sıfır; 0≤n≤2 için n; 2≤n≤4 için 2n−2; n≥4 için altı bulunur.

   Ortak uç noktalarda parçalı ifadeler aynı değeri verir.

   Sesli anlatım metni

   Daha karmaşık bir örnek: f n eşittir r n artı r n eksi iki eksi iki çarpı r n eksi dört. Adım adım kuralım. Önce r n bize orijinden başlayan eğim bir rampa verir. İkinci olarak r n eksi iki, n eşittir ikiden başlayan eğim bir rampa ekler. Birleştirdiğimizde n ikiden itibaren eğim ikiye çıkar. Son olarak eksi iki çarpı r n eksi dört, n eşittir dörtten başlayan eğim iki rampa çıkarır ve toplam eğimi iptal eder. Sonuç: sıfırdan ikiye eğim bir, ikiden dörde eğim iki, dört ve sonrasında altıda düz. Ana teknik budur: kaydırılmış rampaları ekleyip çıkarmak hem eğimleri hem kırılma noktalarını kontrol eder.

5. 5. Özel durumların düzeltilmesi

   $\displaystyle \delta \left[2n\right]=\delta \left[n\right].$

   Her tamsayı n için 2n−3 sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bu nedenle δ[2n−3] tanımlı, her yerde sıfır olan dizidir.

   r[n²]=n² bütün tamsayılarda geçerlidir; bu işlem negatif indislerde r[n]'yi karelemekle aynı değildir.

   Sesli anlatım metni

   Ayrık zaman sinyal işlemenin iki ilginç özel durumu. İlk olarak delta iki n'i düşünelim. İmpuls delta n yalnızca n eşittir sıfırda sıfırdan farklı olduğundan, n yerine iki n koyduğumuzda hâlâ yalnızca iki n eşittir sıfır olduğunda, yani n eşittir sıfırda sıfırdan farklıdır. Dolayısıyla delta iki n eşittir delta n. Ancak delta iki n eksi üç, n eşittir üç bölü iki gerektirir ki bu tam sayı değildir. Bu ifade her zaman sıfırdır — ayrık zamanda tanımsızdır. İkinci olarak r n kare'yi düşünelim. n kare her tam sayı n için negatif olmadığından, rampanın içindeki basamak fonksiyonu her zaman aktiftir. Bu yüzden r n kare eşittir n kare tüm tam sayı n için — her iki yönde de bir parabol çizer.

6. 6. Çift ve tek parçalar

   xe[n]=(x[n]+x[−n])/2; xo[n]=(x[n]−x[−n])/2.

   İlk parça çift, ikincisi tektir; toplamları x[n]'yi geri verir. Tek parça sıfır indisinde sıfırdır.

   Sesli anlatım metni

   Herhangi bir sinyal çift ve tek parçalara ayrıştırılabilir. Çift parça x alt e t eşittir bir bölü iki çarpı x t artı x eksi t'dir. Tek parça x alt o t eşittir bir bölü iki çarpı x t eksi x eksi t'dir. Çift parça x alt e eksi t eşittir x alt e t'yi sağlar — orijine göre simetriktir. Tek parça x alt o eksi t eşittir eksi x alt o t'yi sağlar — antisimetriktir ve orijinde her zaman sıfırdır. Birlikte orijinali yeniden oluştururlar: x t eşittir x alt e t artı x alt o t. Bir örnek görelim. Asimetrik bir x n sinyalinden başlıyoruz. Ayna alarak x eksi n elde ederiz. Ortalaması simetrik çift parçayı, farkının yarısı antisimetrik tek parçayı verir. Her sinyal bu şekilde ayrışır.

7. 7. Özet

   

   Bir diziyi değerlendirirken önce argümanın hangi tamsayı olduğunu denetle. δ[2n−3] için yarım tamsayı konumunda impuls tanımlamaya gerek yoktur.

   Kaydırılmış basamak ve rampaları kurduktan sonra uç noktaları ve yeniden birleşimi doğrula.

   Sesli anlatım metni

   Bugün temel ayrık zamanlı sinyalleri tekrarladık: basamak, impuls ve rampa ile ayrık zamanlı üstel ve sinüzoidal karşılıkları. Kaydırılmış basamak ve rampalardan sinyal oluşturmayı alıştırdık ve delta iki n eşittir delta n ile r n kare eşittir n kare gibi özel durumları gördük. Son olarak herhangi bir sinyalin x alt e eşittir bir bölü iki çarpı x artı x eksi t ve x alt o eşittir bir bölü iki çarpı x eksi x eksi t formülleriyle çift ve tek parçalara ayrıştığını öğrendik. Bir sonraki derste ayrık zamanlı konvolüsyona, yani doğrusal zamanla değişmez sistemlerin sinyalleri nasıl işlediğini tanımlayan işleme geçeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #13 | AZ Sinyaller ve Çift/Tek Ayrıştırma (5:56)