Sinyaller ve Sistemler · Sinyal enerjisi, ortalama güç ve etkin değer

#17 Ayrık ve sürekli zaman: sonlu dizi, birim basamak ve sinüs

Enerji ve ortalama gücü hesaplayın; enerji ve güç sinyallerini ayırın; sonlu dizi, basamak, sinüs ve üstel örnekleriyle etkin değeri türetin.

Soru

Bu dersin özgün Türkçe videosundan tanım, sınıflandırma veya etkin değer özeti. — Gerçek değerli sinyal kabulünü ve bir periyotta sonlu, sıfırdan büyük enerji koşulunu kullanın. Özgün kartlardaki etkin değer simgesi sinyal genliğini gösterir. 220 V sinüsü, verilen sayısal örnektir.

Bu derste sinyaller gerçek değerlidir; kareleri sıfırdan küçük değildir. Karmaşık sinyallerde mutlak değerin karesi gerekir. Toplam enerji formülü periyodik sinyaller için de geçerlidir. Periyodik güç ifadesini önceki tanımın koşullarıyla okuyun: bir periyottaki enerji sonlu ve sıfırdan büyük olmalıdır. Sıfır sinyali periyodik olduğu halde enerjisi ve gücü sıfırdır; güç sinyali değildir. Sürekli zamanda sıfır olmayan sinyal, pozitif ölçülü bir kümede sıfırdan farklı olmalı ve periyot enerjisi mevcut olmalıdır. Dersin sonlu enerji kabulü sıfır enerjiyi de içerir. Hiçbiri sınıfı, bu iki tanım dışında kalanları kapsar; sonsuz enerji ile sıfır ortalama güç veya mevcut olmayan güç limiti de buna dahildir. Rampa bir örnektir. Simetrik ortalama penceresi kullanın. P_M, eksi M ile M örnekleri arasındaki AZ ortalamadır; M sınırsız büyürken limiti P_x olur. SZ için E_B, eksi B bölü iki ile B bölü iki arasındaki enerji; P_B ise E_B bölü B değeridir. B sınırsız büyürken limitleri toplam enerji E_x ve ortalama güç P_x olur. AZ birim basamağı sıfırıncı örnekte ve sonrasında birdir; bu nedenle M artı bir sıfır olmayan örnek ve yarım ortalama güç elde edilir. Sinüzoidal etkin değer sonucunda A pozitif tepe genliği, f pozitif frekanstır; DC bileşen yoktur. Özgün karttaki P etkin ve buradaki P_rms etkin genliği ifade eder, birimi x ile aynıdır; P_x ise kare ortalamasıdır. 220 V ve 50 Hz verilen dalga biçiminin parametreleridir. Üstel örnekte alfa pozitiftir ve basamak sinyali negatif zamanda sıfır yapar.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. AZ tanımları
Gerçek değerli sinyal kabulünü ve bir periyotta sonlu, sıfırdan büyük enerji koşulunu kullanın. Özgün kartlardaki etkin değer simgesi sinyal genliğini gösterir. 220 V sinüsü, verilen sayısal örnektir.
Gerçek değerli sinyali enerji ve ortalama güç ile inceleyin.
AZ toplam enerji:
$\displaystyle E_{x}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x\left[n\right]^{2}$
M sınırsız büyürken pencere ortalamasının limitini alın:
$\displaystyle P_{M}=\left(\frac{1}{2M+1}\right)\sum _{n=-M}^{M}x\left[n\right]^{2}$
Sıfır olmayan, sonlu değerli periyodik dizi için:
$\displaystyle P_{x}=\left(\frac{1}{N}\right)\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]^{2}$
Sesli anlatım metni
Bugün sinyalleri karakterize eden iki temel büyüklüğü tanıtacağız: enerji ve güç. Ayrık zamanlı bir x n sinyali için toplam enerji, E x eşittir n eksi sonsuzdan artı sonsuza x kare n'nin toplamıdır. Ortalama güç ise P x eşittir M sonsuza giderken bir bölü iki M artı bir çarpı n eksi M'den M'ye x kare n toplamının limitidir. N periyotlu periyodik sinyaller için enerji her zaman sonsuzdur ve güç bir bölü N çarpı n sıfırdan N eksi bire x kare n toplamına sadeleşir.
2. Sonlu dizi ve birim basamak
Gerçek değerli sinyal kabulünü ve bir periyotta sonlu, sıfırdan büyük enerji koşulunu kullanın. Özgün kartlardaki etkin değer simgesi sinyal genliğini gösterir. 220 V sinüsü, verilen sayısal örnektir.
Sonlu dizi ile birim basamağı karşılaştırın.
Sıfırdan dörde beş örnek:
$\displaystyle \left(x\left[0\right],x\left[1\right],x\left[2\right],x\left[3\right],x\left[4\right]\right)=\left(-1,1,0,2,-1\right)$
Kareleri toplayın:
$\displaystyle E_{x}=\left(-1\right)^{2}+1^{2}+0^{2}+2^{2}+\left(-1\right)^{2}=7$
Pencere beş örneği içerdiğinde bu ortalama sıfıra gider:
$\displaystyle P_{M}=\frac{7}{2M+1}$
İkinci örnek:
$\displaystyle x\left[n\right]=u\left[n\right]$
Birim basamağın enerjisi:
$\displaystyle E_{x}=\sum _{n=0}^{\infty }1^{2}=\infty$
Birim basamak karesine eşittir; simetrik pencerede M artı bir tane sıfır olmayan örnek vardır.
Bu simetrik pencere ortalaması yarıma gider:
$\displaystyle P_{M}=\frac{M+1}{2M+1}$
Sesli anlatım metni
İki zıt örnek görelim. İlk olarak sonlu sinyal x n eşittir eksi bir, bir, sıfır, iki, eksi bir'i düşünelim. Enerjisi bir kare artı bir kare artı sıfır kare artı iki kare artı bir kare, yani yedi eder. Sinyal sonlu süreli olduğundan gücü, yedi bölü iki M artı birin M sonsuza giderken limiti, yani sıfırdır. Şimdi x n eşittir birim basamak u n'yi düşünelim. Enerji, bir karenin sonsuz toplamıdır, yani E x sonsuz olur. Güç için, u kare n eşittir u n olduğundan, n sıfırdan M'ye M artı bir tane bir toplarız. Bu da M artı bir bölü iki M artı birin limitini verir, yani yarım eder.
3. Enerji ve güç sınıfları
Gerçek değerli sinyal kabulünü ve bir periyotta sonlu, sıfırdan büyük enerji koşulunu kullanın. Özgün kartlardaki etkin değer simgesi sinyal genliğini gösterir. 220 V sinüsü, verilen sayısal örnektir.
İki örneği enerji ve ortalama güç tanımlarıyla sınıflandırın.
Enerji sinyalinin enerjisi sonlu, ortalama gücü sıfırdır.
Beş örnekli dizinin enerjisi yedi, ortalama gücü sıfırdır.
Güç sinyalinin enerjisi sonsuz; ortalama gücü sonlu ve sıfırdan farklıdır.
Birim basamağın enerjisi sonsuz, ortalama gücü yarımdır.
Verilen enerji ve güç sınıflarına girmeyen sinyaller hiçbirine dahil değildir.
Bir periyottaki enerjisi sonlu ve sıfırdan büyük olan periyodik sinyal güç sinyalidir.
Bu koşul altında tekrarlar toplam enerjiyi sonsuz yapar, ortalama güç sonlu kalır.
Sesli anlatım metni
Bu örnekler iki kategoriyi göstermektedir. Enerji sinyali sonlu enerjiye ve sıfır ortalama güce sahiptir. Beş örnekli sinyalimiz gibi, E x yedi ve P x sıfır. Güç sinyali ise sonsuz enerjiye ama sonlu sıfırdan farklı ortalama güce sahiptir. Birim basamak gibi, E x sonsuz ve P x yarım. Her sinyal üç sınıftan birine girer: enerji sinyali, güç sinyali veya hiçbiri. Periyodik sinyaller sonsuza kadar tekrar ettikleri için her zaman güç sinyalidir. Sonsuz enerji biriktirir ama sonlu ortalama güç korurlar.
4. SZ tanımları
Gerçek değerli sinyal kabulünü ve bir periyotta sonlu, sıfırdan büyük enerji koşulunu kullanın. Özgün kartlardaki etkin değer simgesi sinyal genliğini gösterir. 220 V sinüsü, verilen sayısal örnektir.
Sürekli zamanda toplam yerine integral kullanın.
B sınırsız büyürken pencere enerjisinin limitini alın:
$\displaystyle E_{B}=\int _{-B/2}^{B/2}x\left(t\right)^{2} \mathrm{d}t$
B sınırsız büyürken pencere ortalamasının limitini alın:
$\displaystyle P_{B}=\left(\frac{1}{B}\right)\int _{-B/2}^{B/2}x\left(t\right)^{2} \mathrm{d}t$
Bir periyot üzerinden ortalama:
$\displaystyle P_{x}=\left(\frac{1}{T}\right)\int _{-T/2}^{T/2}x\left(t\right)^{2} \mathrm{d}t$
Etkin genlik:
$\displaystyle P_{\mathrm{rms}}=\sqrt{P_{x}}$
Sesli anlatım metni
Sürekli zamanlı sinyaller için tanımlar toplam yerine integral kullanır. Enerji, E x eşittir B sonsuza giderken eksi B bölü ikiden B bölü ikiye x kare t d t integralinin limitidir. Güç, P x eşittir aynı integralin bir bölü B ile çarpılmış limitidir. T periyotlu periyodik sinyaller için güç, P x eşittir bir bölü T çarpı eksi T bölü ikiden T bölü ikiye x kare t d t'dir. Karekök ortalama değer, yani etkin değer, ortalama gücün kareköküdür: P etkin eşittir P x'in kareköküdür.
5. Sinüzoidal etkin değer
Gerçek değerli sinyal kabulünü ve bir periyotta sonlu, sıfırdan büyük enerji koşulunu kullanın. Özgün kartlardaki etkin değer simgesi sinyal genliğini gösterir. 220 V sinüsü, verilen sayısal örnektir.
Tepe genliği ve frekans pozitif olsun:
$\displaystyle x\left(t\right)=A \sin \left(2\pi f t\right)$
Periyot:
$\displaystyle T=\frac{1}{f}$
Sinüsün karesinin ortalaması:
$\displaystyle P_{x}=\left(\frac{1}{T}\right)\int _{-T/2}^{T/2}A^{2} \sin \left(2\pi f t\right)^{2} \mathrm{d}t$
Yarım açı özdeşliği:
$\displaystyle \sin \left(\theta \right)^{2}=\frac{1-\cos \left(2\theta \right)}{2}$
Salınımlı terimin bir tam sinyal periyodundaki integrali sıfırdır.
Kalan sabit terim:
$\displaystyle P_{x}=\left(\frac{A^{2}}{2T}\right)T=\frac{A^{2}}{2}$
Sinüzoidal etkin genlik:
$\displaystyle P_{\mathrm{rms}}=A/\sqrt{2}$
Sesli anlatım metni
Sinüzoidal sinyal x t eşittir A sinüs iki pi f t'nin etkin değerini türetelim. Bu sinyal T eşittir bir bölü f periyotlu periyodik bir sinyaldir. Güç, bir bölü T çarpı bir periyot üzerinde A kare sinüs kare iki pi f t d t integraldir. Yarım açı özdeşliğini kullanarak, sinüs kare teta eşittir bir eksi kosinüs iki teta bölü iki, integrali iki parçaya ayırırız. Kosinüs integrali tam periyot üzerinde sıfırdır. Geriye A kare bölü iki T çarpı T kalır, yani A kare bölü iki. Dolayısıyla etkin değer A bölü kök ikidir.
6. Pratik örnekler
Gerçek değerli sinyal kabulünü ve bir periyotta sonlu, sıfırdan büyük enerji koşulunu kullanın. Özgün kartlardaki etkin değer simgesi sinyal genliğini gösterir. 220 V sinüsü, verilen sayısal örnektir.
Tanımları verilen iki dalga biçimine uygulayın.
Dersteki 220 V, 50 Hz örneği:
$\displaystyle v\left(t\right)=220\sqrt{2}\sin \left(2\pi 50t\right)$
Pozitif tepeden etkin gerilim:
$\displaystyle V_{\mathrm{rms}}=220\sqrt{2}/\sqrt{2}=220$
Bu örnekte 220 volt, gerilimin etkin değeridir.
Pozitif azalma katsayısı için:
$\displaystyle x\left(t\right)=e^{-\alpha t}u\left(t\right)$
Üstel sinyalin enerjisi:
$\displaystyle E_{x}=\int _{0}^{\infty }e^{-2\alpha t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2\alpha }$
Sonlu enerji, sıfır ortalama güç verir.
Bu azalan üstel, sürekli zamanlı bir enerji sinyalidir.
Sesli anlatım metni
İki pratik uygulama görelim. İlk olarak, Avrupa şebeke gerilimi v t eşittir iki yüz yirmi çarpı kök iki çarpı sinüs iki pi çarpı elli t volttur. Tepe genliği iki yüz yirmi kök ikidir, dolayısıyla etkin gerilim iki yüz yirmi kök iki bölü kök iki, yani iki yüz yirmi volttur. İki yüz yirmi volt şebeke derken bunu kastediyoruz. İkinci olarak, azalan üstel x t eşittir e üzeri eksi alfa t çarpı u t'yi düşünelim, alfa sıfırdan büyük. Enerjisi sıfırdan sonsuza e üzeri eksi iki alfa t d t integralidir ve bir bölü iki alfa sonucunu verir. Enerji sonlu olduğundan güç sıfırdır. Bu sürekli zamanlı bir enerji sinyalidir.
7. Özet
Gerçek değerli sinyal kabulünü ve bir periyotta sonlu, sıfırdan büyük enerji koşulunu kullanın. Özgün kartlardaki etkin değer simgesi sinyal genliğini gösterir. 220 V sinüsü, verilen sayısal örnektir.
Ayrık ve sürekli zamanda enerji, ortalama güç ve etkin değeri özetleyin.
Bu dersteki kabulle enerji sinyali sonlu enerjiye ve sıfır ortalama güce sahiptir.
Sonlu beş örnekli dizi ve azalan üstel buna örnektir.
Güç sinyalinin enerjisi sonsuz, ortalama gücü sonlu ve sıfırdan farklıdır.
Koşulları belirtilen sıfır olmayan periyodik dalgalar ile birim basamak güç örnekleridir.
Pozitif genlikli ve pozitif frekanslı sinüs için:
$\displaystyle P_{\mathrm{rms}}=A/\sqrt{2}$
Sırada nedensellik, bellek, doğrusallık, zaman değişmezliği, kararlılık ve tersinirlik var.
Sesli anlatım metni
Bugün hem ayrık hem sürekli zaman için sinyal enerjisi ve gücünü işledik. Enerji sinyalleri sonlu enerjiye ve sıfır güce sahiptir. Sonlu süreli sinyaller ve azalan üsteller buna örnektir. Güç sinyalleri sonsuz enerjiye ve sonlu güce sahiptir. Periyodik sinyaller ve birim basamak buna örnektir. Sinüzoidal sinyaller için etkin değer her zaman A bölü kök ikidir. Bir sonraki derste sistemleri ve temel özelliklerini keşfedeceğiz: nedensellik, bellek, doğrusallık, zaman değişmezliği, kararlılık ve tersinirlik.