#26 Sinyaller ve Sistemler #26 | FS Özellikleri Bölüm 2 - Konvolüsyon, Parseval ve Özet

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Fourier serisi özellikleri

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   Ortak T periyodu ve 1/T analiz çarpanı kullanılır.

   Çarpım ve türevlerin anlamlı olduğu yakınsama veya dağılımsal koşullar altında işlem yap.

   Sesli anlatım metni

   Önceki derste Fourier serisi katsayılarının ilk beş özelliğini inceledik: doğrusallık, zaman kaydırma, frekans kaydırma, eşlenik alma ve zaman tersine çevirme. Ayrıca reel sinyaller için eşlenik simetriyi tartıştık. Bu derste altıncı ile on birinci özellikleri tamamlıyoruz: zaman ölçekleme, periyodik konvolüsyon, çarpma, türev, integral ve Parseval teoremi. Periyodik konvolüsyon ve Parseval teoreminin ispatlarını ortogonalite kullanarak yapacağız.

2. 2. Ölçekleme, konvolüsyon ve çarpım

   a>0 için x(at)'nin periyodu T/a, harmonik aralığı aω0 olur; indisli katsayılar değişmez. Sıkışma a>1, genişleme 0<a<1 içindir.

   Bir periyot üzerindeki normalize edilmemiş periyodik konvolüsyon Z[k]=T X[k]Y[k] verir.

   Zamanda çarpım, gerekli toplamlar tanımlıysa katsayıların ayrık konvolüsyonuna karşılık gelir.

   Sesli anlatım metni

   Özellik 6 zaman ölçeklemedir. t yerine a çarpı t koyarak sinyali sıkıştırırsak, burada a sıfırdan büyükse, Fourier serisi katsayıları aynı X k kalır. Ancak temel periyot T'den T bölü a'ya, temel frekans omega sıfırdan a çarpı omega sıfıra değişir. Yani katsayılar aynı kalır ama harmonikler daha geniş aralıklı olur. Özellik 7 periyodik konvolüsyondur. x t ve y t'nin periyodik konvolüsyonu, bir periyot üzerinden x beta çarpı y t eksi beta'nın integrali olarak tanımlanır. Fourier serisi katsayıları T çarpı X k çarpı Y k olur. T çarpanına dikkat edin. Zamanda periyodik konvolüsyon, katsayıların periyotla ölçeklenmiş çarpımına karşılık gelir. Özellik 8 çarpmadır. x t ile y t'yi zamanda çarparsak, Fourier serisi katsayıları X k ile Y k'nın ayrık konvolüsyonu olur. Bu, l eşittir eksi sonsuzdan artı sonsuza X l çarpı Y k eksi l toplamıdır. Bu özellik 7'nin ikilidir: zamanda çarpma, frekansta konvolüsyona karşılık gelir.

3. 3. Periyodik konvolüsyonun kanıtı

   İki üstel seriyi bir periyotluk konvolüsyon integraline yerleştir.

   exp(j(k−m)ω0t) integrali, k=m için T; diğer durumda sıfırdır.

   Yalnız eşleşen harmonikler kalır ve T çarpanı ortaya çıkar. Sonsuz işlemlerin yer değiştirmesi uygun düzgünlükle gerekçelendirilir veya önce sonlu toplamlarda kanıtlanıp genişletilir.

   Sesli anlatım metni

   Özellik 7'yi ispatlayalım. z t'yi x t ile y t'nin periyodik konvolüsyonu olarak tanımlayalım. Yani z t eşittir bir periyot üzerinden x beta çarpı y t eksi beta d beta integrali. Her iki sinyal de T periyotludur. Fourier serisi açılımlarını yerine koyuyoruz. x beta eşittir k üzerinden toplam X k çarpı e üzeri j k iki pi bölü T beta. Ve y t eksi beta eşittir m üzerinden toplam Y m çarpı e üzeri j m iki pi bölü T çarpı t eksi beta. İntegrale koyarsak, z t eşittir k ve m üzerinden çift toplam X k çarpı Y m çarpı bir periyot üzerinden e üzeri j çarpı k eksi m çarpı iki pi bölü T çarpı beta d beta integrali, çarpı e üzeri j m iki pi bölü T çarpı t. Şimdi ortogonalite sonucunu kullanıyoruz. Bir periyot üzerinden e üzeri j çarpı k eksi m çarpı iki pi bölü T çarpı beta integrali, k eşit m ise T'ye, değilse sıfıra eşittir. Bu iç toplamı yok eder. Sadece m eşit k olan terimler kalır. Dolayısıyla z t eşittir k üzerinden toplam X k çarpı Y k çarpı T çarpı e üzeri j k iki pi bölü T çarpı t. Sentez denklemiyle karşılaştırırsak, Z k eşittir T çarpı X k çarpı Y k olur. İspat tamamlandı.

4. 4. İntegral ifadesinin düzeltilmesi

   n'inci türev katsayıyı (jkω0)ⁿ ile çarpar.

   Sıfır ortalamalı, integrallenebilir periyodik sinyalin sonlu bir başlangıç noktasından tanımlanan periyodik primitifi vardır; buna keyfi sabit eklenebilir. Sıfır dışı katsayılar X[k]/(jkω0), DC ise ayrı seçilir.

   Sıfır ortalama, eksi sonsuzdan sıradan integralin yakınsamasını garanti etmez: cos(t)'nin −R ile sıfır arasındaki integrali sin(R)'dir ve R büyürken limiti yoktur.

   Sesli anlatım metni

   Özellik 9 türevdir. x t'nin n'inci türevinin Fourier serisi katsayıları j k omega sıfır üzeri n çarpı X k'dır. Burada omega sıfır eşittir iki pi bölü T. Her türev alma, k'ıncı katsayıyı j k omega sıfır ile çarpar. Bu yüksek frekanslı bileşenleri güçlendirir ve k sıfır olduğunda katsayı sıfır olacağından DC terimini bastırır. Özellik 10 integraldir. x t'nin eksi sonsuzdan t'ye integrali, k sıfırdan farklı olmak üzere, X k bölü j k omega sıfır katsayılarına sahiptir. Bunun sonlu ve periyodik olması için DC bileşeni X sıfırın sıfır olması gerekir. X sıfır sıfır değilse, integral sınırsız büyür ve periyodik olmaz. Dikkat edin, türev ve integral frekans alanında ters işlemlerdir: biri j k omega sıfır ile çarpar, diğeri böler.

5. 5. Parseval

   Karesi integrallenebilir periyodik sinyalin ortalama karesi, katsayı büyüklüklerinin kareleri toplamına eşittir.

   Bir periyottaki abs(x(t))² integrali bu toplamın T katıdır.

   Diklik farklı harmonikleri yok eder; sonlu toplamlardan genelleme ortalama karesel yakınsamayla yapılır.

   Sesli anlatım metni

   Özellik 11 Parseval teoremidir. Bir periyot üzerinden x t'nin genlik karesinin integrali, tüm katsayıların genlik karelerinin toplamının T katına eşittir. Yani T üzerinden x t'nin mutlak değerinin karesi d t integrali eşittir T çarpı k eşittir eksi sonsuzdan artı sonsuza X k'nın mutlak değerinin karesi toplamı. Bu, periyot başına toplam sinyal enerjisini harmonikler arasındaki enerji dağılımına bağlar. İspatlayalım. x t'nin mutlak değerinin karesini x t çarpı x yıldız t olarak yazıyoruz. x t'nin Fourier açılımı k üzerinden toplam X k e üzeri j k iki pi bölü T t'dir. Eşlenik için e üzeri j teta yıldız eşittir e üzeri eksi j teta olduğunu kullanıyoruz. Dolayısıyla x yıldız t eşittir m üzerinden toplam X yıldız m e üzeri eksi j m iki pi bölü T t. Çarpımı bir periyot üzerinden integre edersek, k ve m üzerinden çift toplam X k çarpı X yıldız m çarpı e üzeri j çarpı k eksi m çarpı iki pi bölü T çarpı t'nin integrali elde ederiz. Ortogonaliteye göre integral, k eşit m ise T'ye, değilse sıfıra eşittir. Geriye k üzerinden X k çarpı X yıldız k çarpı T kalır. Bu da T çarpı X k'nın mutlak değerinin karesi toplamına eşittir. Parseval teoremi ispatlandı.

6. 6. Özet

   

   Konvolüsyonun T çarpanını ve ölçekleme aralığını koru.

   Türev DC'yi kaybettirir; periyodik primitif için sonlu referans ve ayrı sabit gerekir.

   Tanımsız bir uygunsuz integrali, yöntem değişikliğini belirtmeden geçerli primitif yerine kullanma.

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Zaman ölçekleme katsayıları korur ama periyodu değiştirir. Zamanda periyodik konvolüsyon, T ile ölçeklenmiş katsayı çarpımını verir. Zamanda çarpma, katsayıların ayrık konvolüsyonunu verir. Türev, katsayıları j k omega sıfır üzeri n ile çarpar. İntegral, katsayıları j k omega sıfır ile böler ve sıfır DC gerektirir. Parseval teoremi zaman alanı enerjisini spektral enerjiye bağlar. Önceki dersin beş özelliğiyle birlikte, bu on bir özellik integral hesaplamadan Fourier serisini analiz etmek için tam bir araç seti oluşturur. Bir sonraki derste Fourier Serisinden sürekli zaman Fourier Dönüşümünü türetmeye başlıyoruz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #26 | FS Özellikleri Bölüm 2 - Konvolüsyon, Parseval ve Özet (6:46)