#24 Sinüs, kosinüs ve üç ortak periyotlu kosinüs için Euler yöntemi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Genel bakış

   

   Fourier sentezi, analiz denklemleri ve önceki özellikleri hatırla.

   Şimdi katsayıları örneklerle hesapla.

   Üç örnek sinyali incele.

   Gereksiz integrali önlemek için Euler özdeşliğini kullan.

   Karmaşık üstellere aç ve katsayıları doğrudan oku.

   Sesli anlatım metni

   Son üç derste Fourier serisini tanıttık, analiz denklemlerini türettik ve türev hilesi ile Gibbs olayı gibi önemli özellikleri inceledik. Şimdi pratiğe geçme zamanı. Bu derste üç örnek sinyal için Fourier serisi katsayılarını hesaplayacağız. İntegral formülünü doğrudan kullanmak yerine çok daha hızlı bir teknik kullanacağız: Euler özdeşliği. Sinüs ve kosinüsü karmaşık üstel fonksiyonlar cinsinden yazarak katsayıları doğrudan okuyabiliriz.

2. 2. Sinüsü Euler ile incele

   

   Sinüs örneğiyle başla.

   Pozitif periyot için verilen sinyal:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\sin \left(\left(\frac{2\pi }{T}\right)t\right)$

   Karmaşık Fourier katsayılarını bul.

   Bir tam periyot üzerindeki geçerli analiz integrali:

   $\displaystyle X\left[k\right]=\left(\frac{1}{T}\right)\int _{0}^{T} x\left(t\right)e^{-jk\omega _0t}\mathrm{d}t$

   Saf sinüzoidde Euler yöntemi daha kısadır.

   Farkın tamamını grupla:

   $\displaystyle \sin \left(\theta \right)=\left(\frac{1}{2j}\right)\left(e^{j\theta }-e^{-j\theta }\right)$

   Sesli anlatım metni

   Örnek 1 ile başlayalım. x t eşittir sinüs iki pi t bölü T verilmiş olsun. Fourier serisi katsayıları X k'yı bulmak istiyoruz. Standart yaklaşım analiz integralini hesaplamak olurdu: X k eşittir bir bölü T çarpı bir periyot üzerinden x t çarpı e üzeri eksi j k iki pi bölü T t'nin integrali. Ancak saf bir sinüzoid için çok daha kolay bir yol var. Euler formülünü kullanıyoruz: sinüs teta eşittir bir bölü iki j çarpı parantez e üzeri j teta eksi e üzeri eksi j teta parantez kapama.

3. 3. Sinüs katsayılarını bul

   

   Ortak çarpanı iki terime uygula:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\left(\frac{1}{2j}\right)\left(e^{j\omega _0t}-e^{-j\omega _0t}\right)$

   Sentez toplamıyla karşılaştır:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left[k\right]e^{jk\omega _0t}$

   Komşu sentez terimleri:

   $\displaystyle x\left(t\right)=…+X\left[-1\right]e^{-j\omega _0t}+X\left[0\right]+X\left[1\right]e^{j\omega _0t}+…$

   Yalnız bu iki katsayı sıfırdan farklıdır:

   $\displaystyle X\left[1\right]=\frac{1}{2j}, X\left[-1\right]=-\frac{1}{2j}$

   Kronecker impulsu gösterimi:

   $\displaystyle X\left[k\right]=\left(\frac{1}{2j}\right)\delta \left[k-1\right]-\left(\frac{1}{2j}\right)\delta \left[k+1\right]$

   Sesli anlatım metni

   Euler formülünü uygulayarak yazıyoruz: x t eşittir bir bölü iki j çarpı parantez e üzeri j iki pi bölü T t eksi e üzeri eksi j iki pi bölü T t parantez kapama. Şimdi bunu Fourier serisi sentez denklemiyle karşılaştıralım: x t eşittir tüm k'lar üzerinden toplam X k çarpı e üzeri j k iki pi bölü T t. Sentezi açarsak: nokta nokta nokta artı X eksi bir çarpı e üzeri eksi j iki pi bölü T t, artı X sıfır, artı X bir çarpı e üzeri j iki pi bölü T t, artı nokta nokta nokta. Katsayıları eşleştirerek görüyoruz ki X bir eşittir bir bölü iki j, X eksi bir eşittir eksi bir bölü iki j, ve diğer tüm k değerleri için X k eşittir sıfır. Kompakt formda: X k eşittir bir bölü iki j çarpı delta k eksi bir, eksi bir bölü iki j çarpı delta k artı bir.

4. 4. Kosinüs katsayılarını bul

   

   Aynı yöntemi kosinüse uygula.

   Verilen sinyal:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\cos \left(\left(\frac{2\pi }{T}\right)t\right)$

   Toplamın tamamını grupla:

   $\displaystyle \cos \left(\theta \right)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(e^{j\theta }+e^{-j\theta }\right)$

   Bir bölü ikiyi iki üstelin tamamına uygula:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(e^{j\omega _0t}+e^{-j\omega _0t}\right)$

   Yalnız bu iki katsayı sıfırdan farklıdır:

   $\displaystyle X\left[1\right]=\frac{1}{2}, X\left[-1\right]=\frac{1}{2}$

   Kronecker impulsu gösterimi:

   $\displaystyle X\left[k\right]=\left(\frac{1}{2}\right)\delta \left[k-1\right]+\left(\frac{1}{2}\right)\delta \left[k+1\right]$

   Sinüsün sıfır olmayan katsayıları tamamen sanaldır.

   Kosinüsün iki sıfır olmayan katsayısı reeldir ve bir bölü ikiye eşittir.

   Bu reel sinyallerde sinüs tek, kosinüs çift simetriye sahiptir.

   Sesli anlatım metni

   Örnek 2 de aynı yöntemi takip eder. x t eşittir kosinüs iki pi t bölü T verilmiş olsun. Kosinüs için Euler formülü: kosinüs teta eşittir bir bölü iki çarpı parantez e üzeri j teta artı e üzeri eksi j teta parantez kapama. Dolayısıyla x t eşittir bir bölü iki çarpı parantez e üzeri j iki pi bölü T t artı e üzeri eksi j iki pi bölü T t parantez kapama. Sentez denklemiyle karşılaştırarak hemen görüyoruz ki X bir eşittir bir bölü iki, X eksi bir eşittir bir bölü iki ve diğer tüm katsayılar sıfır. Delta notasyonuyla: X k eşittir bir bölü iki çarpı delta k eksi bir, artı bir bölü iki çarpı delta k artı bir. Önemli bir farka dikkat edin: sinüs için katsayılar tamamen sanal sayıydı, bir bölü iki j içeriyordu. Kosinüs için katsayılar reel ve ikisi de bir bölü ikiye eşit. Bunun nedeni kosinüsün çift fonksiyon, sinüsün ise tek fonksiyon olmasıdır.

5. 5. Ortak periyodu hesapla

   

   Üç farklı kosinüs harmoniğini incele.

   Verilen sinyal:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\cos \left(2\pi t\right)+\cos \left(4\pi t\right)+\cos \left(6\pi t\right)$

   Toplamın temel periyodunu bul.

   Frekansı f olan kosinüs:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\cos \left(2\pi f\cdot t\right)$

   Birinci terim:

   $\displaystyle f_{1}=1, T_{1}=1$

   İkinci terim:

   $\displaystyle f_{2}=2, T_{2}=\frac{1}{2}$

   Üçüncü terim:

   $\displaystyle f_{3}=3, T_{3}=\frac{1}{3}$

   Üç periyodun en küçük ortak pozitif katını kullan.

   En küçük ortak periyot ve açısal frekans:

   $\displaystyle T=1, \omega _{0}=2\pi$

   Sesli anlatım metni

   Örnek 3 daha ilginç. x t eşittir kosinüs iki pi t artı kosinüs dört pi t artı kosinüs altı pi t verilmiş olsun. Önce toplam periyodu bulmamız gerekiyor. Her kosinüs, kosinüs iki pi f t formundadır. Birinci terimin frekansı f bir eşittir bir ve periyodu T bir eşittir bir. İkincinin frekansı f iki eşittir iki ve periyodu T iki eşittir bir bölü iki. Üçüncünün frekansı f üç eşittir üç ve periyodu T üç eşittir bir bölü üç. Toplam periyot T, T bir, T iki ve T üçün en küçük ortak katıdır. Bir, bir bölü iki ve bir bölü üçün en küçük ortak katı bire eşit olduğundan, T eşittir bir ve omega sıfır eşittir iki pi.

6. 6. Altı sıfır olmayan katsayıyı bul

   

   Her kosinüsü Euler özdeşliğiyle aç.

   Altı üstel terim:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(e^{j2\pi t}+e^{-j2\pi t}+e^{j4\pi t}+e^{-j4\pi t}+e^{j6\pi t}+e^{-j6\pi t}\right)$

   Belirtilen temel frekansta harmonik indeksleri:

   $\displaystyle k=1,-1,2,-2,3,-3$

   Altı katsayının her biri bir bölü ikiye eşittir.

   Artı ve eksi bir, iki ve üç indekslerinde:

   $\displaystyle X\left[k\right]=\frac{1}{2}$

   Altı sıfır olmayan sütun eşit yüksekliktedir; DC ve diğer tüm harmonikler sıfırdır.

   Bu sonlu örüntü Fourier dönüşüm çiftlerinde kullanılacak.

   Sırada Fourier serisi özelliklerinin sistematik listesi var.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi her kosinüsü Euler formülüyle açıyoruz. x t eşittir bir bölü iki çarpı altı karmaşık üstelin toplamı: e üzeri j iki pi t, e üzeri eksi j iki pi t, e üzeri j dört pi t, e üzeri eksi j dört pi t, e üzeri j altı pi t ve e üzeri eksi j altı pi t. Omega sıfır eşittir iki pi olduğundan, bunlar sırasıyla k eşittir bir, eksi bir, iki, eksi iki, üç ve eksi üçe karşılık gelir. Her birinin katsayısı bir bölü iki. Dolayısıyla: X k eşittir bir bölü iki, k eşittir artı eksi bir, artı eksi iki ve artı eksi üç için, diğer tüm k değerleri için sıfır. Genlik spektrumu altı harmonik frekansta eşit yükseklikte altı çubuk içerir ve düz bir spektrum oluşturur. Bu kalıp, ileride Fourier dönüşüm çiftlerini incelediğimizde önemli olacak. Bir sonraki derste Fourier serisi özelliklerinin tam listesini formalize edeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #24 | Fourier Serisi Katsayı Hesaplama Örnekleri (5:36)