#18 Sinyaller ve Sistemler #18 | Sistem Özellikleri - Bellek, Nedensellik, DZD ve Kararlılık

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Sistem ve tanım kümesi

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   Sistem, belirlenmiş bir giriş kümesindeki sinyalleri çıkış sinyallerine dönüştürür.

   Bellek, nedensellik, doğrusallık, zamanla değişmezlik, kararlılık ve tersinirlik ayrı özelliklerdir; tek başlarına tam sayısal model vermezler.

   Sesli anlatım metni

   Bir sistem, bir veya daha fazla giriş sinyali alır, bunları işler ve çıkış sinyali üretir. Sürekli zamanlı sistemlerde x t girişi ve y t çıkışı, H operatörüyle bağlantılıdır. y t eşittir H parantez x t gösterimi, sistemin tüm giriş sinyalini çıkışa dönüştürdüğü anlamına gelir. Ayrık zamanlı sistemlerde aynı fikir geçerlidir: x n, S operatörü aracılığıyla y n ye dönüşür. Sistemler basit bir çarpan kadar yalın ya da ses ekolayzeri kadar karmaşık olabilir. Önemli olan, davranışlarını bu altı temel özellik aracılığıyla tam olarak karakterize edebilmemizdir.

2. 2. Bellek ve nedensellik

   Belleksiz çıkış yalnız o andaki girişe bağlıdır. Nedensel çıkış şimdiye ve geçmişe bağlı olabilir.

   Gecikme bellekli ve nedenseldir. Gelecek örneğe erişen ilerletme, keyfi canlı girişler için nedensel değildir; kayıtlı veri çevrimdışı işlenebilir.

   Sesli anlatım metni

   Belleği olmayan bir sistem, herhangi bir andaki çıkışını yalnızca o andaki girişe bağlı olan sistemdir. Örneğin y t eşittir iki çarpı x t belleği olmayan bir sistemdir; çünkü şu anki çıkış için yalnızca şu anki giriş gereklidir. Buna karşın y n eşittir x n eksi bir, geçmiş giriş örneğine bağlı olduğu için belleklidir. Toplayıcılar ve integratörler her zaman belleklidir. Nedensellik de bununla ilişkilidir: nedensel bir sistemin çıkışı yalnızca şu anki ve geçmiş girişlere bağlıdır, gelecekteki girişlere asla. Belleği olmayan her sistem otomatik olarak nedenseldir. y t eşittir x t artı bir gibi nedensel olmayan bir sistem, gelecekteki girişleri bilmek zorunda kalır, bu da gerçek zamanlı uygulamada imkânsızdır. Tüm gerçek fiziksel sistemler nedenseldir.

3. 3. Süperpozisyon

   Doğrusallık, bütün uygun giriş ve katsayılarda H(ax1+bx2)=aH(x1)+bH(x2) ister.

   Girişin karesini almak genelde bu testi geçmez. Sabit sıfır dışı başlangıç durumunun katkısı ayrıca değerlendirilir.

   Sesli anlatım metni

   Doğrusallık, sistemlerin en güçlü özelliğidir. H sistemi doğrusaldır eğer iki koşulu sağlıyorsa: homojenlik ve katkısallık; bunların birleşimine süperpozisyon ilkesi denir. Homojenlik, girişin ölçeklenmesinin çıkışı aynı faktörle ölçeklediği anlamına gelir: H parantez a çarpı x t eşittir a çarpı H parantez x t. Katkısallık, girişlerin toplamına verilen yanıtın bireysel yanıtların toplamına eşit olduğunu söyler: H parantez x1 artı x2 eşittir H x1 artı H x2. Süperpozisyon birleşimi: H parantez a x1 artı b x2 eşittir a H x1 artı b H x2. Doğrusal olmayan örnek: y t eşittir x kare t. Kontrol: H parantez a x eşittir a kare x kare, ancak a çarpı H x eşittir a çarpı x karedir. Bunlar eşit değildir, dolayısıyla sistem doğrusal değildir.

4. 4. Zaman kaydırma testi

   Önce girişi kaydırıp sistemi uygulamakla, önce sistemi uygulayıp çıkışı kaydırmayı karşılaştır.

   y[n]=n x[n] örneğinde n ve n−n0 katsayıları farklıdır; sistem zamanla değişir.

   Sesli anlatım metni

   Bir sistem zaman değişmezdir eğer girişin zamanda kaydırılması, çıkışta aynı kaymayı üretiyorsa. Biçimsel olarak: y t, x t ye verilen yanıtsa; o zaman x t eksi t sıfır girişine verilen yanıt y t eksi t sıfır olmalıdır. Bunu doğrulamak için iki yol testi kullanırız. Birinci yol: girişi önce kaydır, sonra sistemi uygula. İkinci yol: sistemi önce uygula, sonra çıkışı kaydır. Her iki yol her t sıfır değeri için aynı sonucu veriyorsa, sistem zaman değişmezdir. Örnek: y n eşittir n çarpı x n zaman değişkendir; çünkü n katsayısı zamanla değişir. Girişi kaydırmak n çarpı x n eksi n sıfır verir, çıkışı kaydırmak ise n eksi n sıfır çarpı x n eksi n sıfır verir. Bunlar farklıdır.

5. 5. Kararlılık ve tersinirlik

   BIBO kararlılık, her sınırlı girişin sınırlı çıkış vermesidir. Tersinirlik, farklı uygun girişlerin farklı çıkış vermesini gerektirir.

   İkiyle çarpma tersinirdir; keyfi işaretli gerçek girişleri kareleme tersinir değildir. exp(t) ile çarpma, sınırsız gelecek zaman ekseninde kararsızdır.

   Sesli anlatım metni

   Bir sistem sınırlı giriş sınırlı çıkış kararlıdır eğer her sınırlı giriş sınırlı bir çıkış üretiyorsa. Giriş tüm t için mutlak değer x t küçük veya eşit M x koşulunu sağlıyorsa, çıkış da mutlak değer y t küçük veya eşit sonlu M y koşulunu sağlamalıdır. Örnek: y t eşittir e üzeri t çarpı x t kararsızdır; x t eşittir bir gibi sınırlı bir giriş bile sınırsız büyüyen bir çıkış üretir. Tersinirlik, sistemin benzersiz bir tersine sahip olduğu anlamına gelir: farklı girişler her zaman farklı çıkışlar üretir. Tersinir bir sistem bire bir eşlemedir. Tersinir örnek: y t eşittir iki x t, tersi x t eşittir yarım y t. Tersinir olmayan örnek: y t eşittir x kare t; hem x t hem de eksi x t aynı çıkışı üretir, dolayısıyla girişi geri kazanamazız.

6. 6. İki örnekli sistemin düzeltilmesi

   y[n]=x[n]+x[n−1] bellekli, nedensel, doğrusal, zamanla değişmez ve BIBO kararlıdır. Giriş sınırı M ise çıkış sınırı 2M'dir.

   Bu bir toplamdır; normalize ortalama için ayrıca ikiye bölmek gerekir.

   İki taraflı dizilerde tersinir değildir: sıfır girişi de x[n]=(−1)ⁿ girişi de sıfır çıkış verir.

   x[n]=y[n]−x[n−1] özyinelemesi ancak x[n0−1] gibi bir sınır değeri verilince ileri yönde tek çözüm sağlar.

   Sesli anlatım metni

   y n eşittir x n artı x n eksi bir ayrık zamanlı sisteminde altı özelliği test edelim. Bu sistem, şu anki girişi bir öncekiyle toplayan iki örnekli bir ortalayıcıdır. Bellek: evet; çıkış geçmiş bir örnek olan x n eksi bir e bağlıdır. Nedensellik: evet; yalnızca şu an ve bir önceki örneği kullanır, gelecekteki giriş yoktur. Doğrusallık: evet; H parantez a x1 artı b x2 eşittir a x1 n artı a x1 n eksi bir artı b x2 n artı b x2 n eksi bir, bu da a H x1 artı b H x2 ye eşittir. Zaman değişmezliği: evet; girişi kaydırmak x n eksi n sıfır artı x n eksi bir eksi n sıfır verir, bu da tam olarak y n eksi n sıfır dur. Kararlılık: evet; mutlak değer x n eğer M ile sınırlıysa, mutlak değer y n en fazla iki M dir, bu sonludur. Tersinirlik: evet; y n ve y n eksi bir verildiğinde, x n yi özyinelemeli olarak geri kazanabiliriz. Bu sistem hem doğrusal hem de zaman değişmezdir, dolayısıyla bir Doğrusal Zaman Değişmez sistemdir.

7. 7. Özet

   

   Tersinirlik kararı vermeden giriş kümesini ve başlangıç koşulunu belirt.

   İki örnekli toplam LTI ve kararlıdır, fakat iki taraflı dizilerde koşulsuz tersinir değildir. Sıfır durumlu LTI sistemde uygun konvolüsyon koşulları altında impuls yanıtı giriş-çıkış işlemini belirler.

   Sesli anlatım metni

   Bugün sistemlerin altı temel özelliğini ele aldık. Bellek: çıkış geçmiş veya gelecekteki girişlere bağlı mı? Nedensellik: çıkış yalnızca şu an ve geçmişteki girişlere bağlı mı, hiçbir zaman geleceğe değil mi? Doğrusallık: sistem süperpozisyon ilkesini, yani homojenlik ve katkısallığı sağlıyor mu? Zaman değişmezliği: girişte bir zaman kayması çıkışta aynı kaymayı üretiyor mu? Kararlılık: her sınırlı giriş sınırlı bir çıkış üretiyor mu? Tersinirlik: girişi çıkıştan benzersiz biçimde geri kazanabilir miyiz? Hem doğrusal hem de zaman değişmez olan sisteme Doğrusal Zaman Değişmez sistem denir. Doğrusal Zaman Değişmez sistemler, sinyaller ve sistemlerin merkezindedir; çünkü bunlar, ilerleyen derslerde inceleyeceğimiz impuls yanıtıyla tam olarak karakterize edilebilir.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #18 | Sistem Özellikleri - Bellek, Nedensellik, DZD ve Kararlılık (6:54)