#03 Silindirik koordinatların tanımı, Kartezyen dönüşüm ve diferansiyel elemanlar

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Silindirik sisteme geçişi kur

   

   Bir önceki derste Kartezyen koordinat sistemini, eksenlerini, birim vektörlerini ve diferansiyel elemanlarını tanımlamıştık.

   Şimdi ikinci koordinat sistemine geçelim: silindirik koordinatlar.

   Koordinatları ρ, φ ve z olarak tanımlayacağız, Kartezyen ile ilişkisini göstereceğiz ve diferansiyel elemanları dl, dS ve dV'yi türeteceğiz.

   Sesli anlatım metni

   Bir önceki derste Kartezyen koordinat sistemini, eksenlerini, birim vektörlerini ve diferansiyel elemanlarını tanımlamıştık. Şimdi ikinci koordinat sistemine geçelim: silindirik koordinatlar. Koordinatları ro, fi ve zet olarak tanımlayacağız, Kartezyen ile ilişkisini göstereceğiz ve diferansiyel elemanları dl, de es ve de ve'yi türeteceğiz.

2. 2. ρ, φ, z koordinatlarını tanımla

   

   Silindirik koordinat sistemi üç değişken kullanır: ρ, φ ve z.

   xy düzleminden başlayalım.

   Bu düzlemde, orijinden ρ kadar uzaklıkta bir P üssü noktası düşünelim.

   φ açısı, pozitif x ekseninden, orijini P üssüne bağlayan doğruya kadar ölçülür.

   Yani ρ ve φ birlikte, xy düzleminde bir konum belirler, tıpkı kutupsal koordinatlar gibi.

   Şimdi üç boyuta genişletelim.

   xy düzlemine dik, yukarıya doğru bir z ekseni ekleyelim.

   P noktamız, P üssünün z kadar yüksektedir.

   P'nin silindirik koordinatları ρ, φ ve z'tir.

   Burada kritik bir ayrım var.

   ρ, z ekseninden noktaya olan dik uzaklıktır, yatay uzaklıktır, xy düzlemine projeksiyondur.

   Orijinden P'ye olan konum vektörü r ise farklı bir büyüklüktür, çapraz mesafedir.

   ρ ile r'yi karıştırmayın.

   Her noktada birbirine dik üç birim vektör tanımlarız: z ekseninden dışa doğru radyal yönde işaret eden e_ρ, artan φ yönünde işaret eden e_φ ve dümdüz yukarıya işaret eden e_z.

   Bu üçlü sağ el kuralına uyar.

   Sesli anlatım metni

   Silindirik koordinat sistemi üç değişken kullanır: ro, fi ve zet. İks ye düzleminden başlayalım. Bu düzlemde, orijinden ro kadar uzaklıkta bir P üssü noktası düşünelim. Fi açısı, pozitif iks ekseninden, orijini P üssüne bağlayan doğruya kadar ölçülür. Yani ro ve fi birlikte, iks ye düzleminde bir konum belirler, tıpkı kutupsal koordinatlar gibi. Şimdi üç boyuta genişletelim. İks ye düzlemine dik, yukarıya doğru bir zet ekseni ekleyelim. P noktamız, P üssünün zet kadar yüksektedir. P'nin silindirik koordinatları ro, fi ve zet'tir. Burada kritik bir ayrım var. Ro, zet ekseninden noktaya olan dik uzaklıktır, yatay uzaklıktır, iks ye düzlemine projeksiyondur. Orijinden P'ye olan konum vektörü r ise farklı bir büyüklüktür, çapraz mesafedir. Ro ile r'yi karıştırmayın. Her noktada birbirine dik üç birim vektör tanımlarız: zet ekseninden dışa doğru radyal yönde işaret eden e şapka ro, artan fi yönünde işaret eden e şapka fi ve dümdüz yukarıya işaret eden e şapka zet. Bu üçlü sağ el kuralına uyar.

3. 3. Kartezyen dönüşümleri yaz

   

   Silindirik ve Kartezyen arasında dönüşüm yapmak için basit trigonometri kullanırız.

   xy düzlemine baktığımızda, ρ ve φ bir dik üçgen oluşturur.

   x = ρ cos φ ve y = ρ sin φ.

   z koordinatı aynı kalır.

   Ters yönde, ρ = √(x² + y²) ve φ = arctan(y/x).

   Silindirik koordinatlarda konum vektörü r = ρ e_ρ + z e_z şeklinde yazılır.

   Konum vektöründe φ terimi olmadığına dikkat edin, çünkü e_ρ zaten açısal bilgiyi içerir.

   Sesli anlatım metni

   Silindirik ve Kartezyen arasında dönüşüm yapmak için basit trigonometri kullanırız. İks ye düzlemine baktığımızda, ro ve fi bir dik üçgen oluşturur. İks koordinatı ro kosinüs fi'ye eşittir ve ye koordinatı ro sinüs fi'ye eşittir. Zet koordinatı aynı kalır. Ters yönde, ro eşittir iks kare artı ye karenin kareköküdür ve fi eşittir ye bölü iks'in ark tanjantıdır. Silindirik koordinatlarda konum vektörü r eşittir ro e ro artı zet e zet şeklinde yazılır. Konum vektöründe fi terimi olmadığına dikkat edin, çünkü e ro zaten açısal bilgiyi içerir.

4. 4. Silindirik çizgi elemanını türet

   

   Şimdi diferansiyel çizgi elemanı dl'yi türetelim.

   Silindirik koordinatlarda küçük bir yer değiştirmenin üç bileşeni vardır.

   ρ yönünde, dρ değişimi dl_ρ = dρ e_ρ verir.

   φ yönünde, dφ açısal değişimi ρ dφ yay uzunluğuna karşılık gelir; dolayısıyla dl_φ = ρ dφ e_φ olur.

   ρ çarpanına dikkat edin: bu φ'nin metrik katsayısıdır.

   z yönünde, dl_z = dz e_z, tıpkı Kartezyen'deki gibi.

   Toplam çizgi elemanı: dl = dρ e_ρ + ρ dφ e_φ + dz e_z.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi diferansiyel çizgi elemanı dl'yi türetelim. Silindirik koordinatlarda küçük bir yer değiştirmenin üç bileşeni vardır. Ro yönünde, de ro değişimi dl ro eşittir de ro e ro verir. Fi yönünde, de fi açısal değişimi ro de fi yay uzunluğuna karşılık gelir, dolayısıyla dl fi eşittir ro de fi e fi olur. Ro çarpanına dikkat edin: bu fi'nin metrik katsayısıdır. Zet yönünde, dl zet eşittir de zet e zet, tıpkı Kartezyen'deki gibi. Toplam çizgi elemanı: dl eşittir de ro e ro artı ro de fi e fi artı de zet e zet.

5. 5. Silindirik yüzey elemanlarını kur

   

   Diferansiyel yüzey elemanı dS, üç diferansiyel uzunluktan ikisinin birleştirilmesiyle oluşur.

   Sabit z yüzeyinde, dS = ρ dρ dφ e_z.

   ρ çarpanı, φ yönünün ρ metrik katsayısına sahip olmasından kaynaklanır.

   Sabit φ yüzeyinde, dS = dρ dz e_φ.

   Sabit ρ yüzeyinde, dS = ρ dφ dz e_ρ.

   Yine dφ'nin olduğu her yerde ρ çarpanının göründüğüne dikkat edin, çünkü dφ açısal artışı ρ dφ yay uzunluğuna karşılık gelir.

   Sesli anlatım metni

   Diferansiyel yüzey elemanı de es, üç diferansiyel uzunluktan ikisinin birleştirilmesiyle oluşur. Sabit zet yüzeyinde, de es eşittir ro de ro de fi e zet. Ro çarpanı, fi yönünün ro metrik katsayısına sahip olmasından kaynaklanır. Sabit fi yüzeyinde, de es eşittir de ro de zet e fi. Sabit ro yüzeyinde, de es eşittir ro de fi de zet e ro. Yine de fi'nin olduğu her yerde ro çarpanının göründüğüne dikkat edin, çünkü de fi açısal artışı ro de fi yay uzunluğuna karşılık gelir.

6. 6. Silindirik hacim elemanını türet

   

   Diferansiyel hacim elemanı üç diferansiyel uzunluğun birleşimidir.

   dV = dρ × ρ dφ × dz, bu da ρ dρ dφ dz'e sadeleşir.

   Kartezyen'deki dV = dx dy dz ile karşılaştırıldığında, silindirik hacim elemanında fazladan bir ρ çarpanı vardır.

   Bu geometrik olarak anlamlıdır: z ekseninden uzak elemanlar, aynı açısal artış için daha büyük hacimler kaplarlar.

   Sesli anlatım metni

   Diferansiyel hacim elemanı üç diferansiyel uzunluğun birleşimidir. de ve eşittir de ro çarpı ro de fi çarpı de zet, bu da ro de ro de fi de zet'e sadeleşir. Kartezyen'deki de ve eşittir de iks de ye de zet ile karşılaştırıldığında, silindirik hacim elemanında fazladan bir ro çarpanı vardır. Bu geometrik olarak anlamlıdır: zet ekseninden uzak elemanlar, aynı açısal artış için daha büyük hacimler kaplarlar.

7. 7. ρ metrik çarpanını özetle

   

   Özetleyelim.

   Silindirik koordinatlarda üç değişken ρ, φ ve z'tir.

   Unutmayın: ρ, z ekseninden olan uzaklıktır, orijinden değil.

   Konum vektörü r = ρ e_ρ + z e_z.

   Çizgi elemanı dl = dρ e_ρ + ρ dφ e_φ + dz e_z.

   Kartezyen'den temel fark, dφ'yi çarpan ρ metrik katsayısıdır.

   Yüzey elemanlarında dφ'nin olduğu her yerde ρ görünür.

   Hacim elemanı dV = ρ dρ dφ dz.

   Bir sonraki derste küresel koordinatlara geçiyoruz, burada her iki açısal yön de metrik katsayı taşır.

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Silindirik koordinatlarda üç değişken ro, fi ve zet'tir. Unutmayın: ro, zet ekseninden olan uzaklıktır, orijinden değil. Konum vektörü r eşittir ro e ro artı zet e zet. Çizgi elemanı dl eşittir de ro e ro artı ro de fi e fi artı de zet e zet. Kartezyen'den temel fark, de fi'yi çarpan ro metrik katsayısıdır. Yüzey elemanlarında de fi'nin olduğu her yerde ro görünür. Hacim elemanı de ve eşittir ro de ro de fi de zet. Bir sonraki derste küresel koordinatlara geçiyoruz, burada her iki açısal yön de metrik katsayı taşır.

Kaynak video: Elektromanyetik Teori (v2) #03 Silindirik Koordinat Sistemi (5:11)