#22 Sinyaller ve Sistemler #22 | Fourier Katsayıları - Analiz Denklemleri ve Çözümlü Örnek

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Seri tanımını sabitle

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   Gerçek Fourier serisini a0 artı pozitif indisli kosinüs ve sinüs terimleriyle yaz.

   Bu tanımda a0 doğrudan ortalamadır. Sıradan sinyallerin yakınsama koşulları ayrıca belirtilir; impuls trenleri periyodik dağılım olarak ele alınır.

   Sesli anlatım metni

   Önceki dersimizde Fourier serisi sentez denklemini tanıttık: x t eşittir a sıfır artı, a n kosinüs n omega sıfır t artı b n sinüs n omega sıfır t toplamı. Herhangi bir periyodik sinyalin harmonik olarak ilişkili sinüzoidlerden oluşturulabileceğini gördük. Peki bu katsayıları gerçekte nasıl buluruz? Bugün analiz denklemlerini türeteceğiz.

2. 2. Analiz katsayıları

   Herhangi bir tam T periyodunda x integralini T'ye bölmek a0'ı verir.

   k≥1 için ak ve bk, cos(kω0t) ve sin(kω0t) ile çarpım integrallerinin 2/T katıdır; ω0=2π/T.

   Sesli anlatım metni

   İşte Fourier serisi analiz denklemleri. Di Si bileşeni a sıfır eşittir bir bölü T çarpı bir tam periyot üzerinden x t'nin integrali. Kosinüs katsayıları için a k eşittir iki bölü T çarpı x t çarpı kosinüs k omega sıfır t'nin integrali. Sinüs katsayıları için b k eşittir iki bölü T çarpı x t çarpı sinüs k omega sıfır t'nin integrali. Bu integraller sinüzoidlerin dikliğini kullanır: bir sinyali belirli bir harmonikle çarpıp integre ettiğinizde, yalnızca o harmoniğin katkısı hayatta kalır.

3. 3. Karmaşık gösterim

   X[k], x(t)exp(−jkω0t) ifadesinin bir periyot integralinin 1/T katıdır. Sentezde pozitif üstel işaret kullanılır.

   k>0 için X[k]=(ak−jbk)/2 ve X[−k]=(ak+jbk)/2; gerçek sinyalde X[0]=a0.

   Sesli anlatım metni

   Fourier serisini karmaşık üsteller kullanarak da yazabiliriz. Sentez denklemi x t eşittir, k eşittir eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar X k çarpı e üzeri j k omega sıfır t toplamıdır. Analiz denklemi X k eşittir bir bölü T çarpı x t çarpı e üzeri eksi j k omega sıfır t'nin integralidir. Karmaşık katsayı X k hem genlik hem faz bilgisini kodlar. İlişki şöyledir: X k eşittir yarım çarpı a k eksi j b k, k sıfıra eşit olmadığında, ve X sıfır eşittir a sıfırdır. Bu karmaşık form daha kompakt ve mühendislikte yaygın olarak kullanılır.

4. 4. Periyotta iki impuls

   t=−1 ve t=1 birim impulslarını sekiz saniyede bir tekrarla.

   Dağılım çifttir. Tam bir periyotta her impulsu yalnız bir kez say.

   Sesli anlatım metni

   Bu formülleri somut bir örneğe uygulayalım. Bir periyodunun iki impulstan oluştuğu bir sinyal düşünelim: delta t artı bir, artı delta t eksi bir. Temel periyot T eşittir sekizdir. Bu periyodik sinyal t eşittir artı ve eksi birde impulslara sahiptir ve her sekiz saniyede tekrar eder. Sinyal t eşittir sıfıra göre simetrik olduğundan çift fonksiyondur. Şimdi Fourier katsayılarını hesaplayalım.

5. 5. Örnekleme özelliğiyle hesap

   $\displaystyle a0=1/4.$

   k≥1 için ak=(1/2)cos(kπ/4) ve bk=0.

   Karmaşık katsayı bütün tamsayı k'larda X[k]=(1/4)cos(kπ/4) olur.

   Sesli anlatım metni

   a sıfır ile başlayalım. Sinyali bir periyot üzerinde integre edip T'ye böleriz. Delta fonksiyonunun eleme özelliğini uygularsak, a sıfır eşittir sekizde bir çarpı iki, yani dörtte bir elde ederiz. a k için x t çarpı kosinüs k omega sıfır t'yi integre ederiz. Eleme özelliği t eşittir eksi bir ve t eşittir artı birdeki kosinüs değerlerini çıkarır. Kosinüs çift fonksiyon olduğundan her iki terim eşit katkı sağlar. Sonuç: a k eşittir yarım çarpı kosinüs k çarpı iki pi bölü sekiz. b k için sinüs terimleri birbirini götürür çünkü sinyal çifttir. Tüm k için b k eşittir sıfırdır. Bu genel bir kuraldır: çift sinyallerin sinüs katsayıları sıfırdır.

6. 6. Spektrum davranışının düzeltilmesi

   Bu katsayılar k'ya göre periyodik salınır; sıfıra doğru azalmaz.

   Her tamsayı m için X[8m]=1/4 olduğundan azalma iddiası yanlıştır. İşaretli katsayı grafiğini mutlak değer grafiğinden ayır.

   İmpuls dağılımına, integrallenebilir sıradan fonksiyonlar için geçerli katsayı azalma sonucu uygulanmaz.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi bu katsayıları görselleştirelim. a k'yı k'ya karşı çizdiğimizde kosinüs şekilli bir zarf görürüz. Di Si bileşeni a sıfır eşittir dörtte birdir. Katsayılar k arttıkça azalır ve salınır. Bu grafik genlik spektrumu olarak adlandırılır. Sinyalimizde her harmonik frekansın ne kadar mevcut olduğunu bize söyler. Karmaşık formda X k eşittir dörtte bir çarpı kosinüs k pi bölü dört olup özdeş sonuçlar verir.

7. 7. Özet

   

   DC terimini ve pozitif-negatif harmonik tanımlarını karıştırma.

   Çiftlik sinüs katsayılarını sıfırlar, fakat diğer katsayıların azaldığını göstermez. Buradaki sonuç azalmayan kosinüs dizisidir.

   Sesli anlatım metni

   Bu derste periyodik sinyallerden katsayı bulmak için Fourier serisi analiz denklemlerini türettik. a k ve b k integralleri ile trigonometrik formu ve X k ile kompakt karmaşık üstel formu öğrendik. Bu formülleri periyodik bir impuls sinyalinin katsayılarını hesaplamak için uyguladık. Önemli çıkarım: çift sinyallerin b k katsayıları sıfırdır ve genlik spektrumu herhangi bir periyodik sinyalin frekans içeriğini ortaya koyar. Bu, Fourier serisi analizine girişimizi tamamlamaktadır.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #22 | Fourier Katsayıları - Analiz Denklemleri ve Çözümlü Örnek (4:15)