#16 Sinyaller ve Sistemler #16 | SZ Grafik Konvolüsyon

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Kaydırılmış basamaklar

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   u(t) ile u(t−2) konvolüsyonunda örtüşme, t≥2 için [0,t−2] aralığıdır; sonuç r(t−2) olur.

   u(t−2) ile u(t−3) için örtüşme [2,t−3], başlangıç t=5 ve sonuç r(t−5)'tir.

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste u t ile u t'nin konvolüsyonunun r t'ye eşit olduğunu kanıtladık. Şimdi bunu kaydırılmış basamaklara genişletelim. u t ile u t eksi ikinin konvolüsyonunu ele alalım. İntegrali kurduğumuzda, u tau, tau sıfırdan büyük veya eşit olduğunda bire eşittir ve u t eksi tau eksi iki, tau t eksi ikiden küçük veya eşit olduğunda bire eşittir. Örtüşme sıfırdan t eksi ikiye kadardır, yani integral t eksi ikiye eşittir, t iki veya daha büyük olduğunda geçerlidir. Dolayısıyla u t ile u t eksi ikinin konvolüsyonu t eksi iki çarpı u t eksi iki, yani r t eksi ikiye eşittir. Benzer şekilde, u t eksi iki ile u t eksi üçün konvolüsyonu: örtüşme ikiden t eksi üçe kadardır, t beş veya daha büyük olduğunda t eksi beş verir. Yani u t eksi iki ile u t eksi üçün konvolüsyonu r t eksi beşe eşittir.

2. 2. Genel bağıntı

   u(t−a) ile u(t−b) konvolüsyonu r(t−(a+b)) olur.

   Kaymalar toplanır; eksi işareti a+b toplamının tamamına uygulanır. Parçalı örtüşme doğru ele alındığında a ve b gerçek olabilir.

   Sesli anlatım metni

   Kalıba dikkat edin. İki kaydırılmış birim basamağı konvolve ettiğimizde, kaydırma değerleri basitçe toplanır. Genel olarak, a sıfırdan büyük ve b sıfırdan büyük için: u t eksi a ile u t eksi b'nin konvolüsyonu r t eksi a artı b parantez kapatır. İki gecikme toplanır ve sonuç her zaman bir rampa fonksiyonudur. Bu güçlü kısayol, integral kurmadan basamak konvolüsyonlarını anında hesaplamamızı sağlar.

3. 3. Grafik kurulum

   x(τ), [−1,1] aralığında bir; y(τ), [0,1] aralığında birdir.

   Önce y'yi çevir, sonra t kadar kaydır. y(t−τ), [t−1,t] aralığında bir olur. Çıktı zamanı t ile integral değişkeni τ'yı ayır.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi grafik konvolüsyonu öğrenelim, herhangi bir sürekli zaman sinyalini konvolve etmek için görsel bir yöntem. x t sinyalini ele alalım: t eksi birden t artı bire kadar yüksekliği bir olan dikdörtgen darbe. Ve y t: t sıfırdan t bire kadar yüksekliği bir olan dikdörtgen darbe. Konvolüsyon integralini hesaplamak için önce her iki sinyalde t'yi tau ile değiştiririz. Sonra y tau'yu orijine göre çevirerek y eksi tau elde ederiz, bu eksi birden sıfıra kadar bir darbedir. Son olarak bu çevrilmiş kopyayı t kadar kaydırarak y t eksi tau elde ederiz, t eksi birden t'ye kadar bir darbe.

4. 4. Örtüşme bölgeleri

   t<−1 için örtüşme yoktur. −1≤t≤0 için uzunluk t+1; 0≤t≤1 için bir; 1≤t≤2 için 2−t'dir.

   t>2 için yine sıfırdır. Birim yükseklikler nedeniyle integral bu uzunluklara eşittir.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi y t eksi tau'yu x tau üzerinde kaydırarak her konumda örtüşme alanını hesaplıyoruz. t eksi birden küçük olduğunda örtüşme yoktur, z t sıfırdır. t eksi bir ile sıfır arasında olduğunda kayan darbe kısmen örtüşür. Örtüşme genişliği t artı birdir, yani z t eşittir t artı bir. t sıfır ile bir arasında olduğunda darbe tamamen x tau'nun içindedir, tam örtüşme genişliği birdir. Yani z t eşittir bir. t bir ile iki arasında olduğunda darbe sağdan çıkmaya başlar. Örtüşme genişliği iki eksi t'dir, yani z t eşittir iki eksi t. Son olarak t iki veya daha büyük olduğunda yine örtüşme yoktur ve z t sıfırdır.

5. 5. Yamuk sonucu

   z(t), −1'de sıfırdan başlar, sıfırda bire ulaşır, bire kadar sabit kalır ve ikide sıfıra iner.

   Sınır değerleri 0,1,1,0; toplam alan iki olur.

   Sesli anlatım metni

   Sonuç z t bir yamuktur. t eksi bir ile sıfır arasında sıfırdan bire doğrusal yükselir, sıfır ile bir arasında birde düz kalır, sonra bir ile iki arasında doğrusal olarak sıfıra düşer. Parçalı formül: t eksi birden küçük için sıfır, eksi bir ile sıfır arasında t artı bir, sıfır ile bir arasında bir, bir ile iki arasında iki eksi t, ve t ikiden büyük için sıfır.

6. 6. Cebirsel denetim

   $\displaystyle x\left(t\right)=u\left(t+1\right)-u\left(t-1\right), y\left(t\right)=u\left(t\right)-u\left(t-1\right).$

   Dağıtıp basamak bağıntısını uygulayınca z(t)=r(t+1)−r(t)−r(t−1)+r(t−2) bulunur.

   Dört terimin işaretleri sırasıyla artı, eksi, eksi, artıdır.

   Sesli anlatım metni

   Bir de cebirsel yaklaşım var. Her iki sinyali birim basamaklarla yazalım: x t eşittir u t artı bir eksi u t eksi bir, ve y t eşittir u t eksi u t eksi bir. Dağılma özelliğini kullanarak konvolüsyonu dört terime açarız. Genel formülümüz u t eksi a ile u t eksi b'nin konvolüsyonu r t eksi a artı b'yi her terime uygulayarak, z t eşittir r t artı bir eksi r t eksi r t eksi bir artı r t eksi iki elde ederiz. Her iki yöntem de aynı sonucu verir ve grafik cevabımızı doğrular.

7. 7. Özet

   

   Çevir, kaydır ve örtüşmeyi integre et.

   Kaydırılmış basamakların gecikmeleri toplanır; grafik ve cebirsel yöntem aynı yamuk sonucunu verir. Tek uç nokta değerleri integral alanını değiştirmez.

   Sesli anlatım metni

   Bugün kaydırılmış basamak konvolüsyonu için genel formülü öğrendik: u t eksi a ile u t eksi b'nin konvolüsyonu r t eksi a artı b. Grafik konvolüsyona hakim olduk: bir sinyali çevir, diğeri üzerinde kaydır ve her konumda örtüşmeyi integre et. Dikdörtgen darbelerle tam bir örnek üzerinde çalıştık ve beş farklı zaman bölgesi belirledik. Dağılma özelliği kullanan cebirsel yöntem alternatif bir doğrulama yaklaşımı sağlar. Bir sonraki derste hem ayrık hem sürekli zaman sinyalleri için enerji, güç ve R M S kavramlarını keşfedeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #16 | SZ Grafik Konvolüsyon (5:00)