#14 Kaydır ve topla; çevir ve kaydır

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Ayrık konvolüsyonu tanımla

   

   Ayrık zamanlı konvolüsyon, doğrusal zamanla değişmeyen sistemin sıfır durum yanıtını verir.

   Doğrusal konvolüsyon:

   $\displaystyle y\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{\infty } x\left[k\right] h\left[n-k\right]$

   Tam çıkış dizisinin uzunluğu:

   $\displaystyle L=M+N-1$

   Her iki giriş dizisinin sıfırdan başladığı sonlu örneği hesapla.

   Sesli anlatım metni

   Bugün ayrık zamanlı konvolüsyonu öğreneceğiz — doğrusal zamanla değişmeyen sistemlerin sinyalleri nasıl işlediğini tanımlayan temel işlem. x n ve h n olmak üzere iki ayrık zamanlı sinyal verildiğinde, konvolüsyonları y n, k eşittir eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar x k çarpı h n eksi k'nın toplamı olarak tanımlanır. Sonlu uzunluklu sinyaller için x'in M ve h'nin N örneği varsa, çıkış y'nin M artı N eksi bir örneği olur. Somut bir örnekle nasıl hesaplandığını görelim.

2. 2. Kaydır ve topla yöntemini kur

   

   Birinci yöntem: kaydır ve topla.

   Bu sonlu giriş için:

   $\displaystyle y\left[n\right]=x\left[0\right]h\left[n\right]+x\left[1\right]h\left[n-1\right]+x\left[2\right]h\left[n-2\right]+x\left[3\right]h\left[n-3\right]$

   Her terim impuls yanıtının ölçeklenmiş ve kaydırılmış kopyasıdır.

   Her giriş örneğiyle ölçekle, indeksi kadar kaydır ve kopyaları topla.

   Bu yapı doğrudan konvolüsyon toplamından gelir.

   Sesli anlatım metni

   Birinci yöntem kaydır ve topla olarak adlandırılır. Burada y n'yi, x sıfır çarpı h n, artı x bir çarpı h n eksi bir, artı x iki çarpı h n eksi iki şeklinde yazarız. Her terim h'nin ölçeklenmiş, kaydırılmış bir kopyasıdır. h'yi her giriş örneği x k ile ölçekler, k konumuna kaydırır ve tüm kopyaları toplarız. Bu yöntem doğrudan konvolüsyon formülünden gelir.

3. 3. Kaydır ve topla örneğini hesapla

   

   Çıkışı bileşen bileşen oluştur.

   Sıfırdan üçe indekslenen diziler:

   $\displaystyle x=\left[-1,0,1,2\right], h=\left[1,1,-1,1\right]$

   İlk giriş örneği:

   $\displaystyle x\left[0\right]=-1$

   İlk bileşen:

   $\displaystyle c_{0}\left[n\right]=-h\left[n\right]$

   İlk bileşenin sıfırdan üçe değerleri:

   $\displaystyle c_{0}=\left[-1,-1,1,-1\right]$

   İlk bileşen kaynak grafikte kırmızıdır.

   İkinci giriş örneği:

   $\displaystyle x\left[1\right]=0$

   Sıfır giriş örneği çıkışa sıfır dizisi katkısı verir.

   Sıfır katkıyı atla.

   Üçüncü giriş örneği:

   $\displaystyle x\left[2\right]=1$

   İki sağa kaydırılmış bileşen:

   $\displaystyle c_{2}\left[n\right]=h\left[n-2\right]$

   İkiden beşe indekslerde değerler sırasıyla bir, bir, eksi bir, birdir.

   Bu bileşen kaynak grafikte yeşildir.

   Son giriş örneği:

   $\displaystyle x\left[3\right]=2$

   Üç sağa kaydır ve ikiyle ölçekle:

   $\displaystyle c_{3}\left[n\right]=2h\left[n-3\right]$

   Üçten altıya indekslerde değerler sırasıyla iki, iki, eksi iki, ikidir.

   Bu bileşen kaynak grafikte mordur.

   Her çıkış indeksinde üç sıfırdan farklı bileşeni topla.

   İlk çıkış örneği:

   $\displaystyle y\left[0\right]=-1$

   İkinci çıkış örneği:

   $\displaystyle y\left[1\right]=-1$

   Üçüncü çıkış örneği:

   $\displaystyle y\left[2\right]=2$

   Sıfırdan altıya tam çıkış dizisi:

   $\displaystyle y=\left[-1,-1,2,2,1,-1,2\right]$

   Sesli anlatım metni

   Kaydır ve topla yöntemini adım adım uygulayalım. Sinyallerimiz x n eşittir eksi bir, sıfır, bir, iki ve h n eşittir bir, bir, eksi bir, bir. x sıfır eşittir eksi bir ile başlıyoruz. h'yi eksi bir ile ölçekliyoruz: eksi h n elde ederiz. Değerler eksi bir, eksi bir, bir, eksi bir, sıfırdan üçe kadar konumlarda. Bu ilk bileşen kırmızı renkte gösteriliyor. Sonra x bir eşittir sıfır. Sıfır çarpı herhangi bir şey sıfırdır, bu yüzden bu örnek çıkışa hiçbir katkı sağlamaz. Atlıyoruz. Şimdi x iki eşittir bir. h'yi iki pozisyon sağa kaydırıyoruz: h n eksi iki elde ederiz. Değerler bir, bir, eksi bir, bir, ikiden beşe kadar konumlarda. Bu bileşen yeşil renkte gösteriliyor. Son olarak x üç eşittir iki. h'yi üç sağa kaydırıp iki ile ölçekliyoruz: iki h n eksi üç. Değerler iki, iki, eksi iki, iki, üçten altıya kadar konumlarda. Bu bileşen mor renkte gösteriliyor. Şimdi her çıkış indeksinde tüm bileşenleri topluyoruz. n sıfırda sadece kırmızı katkı sağlar: eksi bir. n birde eksi bir. n ikide iki. n altıya kadar devam ederek tam çıkış y n eşittir eksi bir, eksi bir, iki, iki, bir, eksi bir, iki — yedi değer, tam olarak M artı N eksi bir.

4. 4. Çevir ve kaydır yöntemini kur

   

   İkinci yöntem: çevir, kaydır ve hizalanmış çarpımları topla.

   Genlikleri eksiyle çarpmadan zaman indeksini çevir: h[−k]

   Sabit çıkış indeksi için çevrilmiş diziyi kaydır: h[n−k]

   Örtüşen örnekleri çarp ve topla:

   $\displaystyle y\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{\infty } x\left[k\right] h\left[n-k\right]$

   Gerçek diziler için bu toplam, hizalanmış vektörlerin nokta çarpımıdır.

   Bir çıkış konumu ilerle ve çarpımların toplamını yeniden hesapla.

   Sesli anlatım metni

   İkinci yöntem çevir ve kaydır olarak adlandırılır, nokta çarpım yöntemi olarak da bilinir. Önce h k'yı çevirerek h eksi k elde ederiz — bu sinyali başlangıç noktasında tersine çevirir. Sonra her çıkış indeksi n için çevrilmiş sinyali kaydırarak h n eksi k elde ederiz. x k ve h n eksi k'yı örtüştükleri yerde eleman eleman çarpar ve çarpımları toplarız. Bu toplam x ile kaydırılmış, çevrilmiş h arasındaki nokta çarpımdır. h'yi x üzerinde birer birer kaydırarak her adımda nokta çarpımı hesaplarız.

5. 5. Çevir ve kaydır örneğini hesapla

   

   Her çıkış örneğini örtüşen çarpımlarla doğrula.

   Sabit girişin sıfırdan üçe değerleri:

   $\displaystyle x=\left[-1,0,1,2\right]$

   Sıfırıncı çıkış için çevrilmiş impuls yanıtı eksi üçten sıfıra indekslerdedir.

   Girişle yalnız sıfırıncı indeks örtüşür.

   Tek çarpım:

   $\displaystyle \left(-1\right)\left(1\right)=-1$

   İlk çıkış:

   $\displaystyle y\left[0\right]=-1$

   Çevrilmiş impuls yanıtını bir sağa kaydır.

   Birinci çıkış indeksinde sıfır ve bir giriş indeksleri örtüşür.

   İki çarpım:

   $\displaystyle \left(-1\right)\left(1\right)+\left(0\right)\left(1\right)=-1$

   İkinci çıkış:

   $\displaystyle y\left[1\right]=-1$

   İkinci çıkış indeksinde üç konum örtüşür.

   Üç çarpımın toplamı:

   $\displaystyle \left(-1\right)\left(-1\right)+\left(0\right)\left(1\right)+\left(1\right)\left(1\right)=2$

   Üçüncü çıkış:

   $\displaystyle y\left[2\right]=2$

   Üçüncü çıkış indeksinde dört konumun hepsi örtüşür.

   Dört çarpım:

   $\displaystyle \left(-1\right)\left(1\right)+\left(0\right)\left(-1\right)+\left(1\right)\left(1\right)+\left(2\right)\left(1\right)=2$

   Çarpımların toplamı:

   $\displaystyle -1+0+1+2=2$

   Dördüncü çıkış:

   $\displaystyle y\left[3\right]=2$

   Dördüncü çıkış indeksinde ilk giriş örneği örtüşmeden çıkar.

   Kalan çarpımlar:

   $\displaystyle \left(0\right)\left(1\right)+\left(1\right)\left(-1\right)+\left(2\right)\left(1\right)=1$

   Çarpımların toplamı:

   $\displaystyle 0-1+2=1$

   Beşinci çıkış:

   $\displaystyle y\left[4\right]=1$

   Beşinci çıkış indeksinde:

   $\displaystyle \left(1\right)\left(1\right)+\left(2\right)\left(-1\right)=-1$

   Çarpımların toplamı:

   $\displaystyle 1-2=-1$

   Altıncı çıkış:

   $\displaystyle y\left[5\right]=-1$

   Altıncı çıkış indeksinde yalnız üçüncü giriş örneği örtüşür:

   $\displaystyle \left(2\right)\left(1\right)=2$

   Son çıkış:

   $\displaystyle y\left[6\right]=2$

   İki yöntemin ortak sonucu:

   $\displaystyle y=\left[-1,-1,2,2,1,-1,2\right]$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi çevir ve kaydır yöntemiyle doğrulayalım. x k üst satırda sabit: k sıfırda eksi bir, birde sıfır, ikide bir, üçte iki. n sıfır için h eksi k, k sıfır, eksi bir, eksi iki, eksi üçte bulunur. Sadece k sıfır çakışır. Eksi bir çarpı bir eşittir eksi bir. y sıfır eşittir eksi bir. n bir için h bir sağa kayar. k sıfır ve bir çakışır. Eksi bir çarpı bir artı sıfır çarpı bir. y bir eşittir eksi bir. n iki için üç konum çakışır. Eksi bir çarpı eksi bir artı bir, sıfır çarpı bir sıfır, bir çarpı bir eşittir bir. Toplam: y iki eşittir iki. n üç için dört konum çakışır. Çarpımlar eksi bir çarpı bir, sıfır çarpı eksi bir, bir çarpı bir ve iki çarpı bir. Toplam eksi bir artı sıfır artı bir artı iki. y üç eşittir iki. n dört için x sıfır pencereden çıkar. Kalan çarpımlar sıfır çarpı bir, bir çarpı eksi bir ve iki çarpı bir. Sıfır eksi bir artı iki. y dört eşittir bir. n beş için sadece iki konum çakışır: bir çarpı bir ve iki çarpı eksi bir. Bir eksi iki. y beş eşittir eksi bir. n altı için sadece k üç çakışır: iki çarpı bir. y altı eşittir iki. Birinci yöntemle aynı sonuç: y n eşittir eksi bir, eksi bir, iki, iki, bir, eksi bir, iki.

6. 6. İki yöntemi karşılaştır

   

   Aynı konvolüsyonu oluşturan iki yöntemi karşılaştır.

   Kaydır ve topla her giriş örneği için ölçeklenmiş kaydırılmış bir yanıt oluşturur.

   Her giriş örneğinin bütün çıkışa katkısını gösterir.

   Çevir ve kaydır her defasında bir çıkış değerini hesaplar.

   Örtüşen çarpımlar elle sistematik hesaplama sağlar.

   Tam dizi uzunluğu ve başlangıç indeksi:

   $\displaystyle L=M+N-1, n_{y}=n_{x}+n_{h}$

   Sesli anlatım metni

   İki yöntemi karşılaştıralım. Kaydır ve topla sinyal sinyal çalışır: x'in her örneği için h'nin ölçeklenmiş kaydırılmış bir kopyasını oluşturur ve hepsini toplar. Konvolüsyonun ne anlama geldiğini anlamak için sezgiseldir. Çevir ve kaydır örnek örnek çalışır: her çıkış konumu n için tek bir nokta çarpım hesaplar. Daha sistematiktir ve elle hesaplama için genellikle tercih edilir. Hatırlanması gereken özellikler: çıkış uzunluğu her zaman M artı N eksi birdir ve y'nin başlangıç indeksi x ve h'nin başlangıç indekslerinin toplamına eşittir.

7. 7. Konvolüsyon yöntemlerini özetle

   

   Konvolüsyon toplamı:

   $\displaystyle y\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{\infty } x\left[k\right] h\left[n-k\right]$

   Aynı sonlu örneği iki yöntemle hesapladık.

   Kaydır ve topla her giriş örneği için yanıtı ölçekler ve kaydırır.

   Çevir ve kaydır ters çevrilmiş yanıt ilerlerken çarpımları toplar.

   Her iki yöntem aynı çıkışı verir.

   Bu tam doğrusal konvolüsyonda:

   $\displaystyle L=4+4-1=7$

   Sonraki konu konvolüsyon özellikleri ve sürekli zaman konvolüsyonudur.

   Sesli anlatım metni

   Bugün ayrık zamanlı konvolüsyonu tanımladık: y n eşittir x k çarpı h n eksi k toplamı. Aynı örneği iki yöntemle hesapladık. Kaydır ve topla her giriş örneği için h'yi ölçekler ve kaydırır. Çevir ve kaydır h'yi çevirir ve x üzerinde kaydırarak nokta çarpımlar hesaplar. Her iki yöntem de aynı sonucu verir. Çıkışın M artı N eksi bir örneği vardır. Bir sonraki derste konvolüsyonun değişme ve dağılma özelliklerini keşfedecek ve sürekli zamanlı konvolüsyona giriş yapacağız.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #14 | AZ Konvolüsyon: Tanım ve Hesaplama Yöntemleri (6:20)