#19 Homojen, partiküler ve özyinelemeli çözümler

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Diferansiyel denklemi kur

   

   Sabit katsayılı diferansiyel ve fark denklemleriyle sistem yanıtını hesapla.

   Sonlu mertebeli sürekli zaman modeli:

   $\displaystyle \sum _{k=0}^{N} a_{k} y^{(k)}\left(t\right)=\sum _{k=0}^{M} b_{k} x^{(k)}\left(t\right)$

   Sol tarafta çıkış ve türevleri, sağ tarafta giriş ve türevleri vardır.

   Verilen giriş ve başlangıç koşullarıyla tam çıkışı belirle.

   Sesli anlatım metni

   Bu derste LTI sistemlerin diferansiyel ve fark denklemleriyle nasıl tanımlandığını inceliyoruz. Sürekli zamanlı bir LTI sistem için giriş çıkış ilişkisi genel olarak şu biçimi alır: a k katsayıları ile y'nin k'ıncı türevinin toplamı, b k katsayıları ile x'in k'ıncı türevinin toplamına eşittir. Sol taraf çıkış y t'yi ve türevlerini, sağ taraf giriş x t'yi ve türevlerini içerir. Amacımız, x verildiğinde başlangıç koşullarından yararlanarak y'yi bulmaktır.

2. 2. Homojen çözümü bul

   

   Tam çözümü iki parçaya ayır:

   $\displaystyle y\left(t\right)=y_{h}\left(t\right)+y_{p}\left(t\right)$

   Homojen çözüm sıfır girişli denklemi sağlar:

   $\displaystyle \sum _{k=0}^{N} a_{k} y_{h}^{(k)}\left(t\right)=0$

   Üstel denemeden karakteristik denklem:

   $\displaystyle a_{N} r^{N}+⋯+a_{1} r+a_{0}=0$

   Farklı kökler için homojen çözüm:

   $\displaystyle y_{h}\left(t\right)=\sum _{k=1}^{N} C_{k} \cdot e^{r_k \cdot t}$

   İki farklı kökte sabitleri tam çözümün başlangıç koşullarından belirle:

   $\displaystyle y_{h}\left(t\right)=C_{1} \cdot e^{r_1 \cdot t}+C_{2} \cdot e^{r_2 \cdot t}$

   Sesli anlatım metni

   Diferansiyel denklemi çözmek için çözümü iki parçaya ayırıyoruz: y eşittir y h artı y p. Homojen çözüm y h, giriş sıfır kabul edildiğinde denklemi sağlar. y h'yı e üzeri r çarpı t olarak deneyip, sol tarafla yerine koyduğumuzda karakteristik denklem elde edilir: a N çarpı r üzeri N, artı nokta nokta nokta, artı a bir çarpı r, artı a sıfır, sıfıra eşit. Her r k kökü, C k çarpı e üzeri r k çarpı t terimini verir. İkinci mertebede iki farklı kök r bir ve r iki varsa, homojen çözüm C bir çarpı e üzeri r bir t, artı C iki çarpı e üzeri r iki t biçimindedir; sabitler başlangıç koşullarıyla belirlenir.

3. 3. Partiküler çözümü seç

   

   Partiküler denemeyi girişin biçimine göre seç.

   Rezonans olmayan sabit giriş için:

   $\displaystyle x\left(t\right)=K, y_{p}\left(t\right)=C$

   Rezonans olmayan doğrusal giriş için:

   $\displaystyle y_{p}\left(t\right)=c_{1} \cdot t+c_{2}$

   Eksi a karakteristik kök değilse:

   $\displaystyle y_{p}\left(t\right)=C \cdot e^{-a \cdot t}$

   Artı ve eksi j omega kök değilse sinüzoidal deneme:

   $\displaystyle y_{p}\left(t\right)=c_{1} \cos \left(\omega \cdot t\right)+c_{2} \sin \left(\omega \cdot t\right)$

   Denemeyi tam denkleme yerleştir ve katsayıları eşitle.

   Sesli anlatım metni

   Partiküler çözüm y p, giriş fonksiyonunun biçimini hesaba katar. Bu tablodan eşleşen bir deneme fonksiyonu kullanırız: x sabit K ise, y p eşittir C. x lineer ise, c bir çarpı t artı c iki'yi deneriz. x, e üzeri eksi a çarpı t üstel ise, eksi a zaten bir kök değilse, y p eşittir büyük C çarpı e üzeri eksi a çarpı t. x, kosinüs omega t sinüzoidal ise, c bir kosinüs omega t artı c iki sinüs omega t kombinasyonunu deneriz. y p'yi tam denkleme koyup terimleri toplayarak bilinmeyen sabitler bulunur.

4. 4. Sürekli zaman örneğini çöz

   

   İkinci mertebeden sürekli zaman örneğini çöz.

   Verilen denklem:

   $\displaystyle y''\left(t\right)+5y'\left(t\right)+6y\left(t\right)=2x\left(t\right)+x'\left(t\right)$

   Düzgün üstel giriş:

   $\displaystyle x\left(t\right)=e^{-t}$

   Karakteristik denklem:

   $\displaystyle r^{2}+5r+6=0$

   Çarpanlar ve kökler:

   $\displaystyle \left(r+2\right)\left(r+3\right)=0, r_{1}=-2, r_{2}=-3$

   Homojen çözüm:

   $\displaystyle y_{h}\left(t\right)=C_{1} \cdot e^{-2t}+C_{2} \cdot e^{-3t}$

   Eksi bir kök olmadığından deneme:

   $\displaystyle y_{p}\left(t\right)=C \cdot e^{-t}$

   Yerine koyma:

   $\displaystyle C-5C+6C=2-1, 2C=1, C=\frac{1}{2}$

   Tam çözüm:

   $\displaystyle y\left(t\right)=C_{1} \cdot e^{-2t}+C_{2} \cdot e^{-3t}+\left(\frac{1}{2}\right) \cdot e^{-t}$

   İki sabiti tam çözümün verilen başlangıç koşullarıyla belirle.

   Sesli anlatım metni

   Tam bir örnek üzerinden gidelim. Diferansiyel denklem: y'nin ikinci türevi artı 5 çarpı y'nin birinci türevi artı 6y, eşittir 2x artı x'in birinci türevi. Giriş, x t eşittir e üzeri eksi t. İlk olarak karakteristik denklem: r kare artı 5r artı 6, sıfıra eşit. r artı 2 çarpı r artı 3 olarak çarpanlarına ayrılır; kökler r bir eşittir eksi 2, ve r iki eşittir eksi 3. Homojen çözüm: C bir çarpı e üzeri eksi 2t, artı C iki çarpı e üzeri eksi 3t. Partiküler çözüm için, x eşittir e üzeri eksi t ve eksi 1 kök değil, dolayısıyla y p eşittir büyük C çarpı e üzeri eksi t'yi deneriz. Yerine koyunca C eksi 5C artı 6C eşittir 2 eksi 1, yani 2C eşittir 1, ve C eşittir yarım. Tam çözüm: y t eşittir C bir e üzeri eksi 2t, artı C iki e üzeri eksi 3t, artı yarım e üzeri eksi t. C bir ve C iki başlangıç koşullarından belirlenir.

5. 5. Fark denklemini kur

   

   Sonlu mertebeli ayrık zaman sistemini fark denklemiyle yaz.

   Genel denklem:

   $\displaystyle \sum _{k=0}^{N} a_{k} y\left[n-k\right]=\sum _{k=0}^{M} b_{k} x\left[n-k\right]$

   a0 sıfır olmayan katsayıyken:

   $\displaystyle y\left[n\right]=\sum _{k=0}^{M} \left(\frac{b_{k}}{a_{0}}\right) x\left[n-k\right]-\sum _{k=1}^{N} \left(\frac{a_{k}}{a_{0}}\right) y\left[n-k\right]$

   Giriş dizisi ve başlangıç çıkışları bilindiğinde örnekleri sırayla hesapla.

   Bu özyineleme dijital filtrelerin uygulanmasında kullanılır.

   Sesli anlatım metni

   Ayrık zamanlı LTI sistemler fark denklemleriyle tanımlanır. Genel biçim şudur: k sıfırdan N'e kadar, a k çarpı y n eksi k'nın toplamı, k sıfırdan M'ye kadar, b k çarpı x n eksi k'nın toplamına eşittir. a sıfır'a bölerek y n'yi yalnız bırakırsak özyinelemeli formül elde edilir: y n eşittir şimdiki ve geçmiş girişlerin ağırlıklı toplamı, eksi geçmiş çıkışların ağırlıklı toplamı. Bu formül, giriş dizisi ve başlangıç koşulları verildiğinde her yeni çıkış örneğini adım adım hesaplamamızı sağlar. Dijital filtreler tam olarak bu şekilde çalışır.

6. 6. Özyinelemeli hesabı yap

   

   Verilen ayrık denklem:

   $\displaystyle y\left[n\right]+\left(\frac{1}{4}\right)y\left[n-1\right]=x\left[n\right]+2x\left[n-2\right]$

   Giriş ve başlangıç:

   $\displaystyle x\left[n\right]=u\left[n\right], y\left[-1\right]=0$

   Özyinelemeli biçim:

   $\displaystyle y\left[n\right]=x\left[n\right]+2x\left[n-2\right]-\left(\frac{1}{4}\right)y\left[n-1\right]$

   Sıfırıncı indeks:

   $\displaystyle y\left[0\right]=x\left[0\right]+2x\left[-2\right]-\left(\frac{1}{4}\right)y\left[-1\right]$

   İlk sonuç:

   $\displaystyle y\left[0\right]=1+0-0=1$

   Birinci indeks:

   $\displaystyle y\left[1\right]=1+0-\left(\frac{1}{4}\right) \cdot 1=\frac{3}{4}$

   İkinci indeks:

   $\displaystyle y\left[2\right]=1+2 \cdot 1-\left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)$

   İkinci sonuç:

   $\displaystyle y\left[2\right]=3-\frac{3}{16}=\frac{45}{16}$

   Her yeni çıkışta şimdiki giriş, geçmiş girişler ve geçmiş çıkışlar kullanılır.

   Sesli anlatım metni

   Şu sistem için çıkışı hesaplayalım: y n artı dörtte bir çarpı y n eksi bir, eşittir x n artı 2 çarpı x n eksi iki. Giriş x n eşittir birim basamak u n, ve başlangıç koşulları sıfır. Yeniden düzenleyince: y n eşittir x n artı 2 çarpı x n eksi iki, eksi dörtte bir çarpı y n eksi bir. n sıfırda: y sıfır eşittir x sıfır artı 2 çarpı x eksi iki, eksi dörtte bir çarpı y eksi bir. Yani 1 artı 0 eksi 0, eşittir 1. n birde: y bir eşittir 1 artı 0 eksi dörtte bir çarpı 1, eşittir dörtte üç. n ikide: y iki eşittir 1 artı 2 çarpı 1, eksi dörtte bir çarpı dörtte üç. Yani 3 eksi on altıda üç, eşittir on altıda kırk beş. Her adımda şimdiki giriş, geçmiş girişler ve geçmiş çıkışlar kullanılır.

7. 7. Yöntemleri özetle

   

   Sürekli zamanda karakteristik köklerle homojen, girişe uygun denemeyle partiküler çözümü bul.

   Sabitleri başlangıç koşullarından belirleyerek tam çözümü yaz:

   $\displaystyle y\left(t\right)=y_{h}\left(t\right)+y_{p}\left(t\right)$

   Ayrık zamanda fark denklemini özyinelemeli hesapla.

   Her örnek şimdiki ve geçmiş girişlerle geçmiş çıkışlara bağlıdır.

   Denklem ve başlangıç koşulları birlikte sistemin yanıtını belirler.

   Sonraki konu impuls yanıtıyla basamak yanıtının ilişkisidir.

   Sesli anlatım metni

   Bugün sürekli zamanlı LTI sistemlerin diferansiyel denklemlerle modellendiğini ve iki aşamada çözüldüğünü gördük: karakteristik denklemden homojen çözüm, ve girişin biçimiyle eşleşen partiküler çözüm. Tam çözüm y eşittir y h artı y p; sabitler başlangıç koşullarıyla belirlenir. Ayrık zamanlı sistemlerde fark denklemleri özyinelemeli hesaplamaya yol açar. Her çıkış örneği geçmiş çıkışlara ve şimdiki ile geçmiş girişlere bağlıdır. Her iki yaklaşım aynı temel fikri yansıtır: denklemin yapısı, sistemin herhangi bir girişe nasıl yanıt verdiğini belirler. Bir sonraki derste impuls yanıtı ile basamak yanıtı arasındaki bağlantıyı ele alacağız.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #19 | DZD Diferansiyel ve Fark Denklemleri (6:06)