#20 Sürekli zamanda integral ve türev; ayrık zamanda kümülatif toplam ve birinci fark

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. İmpuls ve basamak yanıtını tanı

   

   Önceki diferansiyel ve fark denklemlerini sistem yanıtlarına bağla.

   İmpuls yanıtı ve basamak yanıtını incele.

   İmpuls yanıtı, birim impuls girişine sıfır durum yanıtıdır.

   Basamak yanıtı, birim basamak girişine sıfır durum yanıtıdır.

   İmpuls yanıtı uygun girişlerde LTI konvolüsyon işlemini belirler.

   İmpuls ve basamak yanıtları ilişkilidir.

   Sürekli zamanda integral ve türev; ayrık zamanda toplam ve fark kullan.

   Sesli anlatım metni

   Geçen derste LTI diferansiyel ve fark denklemlerini çözmeyi öğrendik. Şimdi bu çözümleri iki temel sinyal ile ilişkilendiriyoruz: impuls yanıtı ve basamak yanıtı. İmpuls yanıtı h, LTI sistemin girişi birim impuls olduğundaki çıkışıdır: sürekli zamanda delta t, ayrık zamanda delta n. Basamak yanıtı s ise girişin birim basamak olduğundaki çıkışıdır: u t veya u n. Herhangi bir giriş kaydırılmış impulslardan oluşturulabildiği için, h'yı bilmek sistemi tamamen tanımlar. Ancak h ve s birbirinden bağımsız değildir. Sürekli zamanda integral ve türev ile, ayrık zamanda toplam ve fark ile birbirine bağlıdır.

2. 2. İntegral ve türevle ilişkilendir

   

   Sürekli zaman ilişkisini türet.

   Birim basamağı impulstan elde et:

   $\displaystyle u\left(t\right)=\int _{-\infty }^{t}\delta \left(\tau \right)\mathrm{d}\tau$

   LTI süperpozisyonu kümülatif integrali çıkışa taşır.

   İmpuls yanıtını biriktir:

   $\displaystyle s\left(t\right)=\int _{-\infty }^{t}h\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau$

   Belirtilen nedensel sıradan integral durumunda, sıfır veya pozitif zamanda:

   $\displaystyle s\left(t\right)=\int _{0}^{t} h\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau$

   İmpuls yanıtını geri bul:

   $\displaystyle h\left(t\right)=s'\left(t\right)$

   Nedensel örnekte, sıfır veya pozitif zamanda:

   $\displaystyle h\left(t\right)=e^{-2t}u\left(t\right), s\left(t\right)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(1-e^{-2t}\right)$

   Tam nedensel basamak yanıtının türevi impuls yanıtını geri verir.

   Sesli anlatım metni

   Sürekli zaman ilişkisini türetelim. Birim basamak, birim impulsun integralıdır: u t eşittir eksi sonsuzdan t'ye kadar delta tao'nun integrali. Sistem doğrusal ve zaman değişmez olduğu için aynı integrali çıkışa da uygulayabiliriz. Delta t'nin çıkışı h t ise, girişin integrali u t verir ve çıkışın integrali şunu verir: s t eşittir eksi sonsuzdan t'ye kadar h tao'nun integrali. Nedensel sistemlerde h t sıfırdan küçük t için sıfır olduğundan, bu integral sıfırdan t'ye kadar sadeleşir. Ters yönde türev alırız: h t eşittir s t'nin t'ye göre türevi. Hızlı bir örnek olarak, impuls yanıtı h t eşittir e üzeri eksi 2t çarpı u t ise, basamak yanıtı s t eşittir yarım çarpı bir eksi e üzeri eksi 2t olur, t sıfırdan büyük veya eşit için. Doğrulamak için s'in türevini alırsanız h'yı geri elde edersiniz.

3. 3. Kümülatif toplam ve birinci farkı kullan

   

   Ayrık zamanda toplam ve birinci fark kullan.

   Üst indeks dahil kümülatif toplam:

   $\displaystyle u\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta \left[k\right]$

   Çıkış impulslarını biriktir:

   $\displaystyle s\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{n}h\left[k\right]$

   Bu işlem impuls yanıtının kümülatif toplamıdır.

   Şimdiki impuls örneğini geri bul:

   $\displaystyle h\left[n\right]=s\left[n\right]-s\left[n-1\right]$

   Birinci fark türevin ayrık zaman karşılığıdır.

   Belirtilen sıfır geçmiş koşuluyla biriktirme ve fark iki yanıtı birbirine dönüştürür.

   Sesli anlatım metni

   Ayrık zaman versiyonu aynı mantığı izler ama integral ve türev yerine toplam ve fark kullanılır. Birim basamak, birim impulsun kümülatif toplamıdır: u n eşittir k eksi sonsuzdan n'e kadar delta k'nın toplamı. Çıkışa süperpozisyon uygularsak: s n eşittir k eksi sonsuzdan n'e kadar h k'nın toplamı. Bu, impuls yanıtının kümülatif toplamıdır. Ters yönde gitmek için birinci farkı alırız: h n eşittir s n eksi s n eksi bir. Bu, türevin ayrık zaman karşılığıdır. Böylece hem sürekli hem de ayrık zamanda h ve s'yi birbirine bağlayan ters işlem çiftleri vardır.

4. 4. Ayrık basamak yanıtını hesapla

   

   Ayrık zaman örneğini çöz.

   Verilen impuls yanıtı:

   $\displaystyle h\left[n\right]=\delta \left[n\right]-\delta \left[n-2\right]$

   Üç indeksi incele; diğer örnekler sıfırdır:

   $\displaystyle h\left[0\right]=1, h\left[1\right]=0, h\left[2\right]=-1$

   Üst indeks dahil toplamı hesapla:

   $\displaystyle s\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{n}h\left[k\right]$

   Sıfırdan küçük indekslerde:

   $\displaystyle s\left[n\right]=0$

   Sıfırıncı indekste:

   $\displaystyle s\left[0\right]=h\left[0\right]=1$

   Birinci indekste:

   $\displaystyle s\left[1\right]=h\left[0\right]+h\left[1\right]=1+0=1$

   İkinci indekste:

   $\displaystyle s\left[2\right]=1+0+\left(-1\right)=0$

   İki ve sonraki indekslerde basamak yanıtı sıfır kalır.

   Bütün tam sayı indekslerde sonuç:

   $\displaystyle s\left[n\right]=u\left[n\right]-u\left[n-2\right]$

   Birinci farkla doğrula:

   $\displaystyle h\left[n\right]=s\left[n\right]-s\left[n-1\right]$

   Sıfırıncı indekste:

   $\displaystyle h\left[0\right]=1-0=1$

   Bu indeksin impuls değeri geri elde edildi.

   İkinci indekste:

   $\displaystyle h\left[2\right]=0-1=-1$

   Bu indeksin impuls değeri geri elde edildi.

   Kümülatif toplam ve birinci fark tutarlıdır.

   Sesli anlatım metni

   Bir ayrık zaman örneği üzerinden gidelim. İmpuls yanıtı h n eşittir delta n eksi delta n eksi iki olsun. Önce sıfırdan farklı değerleri belirleyelim: h sıfır eşittir bir, h bir eşittir sıfır, h iki eşittir eksi bir, ve diğer tüm n değerleri için h n sıfırdır. Basamak yanıtını bulmak için kümülatif toplamı alırız: s n eşittir k eksi sonsuzdan n'e kadar h k'nın toplamı. n sıfırdan küçük için hiçbir terim katkıda bulunmaz, dolayısıyla s n sıfırdır. n eşittir sıfırda: s sıfır eşittir h sıfır eşittir bir. n eşittir birde: s bir eşittir h sıfır artı h bir, yani bir artı sıfır, eşittir bir. n eşittir ikide: s iki eşittir bir artı sıfır artı eksi bir, eşittir sıfır. n ikiden büyük veya eşit için s sıfırda kalır. Yani basamak yanıtı s n eşittir u n eksi u n eksi iki. Doğrulayalım: h n eşittir s n eksi s n eksi bir. n sıfırda: bir eksi sıfır, eşittir bir. Doğru. n ikide: sıfır eksi bir, eşittir eksi bir. Doğru. İki formül tutarlıdır.

5. 5. İlişkileri özetle

   

   İlişkileri özetle.

   İmpuls ve basamak yanıtını dört formülle ilişkilendir.

   Belirtilen nedensel sürekli zaman durumunda:

   $\displaystyle s\left(t\right)=\int _{0}^{t} h\left(\tau \right)\mathrm{d}\tau , h\left(t\right)=s'\left(t\right)$

   Ayrık zamanda:

   $\displaystyle s\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{n}h\left[k\right], h\left[n\right]=s\left[n\right]-s\left[n-1\right]$

   Belirtilen başlangıç koşuluyla bir yanıttan diğerini bul.

   İmpuls yanıtı LTI sistemi belirler; basamak yanıtını deneysel ölçmek genellikle daha kolaydır.

   Sonraki konu periyodik sinyallerin Fourier serisi ve harmonikleridir.

   Sesli anlatım metni

   Özetleyelim. İmpuls yanıtı h ve basamak yanıtı s, dört temel formülle birbirine bağlıdır. Sürekli zamanda: s t eşittir h'nın sıfırdan t'ye integraline, ve h t eşittir s'in türevine. Ayrık zamanda: s n eşittir h'nın eksi sonsuzdan n'e kadar kümülatif toplamına, ve h n eşittir birinci fark, yani s n eksi s n eksi bir. h veya s'den herhangi birini bilmek diğerini bulmamızı sağlar. Bu ilişkiler temeldir çünkü impuls yanıtı bir LTI sistemi tam olarak tanımlar ve basamak yanıtı pratikte ölçülmesi genellikle daha kolaydır. Bir sonraki derste Fourier serisini ve periyodik sinyallerin harmoniklere nasıl ayrıştırıldığını inceleyeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #20 | İmpuls ve Basamak Yanıtı İlişkisi (4:47)