#02 İki eşdeğer zaman dönüşümü yöntemi ve yamuk, rampa, üçgen örnekleri

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Birleşik dönüşümü tanı

   

   Kaydırma, ölçekleme ve tersine çevirmeyi birleştir.

   İşaret hatalarını önlemek için ara sinyali yaz.

   İlk hedef:

   $\displaystyle y\left(t\right)=x\left(2t+3\right)$

   İki işlem de yatay zaman koordinatını etkiler.

   Sıfırdan farklı a için eski u noktasının yeni zamanı:

   $\displaystyle t=\frac{u-b}{a}$

   Sesli anlatım metni

   Bir önceki derste üç temel sinyal işlemini öğrendik: kaydırma, ölçekleme ve tersine çevirme. Peki aynı anda birden fazla işlem uygulamamız gerektiğinde ne olur? Örneğin, x iki t artı üç'ün grafiğini nasıl çizeriz? Bu hem zaman kaydırma hem de zaman ölçekleme gerektirir. Bu birleşik dönüşümleri doğru bir şekilde ele almak için sistematik bir yönteme ihtiyacımız var.

2. 2. Önce kaydır, sonra ölçekle

   

   Birinci yöntem, sıfırdan farklı zaman ölçeği için:

   $\displaystyle y\left(t\right)=x\left(a\cdot t+b\right)$

   Önce kaydırılmış ara sinyali kur:

   $\displaystyle y_{1}\left(t\right)=x\left(t+b\right)$

   Argümandaki b, fiziksel işaretli yer değiştirme olan eksi b ile karıştırılmaz.

   Sonra ara sinyalin zamanını ölçekle:

   $\displaystyle y\left(t\right)=y_{1}\left(a\cdot t\right)$

   Nokta zamanlarını a ile böl; negatif a sıralamayı da tersine çevirir.

   Her zaman sözü bu birinci yöntemin iç sırasıdır; alternatif yöntem de geçerlidir.

   Her adımda elde edilen fonksiyonu açıkça yaz.

   Sesli anlatım metni

   İşte x a t artı b'yi çizmek için iki adımlı yöntem. Birinci adım, kaydırma: y bir t eşittir x t artı b çizin. Bu orijinal sinyali b birim kaydırır. İkinci adım, ölçekleme: t yerine a t koyarak y t eşittir y bir a t elde edin. Bu, kaydırılmış sinyalin zaman eksenini a'ya böler. Temel kural şudur: her zaman önce kaydır, sonra ölçekle. İkisini aynı anda yapmaya çalışırsanız hata yapma olasılığınız yüksektir.

3. 3. Yamuğu dönüştür

   

   İlk örnekte birim yükseklikte bir yamuk kullan.

   Araları doğrusal, dışında sıfır olan yamuk:

   $\displaystyle x\left(0\right)=0, x\left(1\right)=1, x\left(2\right)=1, x\left(3\right)=0$

   Yamuğu dönüştür:

   $\displaystyle y\left(t\right)=x\left(2t+3\right)$

   Önce üç birim sola kaydır:

   $\displaystyle y_{1}\left(t\right)=x\left(t+3\right)$

   Ara destek eksi üçten sıfıra uzanır.

   Ara sinyalin nokta zamanlarını ikiye böl:

   $\displaystyle y\left(t\right)=y_{1}\left(2t\right)$

   Nihai köşeler:

   $\displaystyle y\left(-\frac{3}{2}\right)=0, y\left(-1\right)=1, y\left(-\frac{1}{2}\right)=1, y\left(0\right)=0$

   Sesli anlatım metni

   Yöntemi ilk örneğimize uygulayalım. x t olarak verilen yamuk sinyal, t eşittir sıfır ile bir arasında sıfırdan bire yükselir, t eşittir iki'ye kadar birde düz kalır, sonra t eşittir üç'te sıfıra düşer. y t eşittir x iki t artı üç'ü çizmek istiyoruz. Birinci adım, kaydırma: x t artı üç'ü çiziyoruz, bu tüm sinyali üç birim sola kaydırır. Yamuk artık eksi üçten sıfıra uzanır. İkinci adım, ölçekleme: t yerine iki t koyuyoruz, zaman eksenini ikiye bölüyoruz. Sinyal sıkışır, artık eksi bir buçuktan sıfıra uzanır.

4. 4. Dikdörtgen ve rampayı dönüştür

   

   İkinci örnekte sıçrama, düz bölüm ve azalan rampa vardır.

   Kaynak eksi birden bire birde düz, ardından ikide sıfıra iner; dışında sıfırdır.

   Hedef:

   $\displaystyle y\left(t\right)=x\left(3t-2\right)$

   Önce iki birim sağa kaydır:

   $\displaystyle y_{1}\left(t\right)=x\left(t-2\right)$

   Ara kırılma zamanları bir, üç ve dörttür.

   Ara sinyalin zamanlarını üçe böl:

   $\displaystyle y\left(t\right)=y_{1}\left(3t\right)$

   Nihai kırılma zamanları:

   $\displaystyle t_{1}=\frac{1}{3}, t_{2}=1, t_{3}=\frac{4}{3}$

   Sesli anlatım metni

   Farklı bir sinyal şekliyle başka bir örnek. x t olarak verilen dikdörtgen darbeli rampa sinyali: t eksi birden bire kadar birde düz, sonra t eşittir iki'de sıfıra doğrusal olarak azalır. x üç t eksi iki'yi çizmek istiyoruz. Birinci adım: x t eksi iki çizin, sinyali iki birim sağa kaydırır. Anahtar noktalar bir, üç ve dörde taşınır. İkinci adım: t yerine üç t koyun, zaman eksenini üçe bölün. Anahtar noktalar üçte bir, bir ve üçte dört olur.

5. 5. Önce ölçekleme yöntemini uygula

   

   İkinci yöntemde işlem sırasıyla birlikte kaydırma parametresi de değişir.

   Sıfırdan farklı a ile argümanı çarpanlarına ayır:

   $\displaystyle a\cdot t+b=a\cdot \left(t+\frac{b}{a}\right)$

   Önce kaynak sinyali zaman bakımından ölçekle:

   $\displaystyle w\left(t\right)=x\left(a\cdot t\right)$

   Sonra işaretli yer değiştirme olarak eksi b/a kadar taşı.

   Buradaki artı b/a argüman parametresidir:

   $\displaystyle y\left(t\right)=w\left(t+\frac{b}{a}\right)$

   Her iki yöntem aynı nokta kuralını verir:

   $\displaystyle t=\frac{u-b}{a}$

   İki yöntem de kendi kaydırma miktarıyla geçerlidir.

   Sesli anlatım metni

   Alternatif bir yaklaşım da vardır. x a t artı b'yi x a çarpı t artı b bölü a olarak yeniden yazabiliriz. Bu çarpanlarına ayrılmış formda: önce x t'nin zaman eksenini bir bölü a ile çarparak ölçekleme yapın. Sonra sonucu eksi b bölü a kadar kaydırın. Bu şu anlama gelir: önce ölçekle, sonra b bölü a kadar kaydır. Her iki yöntem de aynı sonucu üretir. Problem için hangisi daha doğal geliyorsa onu seçin.

6. 6. Genliği ayrıca ölçekle

   

   Genlik çarpanı dikey koordinatı etkiler.

   Bu bölümde a genlik,b zaman ölçeğidir:

   $\displaystyle y\left(t\right)=a\cdot x\left(b\cdot t+c\right)$

   Önce işaretli eksi c kadar kaydır:

   $\displaystyle z\left(t\right)=x\left(t+c\right)$

   Sıfırdan farklı b ile zamanı ölçekle:

   $\displaystyle v\left(t\right)=z\left(b\cdot t\right)$

   Her genliği a ile çarp:

   $\displaystyle y\left(t\right)=a\cdot v\left(t\right)$

   Negatif genlik çarpanı dikey yansıma yapar; zamanı tersine çevirmekten ayrıdır.

   Sonraki üçgen, bu üç işlemi ayrı ayrı gösterir.

   Sesli anlatım metni

   Peki genliği de ölçeklememiz gerekirse? a çarpı x b t artı c gibi bir dönüşüm için üç adım izleriz. Birinci, kaydırma: x t artı c çizin. İkinci, zamanı ölçekle: zaman eksenini b'ye bölerek x b t artı c çizin. Üçüncü, genliği ölçekle: tüm sonucu a ile çarpın. Eğer a negatifse, sinyal aynı zamanda dikey olarak ters döner. Bunu somut bir örnekle görelim.

7. 7. Asimetrik üçgenin noktalarını bul

   

   Araları doğrusal, dışında sıfır olan asimetrik üçgen:

   $\displaystyle x\left(-1\right)=0, x\left(0\right)=1, x\left(2\right)=0$

   Hedef:

   $\displaystyle y\left(t\right)=-2x\left(2t+2\right)$

   İlk adımda iki birim sola kaydır:

   $\displaystyle z\left(t\right)=x\left(t+2\right)$

   Kaydırılmış köşeler:

   $\displaystyle z\left(-3\right)=0, z\left(-2\right)=1, z\left(0\right)=0$

   İkinci adımda zamanı ikiye sıkıştır:

   $\displaystyle v\left(t\right)=z\left(2t\right)$

   Eksi üç yarım, eksi üç bölü ikidir:

   $\displaystyle v\left(-\frac{3}{2}\right)=0, v\left(-1\right)=1, v\left(0\right)=0$

   Üçüncü adımda genliği eksi ikiyle çarp:

   $\displaystyle y\left(t\right)=-2v\left(t\right)$

   Nihai köşeler:

   $\displaystyle y\left(-\frac{3}{2}\right)=0, y\left(-1\right)=-2, y\left(0\right)=0$

   Sesli anlatım metni

   x t'yi düşünün, köşeleri eksi bir sıfır, sıfır bir ve iki sıfır olan asimetrik bir üçgen sinyal. Eksi iki çarpı x iki t artı iki'yi çizmek istiyoruz. Birinci adım: iki birim sola kaydır. x t artı iki elde ederiz, köşeleri eksi üç sıfır, eksi iki bir ve sıfır sıfır olur. İkinci adım: ikiye sıkıştır. x iki t artı iki elde ederiz, köşeleri eksi üç yarım sıfır, eksi bir bir ve sıfır sıfır olur. Üçüncü adım: eksi iki ile çarp. Üçgen ters döner ve yüksekliği iki katına çıkar, köşeleri eksi üç yarım sıfır, eksi bir eksi iki ve sıfır sıfır olur.

8. 8. İki yöntemi karşılaştır

   

   Birleşik işlemden sonra nokta koordinatlarını kontrol et.

   Birinci yöntem: işaretli eksi b kadar kaydır, sonra zamanları a ile böl.

   İkinci yöntem: zamanları a ile böl, sonra işaretli eksi b/a kadar kaydır.

   Genlik çarpanını sıfırdan farklı zaman ölçeğinden ayrı tut:

   $\displaystyle y\left(t\right)=a\cdot x\left(b\cdot t+c\right)$

   Sonraki derste temel dalga biçimlerinin kaydırılmış kopyalarından periyodik sinyal oluştur.

   Sesli anlatım metni

   Birleşik dönüşüm kurallarını özetleyelim. x a t artı b için: önce b kadar kaydır, sonra a ile ölçekle. Alternatif olarak, x a çarpı t artı b bölü a olarak çarpanlarına ayırıp önce ölçekle, sonra kaydır. Genlik ölçekleme için a çarpı x b t artı c: kaydır, zamanı ölçekle, sonra genliği ölçekle. Bir sonraki derste, temel yapı taşlarından periyodik sinyallerin nasıl oluşturulacağını keşfedeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #02 | Sinyallerde Kaydırma: x(at+b) Formundaki Sinyalleri Kaydırma Yöntemi (4:32)