#44 Kararlı LTI sistemlerde G(jω), sinüsoidal kalıcı-durum genlik/faz cevabı, atan2 ile faz ve desibel ölçeği

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Zaman cevabından frekans cevabına geç

   

   Hızlı bir özet.

   Şimdiye kadar sistemi zaman cevabıyla inceledik — basamak girişi, basamak çıkışı, yerleşme zamanı, aşma.

   Bugün merceği değiştiriyoruz.

   Basamak yerine saf bir sinüs dalgası gönderiyoruz ve ne çıkacağını soruyoruz.

   Cevap, frekans cevabı — ve bu, klasik kontroldeki en güçlü araçtır.

   Sesli anlatım metni

   Hızlı bir özet. Şimdiye kadar sistemi zaman cevabıyla inceledik — basamak girişi, basamak çıkışı, yerleşme zamanı, aşma. Bugün merceği değiştiriyoruz. Basamak yerine saf bir sinüs dalgası gönderiyoruz ve ne çıkacağını soruyoruz. Cevap, frekans cevabı — ve bu, klasik kontroldeki en güçlü araçtır.

2. 2. Sinüslerin üç temel rolünü açıkla

   

   Sinüs dalgaları neden önemli?

   Üç sebep.

   Bir — uygun Fourier koşullarındaki sinyaller sinüsoidal bileşenlerle temsil edilebilir.

   Bu Fourier fikri.

   Uygun sinyal sınıfında her bileşenin cevabı süperpozisyonla birleştirilir.

   İki — frekans cevabı, laboratuvarda ölçtüğümüz şeydir.

   Sisteme bir tarama uygula, frekansa karşı genlik ve fazı çiz.

   Aldığımız eğri, başka bir dilde, sistemin kendisidir.

   Üç — Bode, Nyquist, kazanç/faz payı, lead-lag kompanzasyon ve PID ayarı frekans uzayını kullanır.

   Frekans cevabını öğren, gerisi geometriden ibarettir.

   Sesli anlatım metni

   Sinüs dalgaları neden önemli? Üç sebep. Bir — her gerçek sinyal, sinüsoidlerin toplamı olarak yazılabilir. Bu Fourier fikri. Sistem her ayrı sinüsü nasıl ele alıyor biliyorsak, her sinyali nasıl ele aldığını biliyoruz demektir. İki — frekans cevabı, laboratuvarda ölçtüğümüz şeydir. Sisteme bir tarama uygula, frekansa karşı genlik ve fazı çiz. Aldığımız eğri, başka bir dilde, sistemin kendisidir. Üç — buradan sonraki tüm klasik tasarım araçları — Bode diyagramları, Nyquist kararlılığı, kazanç ve faz payı, lead-lag kompensatörler, Pi I Di tuning — frekans uzayında yaşar. Frekans cevabını öğren, gerisi geometriden ibarettir.

3. 3. Kararlı LTI sistemde sinüs özfonksiyon sonucunu kur

   

   Düşünce deneyi.

   Bir doğrusal zamanla değişmeyen sistem hayal et, bir kara kutu.

   Giriş — saf bir sinüs, sin omega t.

   Geçici bileşenler sönsün — bu kalıcı durumdur.

   Çıkış nasıl görünür?

   Çıkış da aynı omega frekansında saf bir sinüs çıkıyor.

   Kararlı LTI sistemde kompleks üsteller özfonksiyon olduğundan kalıcı durumda yeni frekans oluşmaz; doğrusallık ve zamanla değişmezlik birlikte gerekir.

   Ama iki şey değişiyor.

   Genlik bir faktörle ölçeklenmiştir.

   Faz bir açıyla kaymıştır.

   İkisi de omega'ya bağlıdır.

   Yavaş bir sinüs gönder, bir genlik ve bir faz alırsın.

   Hızlı bir sinüs gönder, başka bir genlik, başka bir faz alırsın.

   Sistem her frekansta farklı bir lehçeyle konuşuyor.

   Sesli anlatım metni

   Düşünce deneyi. Bir doğrusal zamanla değişmeyen sistem hayal et, bir kara kutu. Giriş — saf bir sinüs, sin omega t. Geçici bileşenler sönsün — bu kalıcı durumdur. Çıkış nasıl görünür? Çıkış da aynı omega frekansında saf bir sinüs çıkıyor. Sistem yeni frekanslar yaratamaz — bu doğrusallığın garantisidir. Ama iki şey değişiyor. Genlik bir faktörle ölçeklenmiştir. Faz bir açıyla kaymıştır. İkisi de omega'ya bağlıdır. Yavaş bir sinüs gönder, bir genlik ve bir faz alırsın. Hızlı bir sinüs gönder, başka bir genlik, başka bir faz alırsın. Sistem her frekansta farklı bir lehçeyle konuşuyor.

4. 4. Kalıcı-durum genlik ve faz formülünü yaz

   

   Ana sonuç, tek satırda.

   Birim giriş x(t)=sin(ωt) için yₛₛ(t)=|G(jω)|sin[ωt+∠G(jω)].

   Tüm hikâye bu.

   Her frekansta iki sayı — genlik ve faz.

   Formül nereden geliyor?

   İki adımlı bir argüman.

   sin omega t'nin Laplace dönüşümünü al, G ès ile çarp, kısmi kesirler yap.

   BIBO-kararlı LTI sistemde geçici bileşenler söner; jω cevabının tanımlı olduğu varsayılır.

   Kalan, artı eksi ce omega'da kutbu olan iki terim — ve bunlar, genliği G ce omega'nın genliği ve fazı G ce omega'nın açısı olan bir sinüsoide birleşir.

   Bugün tam türetmeye gerek yok.

   Çıkarım: uygun transfer fonksiyonunda s=jω koyarak G(jω)'yı hesapla.

   Çıkan karmaşık sayı hem genlik ölçeklemesini hem faz kaymasını kodluyor.

   Sesli anlatım metni

   Ana sonuç, tek satırda. Bir doğrusal zamanla değişmeyen sistem G ès'e girdi sin omega t için, kalıcı durum çıkışı, G ce omega'nın genliği çarpı, omega t artı G ce omega'nın açısı sinüsüdür. Tüm hikâye bu. Her frekansta iki sayı — genlik ve faz. Formül nereden geliyor? İki adımlı bir argüman. sin omega t'nin Laplace dönüşümünü al, G ès ile çarp, kısmi kesirler yap. Sistem kararlı olduğundan geçici bileşenler söner. Kalan, artı eksi ce omega'da kutbu olan iki terim — ve bunlar, genliği G ce omega'nın genliği ve fazı G ce omega'nın açısı olan bir sinüsoide birleşir. Bugün tam türetmeye gerek yok. Çıkarım — frekans cevabını bulmak için, transfer fonksiyonuna sadece s eşittir ce omega koy. Çıkan karmaşık sayı hem genlik ölçeklemesini hem faz kaymasını kodluyor.

5. 5. G(jω)'dan modül ve fazı doğru hesapla

   

   G ce omega nasıl hesaplanır.

   G ès'te s eşittir ce omega koy.

   Şimdi reel omega değişkeninin karmaşık değerli bir fonksiyonun var.

   O karmaşık sayıdan iki reel sayı çıkar.

   Genlik oranı |G(jω)|'dır.

   Bu, omega frekansındaki kazançtır.

   Faz farkı ∠G(jω)'dır.

   Bu, sistemin omega frekansında uyguladığı faz kaymasıdır.

   G(jω)=A+jB ise |G|=√(A²+B²) ve genel faz ∠G=atan2(B,A)'dır; kaynak sesindeki arctan(B/A) kuralı çeyrek bilgisini kaybeder.

   Çoğu transfer fonksiyonu rasyoneldir — bir polinom bölü bir polinom.

   Bunlar için payı ve paydayı çarpanlarına ayır, sonra genlik, çarpan genliklerinin çarpımı bölü çarpan genliklerinin çarpımıdır, ve faz, çarpan fazlarının toplamı eksi çarpan fazlarının toplamıdır.

   Her çarpan kendi başına kolayca ele alınır.

   Sesli anlatım metni

   G ce omega nasıl hesaplanır. G ès'te s eşittir ce omega koy. Şimdi reel omega değişkeninin karmaşık değerli bir fonksiyonun var. O karmaşık sayıdan iki reel sayı çıkar. Genlik — G ce omega'nın modülü, G ce omega'nın mutlak değeri olarak yazılır. Bu, omega frekansındaki kazançtır. Faz — G ce omega'nın argümanı, açı G ce omega olarak yazılır. Bu, sistemin omega frekansında uyguladığı faz kaymasıdır. G ce omega eşittir A artı ce B ise, genlik eşittir kök A kare artı B kare, ve faz eşittir arktanjant B bölü A. Çoğu transfer fonksiyonu rasyoneldir — bir polinom bölü bir polinom. Bunlar için payı ve paydayı çarpanlarına ayır, sonra genlik, çarpan genliklerinin çarpımı bölü çarpan genliklerinin çarpımıdır, ve faz, çarpan fazlarının toplamı eksi çarpan fazlarının toplamıdır. Her çarpan kendi başına kolayca ele alınır.

6. 6. 1/(s+1) frekans cevabını çöz

   

   Çözümlü örnek.

   G(s)=1/(s+1) alalım.

   Basit birinci dereceden bir alçak geçiren filtre.

   s=jω için G(jω)=1/(1+jω).

   Genliği bulmak için pay ve paydayı karmaşık eşlenikle çarp, ya da kuralı doğrudan kullan.

   $\displaystyle |G\left(j\omega \right)|=1/\sqrt{1+\omega ²}.$

   Faz için, bir'in açısı sıfırdır, ve ce omega artı bir'in açısı arktanjant omega bölü bir, yani arktanjant omega'dır.

   Bu örnekte 1+jω birinci bölgede olduğundan ∠G(jω)=−arctan(ω).

   Biraz sayı koyalım.

   ω=0'da (DC) |G|=1 ve faz 0°'dir.

   Sistem Di Si'yi mükemmel geçirir.

   ω=1'de |G|=1/√2≈0,707 ve faz −45°'dir.

   ω=10'da |G|=1/√101≈0,0995 ve faz ≈−84,3°'dir; ω→∞ iken −90°'ye yaklaşır.

   Sistem yüksek frekansları zayıflatır ve geciktirir.

   Bu, alçak geçiren filtrenin imzasıdır.

   Sesli anlatım metni

   Çözümlü örnek. G ès eşittir bir bölü s artı bir alalım. Basit birinci dereceden bir alçak geçiren filtre. s eşittir ce omega koyalım — G ce omega eşittir bir bölü ce omega artı bir olur. Genliği bulmak için pay ve paydayı karmaşık eşlenikle çarp, ya da kuralı doğrudan kullan. Bir bölü ce omega artı bir'in genliği, ce omega artı bir'in genliğinin tersidir, yani bir bölü kök bir artı omega kare. Faz için, bir'in açısı sıfırdır, ve ce omega artı bir'in açısı arktanjant omega bölü bir, yani arktanjant omega'dır. Yani G ce omega'nın açısı sıfır eksi arktanjant omega, sadece eksi arktanjant omegadır. Biraz sayı koyalım. Omega eşittir sıfırda — Di Si — genlik bir, faz sıfır. Sistem Di Si'yi mükemmel geçirir. Omega eşittir birde — köşe frekansında — genlik bir bölü kök iki, yaklaşık 0.707, ve faz eksi 45 derece. Omega eşittir 10'da — köşenin çok üstünde — genlik yaklaşık 0.1, ve faz eksi 90 dereceye yaklaşır. Sistem yüksek frekansları zayıflatır ve geciktirir. Bu, alçak geçiren filtrenin imzasıdır.

7. 7. Genliği desibele çevir ve kesim anlamını sınırla

   

   Son bir parça — desibel.

   Frekans cevabı genlikleri çok geniş bir büyüklük aralığına yayılır.

   Aralığı sıkıştırmak ve çarpımları toplamlara dönüştürmek için logaritmik bir ölçek kullanırız.

   Genlik oranı için M_dB=20log₁₀|G(jω)|; güç oranı için 10log₁₀ kullanılır.

   Genliği bir olan, sıfır desibeldir.

   Genliği on olan, 20 desibeldir.

   Genliği 0.1 olan, eksi 20 desibeldir.

   |G|=1/√2 değeri −3,0103 dB'dir; bu örnekte DC'ye göre −3 dB noktası kesim frekansı ve tek-kutuplu alçak-geçiren bant genişliğidir.

   Bundan sonra genliği çizdiğimizde, log frekans ekseninde desibel olarak çizeceğiz.

   Bu, Bode diyagramı — birazdan.

   Sesli anlatım metni

   Son bir parça — desibel. Frekans cevabı genlikleri çok geniş bir büyüklük aralığına yayılır. Aralığı sıkıştırmak ve çarpımları toplamlara dönüştürmek için logaritmik bir ölçek kullanırız. Desibel cinsinden genlik eşittir 20 çarpı log on tabanında genlik. Genliği bir olan, sıfır desibeldir. Genliği on olan, 20 desibeldir. Genliği 0.1 olan, eksi 20 desibeldir. Genliği bir bölü kök iki olan, yaklaşık eksi 3 desibeldir — ve bu eksi 3 desibel sayısı o kadar ünlüdür ki kendi adı vardır, eksi 3 desibel kesim frekansı, bant genişliği. Bundan sonra genliği çizdiğimizde, log frekans ekseninde desibel olarak çizeceğiz. Bu, Bode diyagramı — birazdan.

8. 8. Frekans cevabı eğrilerini birlikte yorumla

   

   Tam resim.

   Frekans cevabı tek bir sayı değildir — omega'nın bir fonksiyonudur.

   Sıfırdan sonsuza her omega için bir genlik ve bir faz alırız.

   İkisini de çiz, sistemin tam parmak izine sahipsin.

   Örneğimiz G eşittir bir bölü s artı bir için — genlik Di Si'de birde başlar, köşede 0.707'ye düşer, yüksek frekanslar için bir bölü omega olarak söner.

   Faz sıfırda başlar, köşede eksi 45 dereceden geçer, omega sonsuza giderken eksi 90 dereceye yaklaşır.

   Bu iki eğri, belirtilen varsayımlar altında sistemin sinüsoidal kalıcı-durum davranışını tanımlar.

   Sinüsoidal cevabı doğrudan verir; uygun Fourier bileşenleri için cevaplar süperpozisyonla birleştirilebilir.

   Sesli anlatım metni

   Tam resim. Frekans cevabı tek bir sayı değildir — omega'nın bir fonksiyonudur. Sıfırdan sonsuza her omega için bir genlik ve bir faz alırız. İkisini de çiz, sistemin tam parmak izine sahipsin. Örneğimiz G eşittir bir bölü s artı bir için — genlik Di Si'de birde başlar, köşede 0.707'ye düşer, yüksek frekanslar için bir bölü omega olarak söner. Faz sıfırda başlar, köşede eksi 45 dereceden geçer, omega sonsuza giderken eksi 90 dereceye yaklaşır. Bu iki eğri, sistemin kendisidir. Sinüsoidal bir girişe nasıl tepki vereceğini tahmin etmek için ihtiyacın olan her şeyi içerirler — ve Fourier sayesinde, herhangi bir girişe.

9. 9. Frekans cevabı sonuçlarını toparla

   

   Özet.

   Kararlı bir doğrusal zamanla değişmeyen sisteme bir sinüsoit gönder, geçicilerin sönmesini bekle, çıkış aynı frekansta bir sinüsoittir, genliği G ce omega'nın genliği çarpı ve fazı G ce omega'nın açısı kadar kayar.

   Hesaplamak için G(s)'te s=jω koy.

   Genlik ve faz, çıkan karmaşık sayıdan düşer.

   Genlikler genelde desibel cinsinden çizilir.

   Genlik oranı için dB=20log₁₀|G(jω)|.

   Frekansa karşı genlik ve faz, kararlı LTI sistemin sinüsoidal kalıcı-durum davranışını uygun düzenlilik koşullarında tanımlar.

   Buradan sonraki her klasik tasarım aracı bu uzayda yaşar.

   Sıradaki — onu verimli çizmeyi öğreneceğiz, Bode diyagramı.

   Sesli anlatım metni

   Özet. Kararlı bir doğrusal zamanla değişmeyen sisteme bir sinüsoit gönder, geçicilerin sönmesini bekle, çıkış aynı frekansta bir sinüsoittir, genliği G ce omega'nın genliği çarpı ve fazı G ce omega'nın açısı kadar kayar. Hesaplamak için, G ès'e s eşittir ce omega koy. Genlik ve faz, çıkan karmaşık sayıdan düşer. Genlikler genelde desibel cinsinden çizilir. Desibel eşittir 20 log genlik. Frekans cevabı — frekansa karşı genlik ve faz — bir doğrusal zamanla değişmeyen sistemin tam tanımıdır. Buradan sonraki her klasik tasarım aracı bu uzayda yaşar. Sıradaki — onu verimli çizmeyi öğreneceğiz, Bode diyagramı.

Kaynak video: Kontrol Teorisi #44 — Sinüsoidal Kalıcı Durum ve Frekans Cevabı (Ders 5 · Bölüm 1) (7:48)