#30 Sinyaller ve Sistemler #30 | Ters FD Doğrulaması ve Rampa FS Türev Hilesi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Ters dönüşüm ve türev yöntemi

   Düzeltilmiş çözüm notları. Ses özgün kayıttır; hata veya eksik ifadeler içerebilir. Farklılık varsa düzeltilmiş yazılı çözümü esas alın.

   Fourier analizinde exp(−jωt), ters dönüşümde 1/(2π) çarpanı ve exp(+jωt) kullanılır.

   Periyodu iki olan rampanın katsayılarını sıçramaların türev işaretlerini koruyarak bulalım.

   Sesli anlatım metni

   Önceki ders serisinde, Fourier Serisinden Fourier Dönüşümünü türettik, temel dönüşüm çiftlerini hesapladık ve Ef Es katsayıları ile Fourier Dönüşümü arasındaki ilişkiyi kurduk. Şimdi Ders On İki'ye başlıyoruz ve bu araçları uygulamaya koyacağız. Önce, Ters Fourier Dönüşümünün gerçekten orijinal sinyali geri verdiğini doğrulayacağız; bu temel bir tutarlılık kontrolüdür. Ardından güçlü bir çözümlü örneğe geçeceğiz: türev hilesi kullanarak bir rampa sinyalinin Fourier Serisi katsayılarını hesaplamak. Bu yöntemde türev almak, zor bir integrali basit impuls değerlendirmelerine dönüştürür.

2. 2. Ters dönüşümün yorumu

   Yerine koyma işlemi biçimsel olarak 2πδ(t−τ) çekirdeğini verir; uygun ters dönüşüm koşullarında örnekleme özelliği sinyali geri getirir.

   Sonsuz integrallerin yer değiştirmesi düzenleme veya dağılımsal gerekçe gerektirir. Sıçrama noktasında olağan noktasal sonuç, tek taraflı limitlerin ortalamasıdır.

   Sesli anlatım metni

   Ters Fourier Dönüşümünü büyük X omega'ya uyguladığımızda x t'yi geri elde ettiğimizi doğrulayalım. Ters Ef Di formülüyle başlayalım: x şapka t, bir bölü iki pi çarpı büyük X omega çarpı e üzeri j omega t'nin integraline eşittir. Şimdi büyük X omega'nın tanımını yerleştirelim: bu, x tau çarpı e üzeri eksi j omega tau'nun integraline eşittir. Çift katlı bir integral elde ederiz. Anahtar adım, integral sırasını değiştirmektir. Omega üzerindeki iç integral, e üzeri j omega çarpı t eksi tau'nun integraline dönüşür. Bu da iki pi çarpı delta t eksi tau'ya eşittir. Bu temel bir özdeşliktir: iki pi çarpı delta t eksi t bir, e üzeri j omega çarpı t eksi t bir'in, eksi sonsuzdan artı sonsuza integraline eşittir. Şimdi delta fonksiyonunun eleme özelliğini dış integrale uygulayarak, x şapka t eşittir x t elde ederiz. Bu, Ters Fourier Dönüşümünün orijinal sinyali mükemmel bir şekilde geri verdiğini doğrular.

3. 3. Periyodik rampa

   Bir periyot (0,1) aralığında t, (1,2) aralığında sıfırdır; her iki zaman biriminde tekrar eder. Temel açısal frekans π'dir.

   Tek darbe r(t)−r(t−1)−u(t−1) ile yazılır. Tek uç noktanın seçimi katsayıları değiştirmez.

   Sesli anlatım metni

   Periyodik bir rampa sinyali için Fourier Serisi katsayılarını hesaplayalım. Periyodu T eşittir iki olan x tilda t'yi düşünün. Bir periyodu şöyle tanımlanır: x alt o p t, sıfırdan bire kadar t'ye eşittir, birden ikiye kadar ise sıfırdır. Bu, doğrusal olarak sıfırdan bire yükselen, sonra sıfıra düşen bir rampadır. Büyük X k'yı doğrudan integrasyon yoluyla hesaplamak zahmetli olurdu. Bunun yerine türev hilesini kullanacağız. Önce x alt o p t'yi temel sinyallerle ayrıştıralım: x alt o p t, r t eksi r t eksi bir, eksi u t eksi bire eşittir. Rampa r t orijinden başlar, r t eksi bir rampayı t eşittir birden sonra iptal eder, ve u t eksi bir çıkarılarak sabit ofset kaldırılır.

4. 4. Türev işaretinin düzeltilmesi

   Birinci türev u(t)−u(t−1)−δ(t−1); ikinci türev δ(t)−δ(t−1)−δ′(t−1), periyodik olarak tekrarlanır.

   −δ′(t−1) ile exp(−jkπt) eşleştirmesi −jkπ exp(−jkπ) verir; iki türev işareti birlikte izlenmelidir.

   Böylece Y[k]=(1/2)(1−(1+jkπ)(−1)^k) ve Y[k]=(jkπ)²X[k] olur.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi türev hilesini uygulayalım. Birinci türevi alalım: x nokta t, u t eksi u t eksi bir, eksi delta t eksi bire eşittir. Basamak fonksiyonları dikdörtgen bir darbe oluşturur ve t eşittir birdeki süreksizlik negatif bir impuls üretir. İkinci türevi alalım: x çift nokta t, delta t eksi delta t eksi bir, eksi delta üssü t eksi bire eşittir. y t'nin x çift nokta t'ye eşit olduğunu tanımlayalım. Zamanda türev almak, Ef Es alanında j k omega sıfır ile çarpmaya karşılık geldiğinden, büyük Y k, j k omega sıfır'ın karesi çarpı büyük X k'ya eşittir; burada omega sıfır eşittir iki pi bölü T eşittir pi. Şimdi büyük Y k'yı eleme özelliği ile hesaplamak kolaydır. Büyük Y k, bir bölü T çarpı y t çarpı e üzeri eksi j k omega sıfır t'nin integraline eşittir. Delta t terimi bir bölü ikiye eşittir. Delta t eksi bir terimi, eksi bir bölü iki çarpı e üzeri eksi j k pi'dir, bu da eksi bir bölü iki çarpı eksi bir üzeri k'dır. Delta üssü terimi için şu özdeşliği kullanırız: f t çarpı delta üssü t eksi t sıfır'ın integrali, eksi f üssü t sıfır'a eşittir. Bu bize bir bölü iki çarpı j k pi çarpı e üzeri eksi j k pi verir. Birleştirerek: büyük Y k, bir bölü iki çarpı, bir eksi, eksi bir üzeri k çarpı, bir eksi j k pi'ye eşittir.

5. 5. Düzeltilmiş katsayılar

   

   k≠0 için X[k]=−(1−(1+jkπ)(−1)^k)/(2(kπ)²).

   Paydada kπ ifadesinin tamamı kareseldir. Ortalama X[0]=1/4'tür.

   Doğrudan integral X[1]=−1/π²−j/(2π) verir ve düzeltilmiş sanal işareti doğrular. Sentezde pozitif üstel işaret kullanılır.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi büyük X k'yı çözelim. Büyük Y k, j k pi'nin karesi çarpı büyük X k'ya eşit olduğundan, büyük X k, büyük Y k bölü j k pi'nin karesine eşittir. Bu da eksi bir bölü iki k pi kare çarpı, bir eksi, bir eksi j k pi çarpı eksi bir üzeri k'ya eşittir. Bu formül k sıfıra eşit olmadığında geçerlidir. k eşittir sıfır için payda sıfır olur, bu yüzden büyük X sıfır'ı ayrı hesaplayalım. Büyük X sıfır, bir bölü T çarpı bir periyot boyunca x t'nin integraline eşittir; yani ortalama değerdir. Geometrik olarak bu, tabanı bir ve yüksekliği bir olan üçgenin alanının, periyoda bölünmesidir. Alan bir bölü ikidir ve T eşittir ikiye bölerek büyük X sıfır eşittir dörtte bir elde ederiz. Tam Fourier Serisi gösterimi şudur: x t, dörtte bir artı, k sıfıra eşit olmadığında, eksi bir bölü iki k pi kare çarpı, bir eksi, bir eksi j k pi çarpı eksi bir üzeri k, çarpı e üzeri j k pi t'nin toplamına eşittir. Türev hilesi, zorlu bir integrali basit impuls değerlendirmelerine dönüştürmüştür.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #30 | Ters FD Doğrulaması ve Rampa FS Türev Hilesi (5:43)