#29 Bir periyodun dönüşümünü örnekleme ve periyodik dağılımsal spektrum

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Seri ve dönüşüm bağlantısı

   

   İmpuls ve dikdörtgen darbenin dönüşüm çiftlerini hatırla.

   Seri katsayıları ile bir periyodun dönüşümünü bağla.

   Dönüşüm örneklerini kullanarak seri katsayılarını hesapla.

   İlişkiyi türet, dikdörtgen örneğini uygula, periyodik sinyali dönüştür ve çiftleri topla.

   Sesli anlatım metni

   Önceki videoda, ilk Fourier Dönüşümü çiftlerimizi hesapladık: impuls fonksiyonları, simetrik ve anti-simetrik impuls çiftleri, dikdörtgen darbe ve sink ilişkisi. Şimdi bir adım ileri giderek temel bir soruyu yanıtlayacağız: Fourier Serisi katsayıları ile Fourier Dönüşümü arasındaki bağlantı nedir? Bu ilişki güçlüdür çünkü Ef Di sonuçlarını kullanarak Ef Es katsayılarını hızlıca bulmamızı sağlar ve bunun tersi de geçerlidir. Anahtar formülü türetecek, periyodik dikdörtgen darbe örneğiyle uygulayacak, periyodik sinyallerin Fourier Dönüşümü'nü keşfedecek ve kapsamlı bir dönüşüm çiftleri tablosu oluşturacağız.

2. 2. Bir periyodun dönüşümünü örnekle

   

   Bir periyot dönüşümüyle seri katsayıları arasındaki bağlantıyı kur.

   Periyodik sinyalin integrallenebilir bir tam periyodunu varsay.

   Periyodikleştirmeyi p ile yaz:

   $\displaystyle p\left(t\right)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x\left(t-m\cdot T\right)$

   Özgün x, p sinyalinin bir tam periyodunu içerir.

   Yarı açık tam periyot kullan ve dışını sıfırla; uç değerler integrali değiştirmez.

   İntegrallenebilir periyot penceresinin dönüşümü:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$

   p sinyalinin Fourier serisi katsayılarını C[k] ile göster.

   Harmonik frekansta dönüşüm örneğini periyoda böl:

   $\displaystyle C\left[k\right]=\frac{X\left(k\omega _{0}\right)}{T}$

   Örnek aralığı temel açısal frekanstır:

   $\displaystyle \omega _{0}=\frac{2\pi }{T}$

   Sesli anlatım metni

   Fourier Serisi ile Fourier Dönüşümü arasındaki köprüyü kuralım. Periyodu büyük T olan periyodik bir x tilda t sinyalini düşünün. Bunu bir periyodun tekrarlanmasıyla oluşturabiliriz: x tilda t, m eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar x t eksi m T'nin toplamıdır. Burada x t, x tilda t'nin bir periyodudur. Sıfır küçük eşit t küçük eşit T aralığında x tilda t'ye eşit, diğer yerlerde sıfırdır. x t aperiyodiktir, dolayısıyla bir Fourier Dönüşümü'ne sahiptir: büyük X omega, x t çarpı e üzeri eksi j omega t'nin integraline eşittir. Diğer yandan x tilda t periyodiktir ve Fourier Serisi katsayıları X tilda k'ya sahiptir. Bunları bağlayan anahtar ilişki şudur: X tilda k, bir bölü T çarpı büyük X omega'ya eşittir, omega eşittir k omega sıfır'da değerlendirilmiş, burada omega sıfır eşittir iki pi bölü T. Başka bir deyişle, Fourier Serisi katsayıları, Fourier Dönüşümü'nün bir bölü T ile ölçeklenmiş örnekleridir ve temel frekansın tam katlarında alınır.

3. 3. Dört periyotlu dikdörtgen örneği

   

   Bir periyot örnekleme ilişkisini uygula.

   Dikdörtgen darbe treninin periyodu:

   $\displaystyle T=4$

   Merkezdeki birim darbe eksi birden artı bire uzanır.

   Eksi ikiden ikiye merkezli tam periyodu seç.

   Tek darbenin sıfıra sürekli uzatılan dönüşümü:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\frac{2\sin \left(\omega \right)}{\omega }$

   Harmoniklerde örnekle ve periyoda böl:

   $\displaystyle C\left[k\right]=\frac{X\left(k\omega _{0}\right)}{T}$

   Temel açısal frekans pi bölü ikidir; sıfır olmayan k için:

   $\displaystyle C\left[k\right]=\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{2\sin \left(\frac{k\pi }{2}\right)}{\frac{k\pi }{2}}\right)$

   Normalize sinc ifadesini sıfır olmayan k için aç; DC katsayısı bir bölü ikidir:

   $\displaystyle C\left[k\right]=\frac{\sin \left(\frac{k\pi }{2}\right)}{k\pi }$

   Örneklenen dönüşüm, doğrudan seri integraliyle aynı katsayıları verir.

   Sesli anlatım metni

   Bunu bir örnekle uygulayalım. Periyodu T eşittir dört olan, periyodik dikdörtgen darbe treni x tilda t'yi düşünün. Her periyodda genlik, t eşittir eksi birden t eşittir artı bire kadar birdir. Ef Es katsayılarını bulmak için önce bir periyodu belirliyoruz: x t, eksi birden artı bire kadar uzanan dikdörtgen bir darbedir. Önceki videodan Fourier Dönüşümü'nü zaten biliyoruz: büyük X omega, iki bölü omega çarpı sinüs omega'ya eşittir. Anahtar formülü uygulayarak: X tilda k, bir bölü T çarpı büyük X omega'ya eşittir, omega eşittir k omega sıfır'da. T eşittir dört ve omega sıfır eşittir iki pi bölü dört eşittir pi bölü iki ile: X tilda k, bir bölü dört çarpı iki sinüs k pi bölü iki, bölü k pi bölü iki'ye eşittir. Bu, bir bölü iki çarpı sink k bölü iki'ye sadeleşir. Dikkat edin: integrali doğrudan hesaplamak yerine, zaten hesapladığımız Ef Di'yi örnekleyerek Ef Es katsayılarını ne kadar verimli bulduğumuza bakın.

4. 4. Periyodik sinyalin dağılımsal dönüşümü

   

   Periyodik sinyalin dağılımsal Fourier dönüşümünü al.

   Fourier sentezinden başla:

   $\displaystyle p\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }C\left[k\right]e^{jk\omega _0t}$

   Her üsteli dönüştürerek elde et:

   $\displaystyle P\left(\omega \right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }2\pi C\left[k\right]\delta \left(\omega -k\omega _{0}\right)$

   İmpulslar harmoniklerde yer alır; karmaşık ağırlıkları iki pi çarpı C[k] olur.

   Pozitif temel frekanslı kosinüste:

   $\displaystyle C\left[1\right]=C\left[-1\right]=\frac{1}{2}$

   Kosinüsün dağılımsal dönüşümü:

   $\displaystyle P\left(\omega \right)=\pi \delta \left(\omega -\omega _{0}\right)+\pi \delta \left(\omega +\omega _{0}\right)$

   Artı ve eksi temel frekansta iki impuls bulunur.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ters yönü düşünelim: periyodik bir sinyalin Fourier Dönüşümü nedir? Periyodik bir x tilda t sinyali, Fourier Serisi olarak yazılabilir: x tilda t, k üzerinden X tilda k çarpı e üzeri j k omega sıfır t'nin toplamıdır. Her iki tarafın Fourier Dönüşümü'nü alarak ve e üzeri j omega sıfır t'nin Ef Di'sinin iki pi çarpı delta omega eksi omega sıfır olduğu gerçeğini kullanarak şunu elde ederiz: büyük X omega, k üzerinden iki pi çarpı X tilda k çarpı delta omega eksi k omega sıfır'ın toplamıdır. Bu güçlü bir sonuçtur: periyodik bir sinyalin Fourier Dönüşümü, frekans alanında bir impuls trenidir, temel frekansın katlarında konumlanır ve alanları iki pi çarpı Ef Es katsayılarına eşittir. Örneğin, kosinüs omega sıfır t için, Ef Es katsayıları k eşittir artı bir ve eksi birde bir bölü ikiye eşittir. Dolayısıyla: kosinüs omega sıfır t'nin Ef Di'si, pi çarpı delta omega eksi omega sıfır, artı pi çarpı delta omega artı omega sıfır'a eşittir. Frekans alanında, artı ve eksi omega sıfır'da bulunan iki impuls.

5. 5. Temel dönüşüm çiftleri

   

   Seri ve dönüşüm ilişkilerini bir araya getir.

   Bir periyot dönüşümünün örnekleri katsayıları verir:

   $\displaystyle C\left[k\right]=\frac{X\left(k\omega _{0}\right)}{T}$

   Harmoniklerde örnekle ve bir bölü periyot çarpanını koru.

   Periyodik dağılımın spektrumu:

   $\displaystyle P\left(\omega \right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }2\pi C\left[k\right]\delta \left(\omega -k\omega _{0}\right)$

   Bu, frekans alanında ağırlıklı impuls trenidir.

   Birim impulsun dönüşümü:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=1$

   A ağırlıklı kaydırılmış impuls için:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=A\cdot e^{-j\omega t_0}$

   Simetrik birim impuls çifti için:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=2\cos \left(\omega t_{0}\right)$

   T yarı genişlikli birim darbenin sıfıra sürekli uzatılan dönüşümü:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\frac{2\sin \left(\omega T\right)}{\omega }$

   Pozitif temel frekanslı kosinüs için:

   $\displaystyle P\left(\omega \right)=\pi \delta \left(\omega -\omega _{0}\right)+\pi \delta \left(\omega +\omega _{0}\right)$

   Bu çiftler sonraki sinyal ve sistem analizlerinde kullanılacak.

   Sesli anlatım metni

   Bu video ve tüm Ders On Bir serisinden öğrendiklerimizi özetleyelim. Ef Es ile Ef Di arasındaki anahtar ilişki: X tilda k, bir bölü T çarpı büyük X k omega sıfır'a eşittir. Ef Di'yi harmonik frekanslarda örneklemek, Ef Es katsayılarını verir. Ters yönde, periyodik bir sinyalin Ef Di'si: büyük X omega, iki pi X tilda k çarpı delta omega eksi k omega sıfır'ın toplamına eşittir. Frekans alanında bir impuls treni. Bu ders serisinde türettiğimiz temel Ef Di çiftleri şunlardır: delta t, bire dönüşür. Kaydırılmış impuls, A e üzeri eksi j omega t sıfır'a dönüşür. Simetrik impuls çifti, iki kosinüs omega t sıfır'a dönüşür. Dikdörtgen darbe, iki bölü omega çarpı sinüs omega T'ye dönüşür. Ve kosinüs omega sıfır t, pi çarpı delta omega eksi omega sıfır, artı pi çarpı delta omega artı omega sıfır'a dönüşür. Bu yapı taşları, sinyal işleme ve sistem analizinde ileride çalışacağımız her şeyin temelini oluşturur.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #29 | FS-FD İlişkisi ve Dönüşüm Çiftleri (5:41)