#08 Birim alan, eleme, çarpma ve sıfırdan farklı eğimle ölçekleme

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Birim alanlı daralan puls ve dağılım limiti

   

   Sürekli zaman birim impulsunu ideal birim nokta kütlesi olarak düşün.

   Sınırsız büyüyen rampa yerine yumuşatılmış birim basamakla başla.

   Sıfırdan bire sonlu geçişin genişliği pozitif Δ olsun.

   Türev pulsunun yüksekliği:

   $\displaystyle H=\frac{1}{\Delta }$

   Pozitif genişlik ne olursa olsun alan:

   $\displaystyle \Delta \left(\frac{1}{\Delta }\right)=1$

   Pozitif genişlik sıfıra giderken dağılımsal limiti al.

   Her yaklaşım pulsunun alanı birdir:

   $\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty } p_{\Delta }\left(t\right) \mathrm{d}t=1$

   Sonsuz tepe sezgisel limit resmidir; δ sonsuz nokta değeri olan sıradan bir fonksiyon değildir.

   Sesli anlatım metni

   İmpuls fonksiyonu delta t, karşılaşacağınız en sıra dışı sinyal olabilir. Tanımlamak için daha yumuşak bir versiyonla başlıyoruz. Delta genişliğinde sıfırdan bire yükselen bir rampa olan u alt delta t'yi düşünün. Türevi delta alt delta t, bir bölü delta yüksekliğinde ve delta genişliğinde dikdörtgen bir pulstür. Önemli özellik, delta ne kadar küçük olursa olsun alanının bire eşit olmasıdır. Şimdi delta sıfıra yaklaşırken limiti alalım. Puls daralır ve yükselir ama alanı tam olarak bir kalır. Limitte birim impuls delta t'yi elde ederiz: t eşittir sıfır dışında her yerde sıfır, t eşittir sıfırda sonsuz, ama toplam alanı hala bir.

2. 2. Ayrık zaman Kronecker deltası

   

   Ayrık zaman birim örneği sıradan bir dizidir.

   Diğer tam sayılarda sıfır olan Kronecker örneği:

   $\displaystyle \delta \left[0\right]=1$

   Sıfır indisindeki genlik sonludur.

   Sıfır indisinde yüksekliği bir olan çubuk çiz; diğer örnekler sıfırdır.

   Ayrık eleme integral yerine tam sayılar üzerinden toplam kullanır.

   Sesli anlatım metni

   Ayrık zamanlı karşılığı çok daha basittir. Kronecker deltası delta n, n sıfır olduğunda bire ve diğer tüm tam sayılar için sıfıra eşittir. Sürekli zamanlı impulstan farklı olarak sonlu bir değere sahiptir. Kök grafiği n eşittir sıfır üzerinde yüksekliği bir olan tek bir noktadır ve diğer tüm değerler sıfırdadır. Basitliğine rağmen, ayrık zamanlı sinyal işlemede delta t'nin sürekli zamanda oynadığı aynı temel rolü oynar.

3. 3. CT ve DT impuls ayrımı

   

   CT okunun etiketi birim ağırlıktır; DT çubuğunun yüksekliği gerçek örnek değeri birdir.

   Fiziksel bir CT puls ideal impulsa yaklaşabilir; DT birim örneği zaten sonlu değerli bir dizidir.

   Sesli anlatım metni

   İki impuls fonksiyonunu yan yana karşılaştıralım: sürekli zamanlı impuls delta t, orijinde birim alanlı bir ok ile temsil edilirken, ayrık zamanlı impuls delta n, n eşittir sıfırda değeri bir olan basit bir köktür. Sürekli zamanlı versiyon fiziksel olarak gerçekleştirilemeyecek matematiksel bir idealizasyondur, ayrık zamanlı versiyon ise sonlu genlikli tamamen sıradan bir sinyaldir.

4. 4. Eleme özelliği

   

   Eleme impulsun konumundaki değeri seçer.

   İmpuls komşuluğunda düzenli çarpan için:

   $\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty } \delta \left(t-t_{0}\right) f\left(t\right) \mathrm{d}t=f\left(t_{0}\right)$

   Çarpan bu konumda düzenli olmalıdır; keyfi süreksizlik veya tekillik koşulsuz kapsanmaz.

   Bu örnekte polinom çarpan kullan.

   İntegrali hesapla:

   $\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty } \delta \left(t-1\right)\left(2t^{2}+1\right) \mathrm{d}t$

   İmpuls konumunu polinoma yaz:

   $\displaystyle f\left(1\right)=2\left(1\right)^{2}+1=3$

   İntegralin sonucu:

   $\displaystyle I=3$

   Sesli anlatım metni

   Eleme özelliği impuls fonksiyonunun en önemli özelliğidir. Şunu ifade eder: eksi sonsuzdan artı sonsuza delta t eksi t sıfır çarpı f t d t'nin integrali f t sıfıra eşittir. Başka bir deyişle: herhangi bir fonksiyonu kaydırılmış bir impulsla çarpıp integralini almak, fonksiyonun impuls konumundaki değerini çıkarır. Bir örnek üzerinden çalışalım. Delta t eksi bir çarpı iki t kare artı bir d t'nin integralini bulun. Eleme özelliğine göre f t'yi t eşittir birde değerlendiririz: f bir eşittir iki çarpı bir kare artı bir, yani üçe eşittir. Tüm integral üçe eşittir.

5. 5. İmpulsla çarpma

   

   Çarpma impulsu korur ve düzenli çarpanı konumunda değerlendirir.

   İmpuls komşuluğunda düzenli çarpan için:

   $\displaystyle \delta \left(t-t_{0}\right) f\left(t\right)=f\left(t_{0}\right) \delta \left(t-t_{0}\right)$

   Son ağırlık çarpanın impuls konumundaki değeriyle belirlenir.

   Polinom çarpan örneği:

   $\displaystyle g\left(t\right)=\delta \left(t-1\right)\left(2t^{3}-1\right)$

   Birde değerlendir:

   $\displaystyle f\left(1\right)=2\left(1\right)^{3}-1=1$

   Birim ağırlıklı impuls kalır:

   $\displaystyle g\left(t\right)=\delta \left(t-1\right)$

   Sıçraması başka yerde olan basamakla çarp:

   $\displaystyle h\left(t\right)=\delta \left(t-1\right) u\left(t-2\right)$

   Basamak impulsun komşuluğunda sıfırdır:

   $\displaystyle u\left(1-2\right)=u\left(-1\right)=0$

   Çarpım sıfır dağılımıdır:

   $\displaystyle h\left(t\right)=0$

   Sesli anlatım metni

   Yakından ilişkili bir özellik çarpma kuralıdır. Delta t eksi t sıfır'ı bir fonksiyon f t ile çarptığımızda, sonuç f t sıfır çarpı delta t eksi t sıfırdır. İmpuls fonksiyonu kendi konumunda dondurur. Örneğin delta t eksi bir çarpı iki t küp eksi bir. İmpuls t eşittir birde olduğundan, f bir eşittir iki çarpı bir küp eksi bir, yani bire eşittir. Çarpım sadece delta t eksi bire sadeleşir. Zor bir örnek: delta t eksi bir çarpı u t eksi iki. İmpuls t eşittir birde olduğundan, u bir eksi iki eşittir u eksi bir, yani sıfır. Tüm çarpım sıfırdır.

6. 6. Mutlak değerli ölçekleme

   

   Sıfırdan farklı gerçek eğim için sürekli zaman kuralı:

   $\displaystyle \delta \left(a t\right)=\left(1/|a|\right) \delta \left(t\right)$

   Konum yalnız orijindeki kaydırılmamış impuls için değişmez.

   Pozitif iki eğimi ağırlığı yarıya indirir:

   $\displaystyle \delta \left(2t\right)=\left(\frac{1}{2}\right) \delta \left(t\right)$

   Negatif eğimde de mutlak değer kullan:

   $\displaystyle \delta \left(-2t\right)=\left(\frac{1}{2}\right) \delta \left(t\right)$

   Kaydırılmış argüman konumu da değiştirir:

   $\displaystyle \delta \left(2t-1\right)=\left(\frac{1}{2}\right) \delta \left(t-\frac{1}{2}\right)$

   Argümanın kökü bir,ağırlık üçte birdir:

   $\displaystyle \delta \left(3t-3\right)=\left(\frac{1}{3}\right) \delta \left(t-1\right)$

   Sesli anlatım metni

   Ölçekleme özelliği şunu ifade eder: delta a t eşittir bir bölü a'nın mutlak değeri çarpı delta t. Bir impulsu zaman ölçeklemek sadece gücünü değiştirir, konumunu değiştirmez. Delta iki t eşittir yarım çarpı delta t. Delta eksi iki t de yarım delta t'ye eşittir, çünkü mutlak değeri alırız. Kaydırılmış ve ölçeklenmiş versiyon için: delta iki t eksi bir eşittir yarım çarpı delta t eksi yarım. Benzer şekilde delta üç t eksi üç eşittir üçte bir çarpı delta t eksi bir.

7. 7. İmpuls özeti

   

   İmpuls kurallarını sürekli ve ayrık zaman ayrımıyla özetle.

   CT impuls birim alanlı daralan pulsların dağılımsal limitidir.

   Ayrık birim örnek diğer tam sayılarda sıfırdır:

   $\displaystyle \delta \left[0\right]=1$

   Eleme yerel olarak düzenli çarpanı impuls konumunda değerlendirir.

   Çarpma impulsu korur ve yerel olarak düzenli çarpanı konumunda dondurur.

   Sıfırdan farklı gerçek eğimle sürekli zamanda:

   $\displaystyle \delta \left(a t\right)=\left(1/|a|\right) \delta \left(t\right)$

   Sonraki derste temel sinyalleri türev ve integral ilişkileriyle bağla.

   Sesli anlatım metni

   İmpuls fonksiyonunu özetleyelim. Delta t, birim alanlı daralan pulsların limiti olarak tanımlanır. Delta n basitçe n eşittir sıfırda bir ve diğer yerlerde sıfırdır. Eleme özelliği fonksiyon değerlerini çıkarır. Çarpma özelliği fonksiyonları impuls noktasında dondurur. Ve ölçekleme özelliği impuls gücünü ayarlar: delta a t eşittir bir bölü mutlak a çarpı delta t. Bir sonraki dersimizde üç temel sinyali türev ve integral ilişkileriyle bağlayacağız.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #08 | İmpuls Fonksiyonu delta(t) - Eleme, Çarpma ve Ölçekleme (4:25)