#25 Doğrusallık, kaydırma, eşlenik, tersine çevirme ve reel sinyal simetrisi

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Genel bakış

   

   Önceki üç örneğin Euler yöntemini hatırla.

   Fourier serisi katsayılarının özelliklerini incele.

   Dönüştürülmüş sinyalin katsayılarını yeniden integral almadan bul.

   Doğrusallık, zaman kaydırma, frekans kaydırma, eşlenik ve tersine çevirmeyi incele.

   Zaman kaydırmayı ispatla ve reel sinyal simetrisini tartış.

   Sesli anlatım metni

   Önceki derste üç örnek sinyal için Euler özdeşliği ile Fourier serisi katsayılarını hesapladık. Şimdi Fourier serisi katsayılarının özelliklerini incelemeye başlıyoruz. Bu özellikler, dönüştürülmüş sinyallerin katsayılarını integral hesaplamadan bulmamızı sağlayan güçlü araçlardır. Bu derste ilk beş özelliği inceliyoruz: doğrusallık, zaman kaydırma, frekans kaydırma, eşlenik alma ve zaman tersine çevirme. Ayrıca zaman kaydırma özelliğini ispatlayacak ve sinyal reel olduğunda ne olduğunu tartışacağız.

2. 2. Doğrusallık ve zaman kaydırma

   

   Ortak pozitif periyot ve Fourier bazı seç.

   Seçilen periyot için:

   $\displaystyle \omega _{0}=\frac{2\pi }{T}$

   İki sinyalde aynı periyot ve harmonik indekslerini kullan.

   Birinci özellik doğrusallıktır.

   A çarpı x ve B çarpı y toplamının katsayıları:

   $\displaystyle Z\left[k\right]=A\cdot X\left[k\right]+B\cdot Y\left[k\right]$

   Bu, integralin doğrusallığından gelir.

   İkinci özellik zaman kaydırmadır.

   t sıfır kadar gecikmenin katsayıları:

   $\displaystyle Y\left[k\right]=X\left[k\right]e^{-jk\omega _0t_0}$

   Çarpan karmaşık bir faz çarpanıdır.

   Büyüklükler değişmez; fazı sıfır olmayan katsayılarda değerlendir.

   Sesli anlatım metni

   Gösterimi kuralım. x t, T periyotlu periyodik bir sinyal ve Fourier serisi katsayıları X k olsun. Benzer şekilde y t, aynı T periyoduna sahip ve katsayıları Y k olsun. Özellik 1 doğrusallıktır. A çarpı x t artı B çarpı y t oluşturursak, Fourier serisi katsayıları A çarpı X k artı B çarpı Y k olur. Bu doğrudan integralin doğrusallığından gelir. Özellik 2 zaman kaydırmadır. x t'yi t sıfır kadar kaydırıp x t eksi t sıfır elde edersek, Fourier serisi katsayıları X k çarpı e üzeri eksi j k iki pi bölü T çarpı t sıfır olur. Dikkat edin ki zaman kaydırma, katsayıları karmaşık üstel bir faz çarpanıyla çarpar. Genlikler aynı kalır, sadece fazlar değişir.

3. 3. Zaman kaydırmayı ispatla

   

   İkinci özelliği analiz integraliyle ispatla.

   Gecikmiş sinyali tanımla:

   $\displaystyle y\left(t\right)=x\left(t-t_{0}\right)$

   Bir tam periyot üzerinden hesapla:

   $\displaystyle Y\left[k\right]=\left(\frac{1}{T}\right)\int _{0}^{T} y\left(t\right)e^{-jk\omega _0t}\mathrm{d}t$

   Gecikmiş girişi yerine koy:

   $\displaystyle Y\left[k\right]=\left(\frac{1}{T}\right)\int _{0}^{T} x\left(t-t_{0}\right)e^{-jk\omega _0t}\mathrm{d}t$

   Değişkeni ve aralığı değiştir:

   $\displaystyle t'=t-t_{0}, t=t'+t_{0}$

   Kaymış aralık ve tam üstel:

   $\displaystyle Y\left[k\right]=\left(\frac{1}{T}\right)\int _{-t_0}^{T-t_0}x\left(t'\right)e^{-jk\omega _0(t'+t_0)}\mathrm{d}t'$

   Sabiti dışarı çıkar:

   $\displaystyle Y\left[k\right]=e^{-jk\omega _0t_0}\left(\frac{1}{T}\right)\int _{-t_0}^{T-t_0}x\left(t'\right)e^{-jk\omega _0t'}\mathrm{d}t'$

   Kalan integral, kaymış tam periyot üzerinden aynı katsayıyı verir.

   Zaman kaydırma kuralı:

   $\displaystyle Y\left[k\right]=e^{-jk\omega _0t_0}X\left[k\right]$

   İspat tamamlandı.

   Sesli anlatım metni

   Özellik 2'yi ispatlayalım. y t eşittir x t eksi t sıfır tanımlayalım. Fourier serisi katsayısı Y k eşittir bir bölü T çarpı bir periyot üzerinden y t çarpı e üzeri eksi j k iki pi bölü T t'nin integrali. y t yerine x t eksi t sıfır koyarsak, Y k eşittir bir bölü T çarpı x t eksi t sıfır çarpı e üzeri eksi j k iki pi bölü T t'nin integrali. Şimdi t üssü eşittir t eksi t sıfır diyelim, dolayısıyla t eşittir t üssü artı t sıfır ve d t eşittir d t üssü. İntegral şu hale gelir: bir bölü T çarpı x t üssü çarpı e üzeri eksi j k iki pi bölü T çarpı t üssü artı t sıfır parantez kapama'nın integrali. Sabit e üzeri eksi j k iki pi bölü T t sıfır'ı dışarı çıkarabiliriz. Geriye kalan integral tam olarak X k'dır. Dolayısıyla Y k eşittir e üzeri eksi j k iki pi bölü T t sıfır çarpı X k. İspat tamamlandı.

4. 4. Frekans kaydırma, eşlenik ve tersine çevirme

   

   Üçüncü özellik, aynı tam sayı harmonik dizisinde frekans kaydırmadır.

   M tam sayı harmoniğindeki üstelle çarpınca:

   $\displaystyle Y\left[k\right]=X\left[k-M\right]$

   Spektrum M tam sayı konum kayar.

   Dördüncü özellik karmaşık eşlenik almadır.

   Eşleniği alınmış zaman sinyalinin katsayıları:

   $\displaystyle Y\left[k\right]=X^{*}\left[-k\right]$

   Reel a ve b için sanal kısmın işaretini değiştir:

   $\displaystyle x^{*}\left(t\right)=a\left(t\right)-j\cdot b\left(t\right)$

   Beşinci özellik zaman tersine çevirmedir.

   x eksi t sinyalinin katsayıları:

   $\displaystyle Y\left[k\right]=X\left[-k\right]$

   Katsayı indeksini eşlenik almadan tersine çevir.

   Sesli anlatım metni

   Özellik 3 frekans kaydırmadır. x t'yi e üzeri j M omega sıfır t karmaşık üsteliyle çarpma, katsayıları frekansta kaydırır: sonuç X k eksi M katsayılarına sahiptir. Bu tüm spektrumu M konum ötelir. Özellik 4 eşlenik almadır. x t'nin karmaşık eşleniği x yıldız t alındığında katsayılar X yıldız eksi k olur. Hatırlatma: eğer x t eşittir a t artı j b t ise, x yıldız t eşittir a t eksi j b t. Özellik 5 zaman tersine çevirmedir. t yerine eksi t konursa katsayılar X eksi k olur. Bu, katsayı dizisinin indeksini tersine çevirir.

5. 5. Reel sinyal simetrisi

   

   Şimdi zaman sinyalinin reel olduğunu varsay.

   Reel sinyal eşleniğine eşittir:

   $\displaystyle x\left(t\right)=x^{*}\left(t\right)$

   Dördüncü özellikten:

   $\displaystyle X\left[k\right]=X^{*}\left[-k\right]$

   Bu, eşlenik simetridir.

   Büyüklük ve faz üzerinde iki sonuç verir.

   Büyüklük çifttir:

   $\displaystyle |X\left[k\right]|=|X\left[-k\right]|$

   Sıfır olmayan katsayılarda karşı indekslerin fazları iki pi modunda birbirinin eksisidir.

   Reel sinyal için trigonometrik gösterime geç.

   Katsayının reel ve sanal kısımlarını sırasıyla A_k ve B_k ile göster.

   Karşı harmonikleri eşleştir:

   $\displaystyle x\left(t\right)=X\left[0\right]+2\sum _{k=1}^{\infty }\left(A_{k} \cos \left(k\omega _{0}t\right)-B_{k} \sin \left(k\omega _{0}t\right)\right)$

   Sesli anlatım metni

   Bu özellikler reel sinyaller için önemli bir sonuca yol açar. Eğer x t reel ise, x t eşittir x yıldız t. Özellik 4'ü uygularsak, X k eşit olmalıdır X yıldız eksi k'ya. Buna eşlenik simetri denir. İki sonucu vardır. Birincisi, genlik spektrumu çifttir: X k'nın genliği eşittir X eksi k'nın genliğine. İkincisi, faz spektrumu tektir: X k'nın açısı eşittir eksi X eksi k'nın açısına. Reel sinyaller için Fourier serisini trigonometrik formda da yazabiliriz. X k ve X eksi k eşlenik çiftler olduğundan, karmaşık üsteller reel sinüs ve kosinüslere dönüşür. Sonuç: x t eşittir X sıfır artı iki çarpı k eşittir birden sonsuza toplam, X k'nın reel kısmı çarpı kosinüs k omega sıfır t, eksi X k'nın sanal kısmı çarpı sinüs k omega sıfır t.

6. 6. Özellikleri özetle

   

   Özellikleri özetle.

   Beş temel özellik incelendi.

   Doğrusallık, ortak periyotta aynı sabitlerle katsayıları birleştirir.

   Zaman kaydırma faz çarpanı ekler ve büyüklükleri korur.

   Tam sayı harmonik modülasyonu spektrumu M konum kaydırır.

   Eşlenik alma katsayıları tersine çevirir ve eşleniğini alır.

   Zaman tersine çevirme katsayı indeksini tersine çevirir.

   Reel sinyalde büyüklük çift; faz sıfır olmayan katsayılarda iki pi modunda tektir.

   Sırada periyodik konvolüsyon, çarpma, türev, integral ve Parseval var.

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. Beş temel özellik inceledik. Doğrusallık katsayı yapısını korur. Zaman kaydırma bir faz çarpanı ekler ama genlikleri değiştirmez. Frekans kaydırma spektrumu M konum ötelir. Eşlenik alma katsayıları tersine çevirip eşleniğini alır. Ve zaman tersine çevirme katsayı indeksini tersine çevirir. Reel sinyaller için eşlenik simetri, bize çift genlik ve tek faz spektrumu verir. Bir sonraki derste altıncı ile on birinci özellikler olan periyodik konvolüsyon, çarpma, türev, integral ve Parseval teoremini inceleyeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #25 | FS Özellikleri Bölüm 1 - Kaydırma, Tersine Çevirme ve Simetri (5:15)