#03 Sonlu destekli üçgenlerin ölçeklenmesi, periyodik toplamı ve üç kopyanın sonlu toplamı

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Periyodikliği tanımla

   

   Pozitif bir zaman aralığından sonra her noktada tekrarlanan sinyali düşün.

   Tüm gerçek t için, pozitif bir periyotla:

   $\displaystyle y\left(t\right)=y\left(t+T\right)$

   Şebeke, saat ve taşıyıcılar burada ideal periyodik modeller olarak ele alınır.

   Sonlu destekli bir yapı taşından başlayabilirsin.

   Bütün tam sayı kaydırmalarının kopyalarını topla.

   Sesli anlatım metni

   Bir sinyal, belirli bir aralıktan sonra kendini tekrar ediyorsa periyodiktir. Matematiksel olarak, tüm t değerleri için y t eşittir y t artı T, burada T periyottur. Periyodik sinyaller mühendislikte her yerdedir: şebeke gerilimleri, saat sinyalleri ve iletişim sistemlerindeki taşıyıcı dalgalar. Peki temel bir yapı taşından periyodik bir sinyal nasıl oluşturulur? Cevap basittir: bir sinyal alıp kaydırılmış kopyalarını oluşturmak.

2. 2. Kaydırılmış kopyaları topla

   

   Pozitif kopya aralığı ve sonlu değerli,sonlu destekli kaynak kullan.

   Toplam bütün tam sayı k indislerini kapsar:

   $\displaystyle y\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left(t-k\cdot T\right)$

   Pozitif ve negatif tam sayı katlarıyla iki yönde kopyalar yerleştir.

   Kopya aralığı destek genişliğinden büyükse arada boşluk kalır.

   İndisi bir kaydırmak toplamı değiştirmez:

   $\displaystyle y\left(t+T\right)=y\left(t\right)$

   Sesli anlatım metni

   İşte temel formül. Sonlu süreli herhangi bir x t sinyali verildiğinde, kaydırılmış kopyaları toplayarak periyodik bir sinyal oluşturabiliriz: y t eşittir k eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar x t eksi k T toplamı. Her kopya T'nin katları kadar kaydırılır. Eğer T, x t'nin genişliğinden büyükse, kopyalar örtüşmez ve y t, T periyotlu tekrar eden bir x t örüntüsüdür. Bu, periyodik sinyal oluşturmanın en temel yoludur.

3. 3. Ayrık duran üçgenleri yerleştir

   

   Önce birim simetrik üçgeni tanımla.

   Araları doğrusal, dışında sıfır olan üçgen:

   $\displaystyle x\left(-1\right)=0, x\left(0\right)=1, x\left(1\right)=0$

   Destek genişliği ikidir.

   Üç birimlik aralıkta genişliği iki olan kopyalar ayrık durur.

   Merkezler sıfır,artı-eksi üç,artı-eksi altı ve devamındaki üç katlarıdır.

   Komşu destekler arasında bir birim boşluk bulunur.

   Bu örneğin temel periyodu üçtür:

   $\displaystyle y\left(t+3\right)=y\left(t\right)$

   Sesli anlatım metni

   Bunu uygulamada görelim. x t olarak köşeleri eksi bir sıfır, sıfır bir ve bir sıfır olan simetrik bir üçgen sinyal düşünün. Genişliği ikidir. T eşittir üç seçersek, ki bu ikiden büyüktür, kaydırılmış kopyalar örtüşmeyecektir. Kopyaları t eşittir sıfır, üç, eksi üç, altı, eksi altı ve benzeri noktalara yerleştiririz. Her üçgen tek başına durur, aralarında boşluklar vardır. Sonuç y t, T eşittir üç periyotlu periyodik bir sinyaldir.

4. 4. Zamanı ölçekle ve kopyaları kaydır

   

   Bu bölümde T genişlik çarpanı,T sıfır kopya aralığıdır.

   Bütün farkı T ile böl ve tüm tam sayı k üzerinden topla:

   $\displaystyle y\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left(\frac{t-k\cdot T_{0}}{T}\right)$

   Birden büyük pozitif T için önce zamanı genişlet:

   $\displaystyle z\left(t\right)=x\left(\frac{t}{T}\right)$

   Genlik korunur; pozitif T ile genişlik:

   $\displaystyle W_{z}=T\cdot W_{x}$

   Sonra genişletilmiş kaynağın kopyalarını yerleştir:

   $\displaystyle y\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }z\left(t-k\cdot T_{0}\right)$

   Pozitif kopya aralığı genişletilmiş destekten büyükse kopyalar ayrık kalır.

   Sesli anlatım metni

   Ölçekleme ile kaydırmayı da birleştirebiliriz. y t eşittir x parantez içinde t eksi k T sıfır bölü büyük T toplamını düşünün. Burada önce t yerine t bölü büyük T koyarak x t'yi genişletiriz. Bu bize orijinal sinyalin daha geniş bir versiyonu olan x t bölü T'yi verir. Sonra T sıfır katları kadar kaydırılmış kopyalar oluştururuz. Genişletilmiş sinyal bir periyot içine sığdığı sürece, yani genişliği T sıfırdan küçük olduğu sürece, kopyalar örtüşmez ve y t, T sıfır periyotlu periyodiktir.

5. 5. Genişleyen üçgenleri karşılaştır

   

   Aynı birim üçgeni kullan.

   Başlangıç üçgeni eksi birden bire uzanır.

   Bu örnekte genişlik çarpanı ikidir:

   $\displaystyle z\left(t\right)=x\left(\frac{t}{2}\right)$

   Yeni destek eksi ikiden artı ikiye,genişlik dörde çıkar.

   Kopya merkezlerini beşin tam sayı katlarına yerleştir.

   Genişlik dört,aralık beş; komşu destekler arasında bir birim boşluk kalır.

   Bu örneğin temel periyodu beştir:

   $\displaystyle y\left(t+5\right)=y\left(t\right)$

   Sesli anlatım metni

   Bunu görselleştirelim. x t ile başlayalım, eksi birden bire uzanan üçgen sinyalimiz. Önce t yerine t bölü T koyarak genişletiyoruz. T eşittir iki ile x t bölü iki sinyali artık eksi ikiden artı ikiye uzanır. Sonra T sıfır eşittir beş aralıklarında kopyalar oluşturuyoruz. Genişletilmiş genişlik olan dört, T sıfır eşittir beşten küçük olduğu için kopyalar örtüşmeden sığar. Elde edilen y t, T sıfır periyotlu periyodiktir.

6. 6. Örtüşen üçgenlerin toplamını bul

   

   Kopya aralığını küçültünce komşular örtüşebilir.

   Örtüşen bölgede katkıları nokta nokta topla.

   Aynı birim üçgen için kopya aralığını bir seç.

   Komşular ayrı aralıklarda örtüşür; üçlü sıfırdan farklı ortak örtüşme yoktur.

   Sıfırdan bire kadar iki katkı:

   $\displaystyle x\left(t\right)=1-t, x\left(t-1\right)=t$

   Bu aralıkta toplam:

   $\displaystyle x\left(t\right)+x\left(t-1\right)=1$

   Her tam sayı aralığında iki doğrusal katkı aynı biçimde tamamlanır.

   Sonsuz toplam sabittir:

   $\displaystyle y\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left(t-k\right)=1$

   Sabit sinyalin her pozitif periyodu vardır; en küçük pozitif temel periyodu yoktur.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ilginç duruma gelelim. Kopyalar örtüştüğünde ne olur? Eksi birden bire uzanan üçgen sinyalimiz x t'yi düşünün ve T eşittir bir seçin. x t, x t eksi bir ve x t artı bir kopyalarının hepsi örtüşür. Sıfırdan bire kadar olan bölgede, x t eşittir bir eksi t ve x t eksi bir eşittir t olur. Toplamları bir eksi t artı t eşittir bir yapar. Aynı iptal her yerde gerçekleşir. Sonsuz toplam y t eşittir bir, yani bir sabittir! Örtüşen üçgenler birbirlerinin boşluklarını mükemmel şekilde doldurur.

7. 7. Üç kopyanın sonlu toplamını bul

   

   Şimdi yalnız üç kopyanın sonlu toplamını al.

   Sonlu toplam:

   $\displaystyle y\left(t\right)=x\left(t\right)+x\left(t-1\right)+x\left(t+1\right)$

   Eksi ikiden eksi bire kadar:

   $\displaystyle y\left(t\right)=t+2$

   Eksi birden bire kadar:

   $\displaystyle y\left(t\right)=1$

   Birden ikiye kadar:

   $\displaystyle y\left(t\right)=2-t$

   Dışında sıfır olan yamuğun köşeleri:

   $\displaystyle y\left(-2\right)=0, y\left(-1\right)=1, y\left(1\right)=1, y\left(2\right)=0$

   Sesli anlatım metni

   Peki sonsuz yerine sadece üç kopya toplarsak ne olur? y t eşittir x t artı x t eksi bir artı x t artı bir olsun. t eksi ikiden eksi bire kadar sadece x t artı bir katkıda bulunur, sıfırdan bire yükselir. Eksi birden bire kadar örtüşen kopyalar tam olarak bire toplanır ve düz bir tepe oluşturur. Birden ikiye kadar sadece x t eksi bir katkıda bulunur, birden sıfıra düşer. Sonuç, köşeleri eksi iki sıfır, eksi bir bir, bir bir ve iki sıfır olan bir yamuktur.

8. 8. Sonuçları karşılaştır

   

   Üç parçalı sinyal girişini özetle.

   İlk bölümde tekil zaman dönüşümlerini ayırdık.

   İkinci bölümde sıfırdan farklı zaman ölçeğiyle birleşik dönüşümü kullandık.

   Bu bölümde bütün tam sayı kaydırmalarını topladık.

   Örtüşmeyen kopyalar kaynağın ayrı tekrarlarını verir.

   Komşu üçgenlerin sonsuz toplamı sabit olabilir; sonlu üçlü toplam ise yamuktur.

   Periyot,temel periyot ve sonlu toplam ayrımını koru.

   Kaynağın sonraki konu duyurusu sistem özellikleridir; bu defterin konusu periyodik toplamdır.

   Sesli anlatım metni

   Ders birini özetleyelim. Birinci derste tekil sinyal işlemlerini öğrendik: kaydırma, ölçekleme ve tersine çevirme. İkinci derste bu işlemleri x a t artı b için iki adımlı yöntemle birleştirdik. Ve bu derste kaydırılmış kopyaları toplayarak periyodik sinyal oluşturmayı öğrendik. Kopyalar örtüşmediğinde sonuç basitçe x t'yi tekrar eder. Örtüştüklerinde ise toplam sabit gibi şaşırtıcı sonuçlar üretebilir. Bu, sinyal manipülasyonlarına girişimizi tamamlar. Bir sonraki derste sistem özelliklerini ve sınıflandırmalarını keşfedeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #03 | Kaydırılmış Sinyallerden Periyodik Sinyal Oluşturma (4:42)