Sinyaller ve Sistemler · Konvolüsyon özellikleri ve sürekli zaman

#15 İmpuls özdeşliği, ayrıştırma ve basamak konvolüsyonu

Konvolüsyon özellikleriyle impulsları kaydır, ayrık sinyali impuls toplamına ayır ve iki sürekli zaman basamağından rampayı çıkar.

Soru

Türkçe kaynak videodan konvolüsyon özelliği veya hesaplama referansı. — Türkçe kaynak videodan alınmıştır; ortak Manim grafiklerinin İngilizce etiketleri korunmuştur. İmpuls toplamı grafiğindeki altı örnek soldan sağa eksi iki, eksi bir, sıfır, bir, iki ve üç indekslerindedir. Basamak konvolüsyonu karesinde zaman dört, örtüşme aralığı sıfırdan dörde ve alan dörttür; rampa o ana kadar çizilmiştir. Yıldız konvolüsyonu belirtir.

Konvolüsyon toplam ve integrallerinin tanımlı olduğu koşullarda çalış. Yıldız konvolüsyon işlemidir. Doğrusallık, diğer giriş sabit tutulduğunda her bir giriş bakımından geçerlidir; iki girişi birden ölçeklemenin katsayıları çarpılır. Kaydırılmamış ayrık impuls birim elemandır; tam sayı n0 kadar kaydırılmış impuls sinyali aynı indeks kadar kaydırır. Ayrık örnekte y ikinci girişin adıdır; sürekli zaman örneğinde y çıkışı gösterir. İmpuls toplamı örneği eksi ikiden üçe indekslenen [−1,1,2,0.5,3,2] dizisidir, dışarıda sıfırdır. Her ayrık sinyalin impuls toplamı her tam sayı indekste eleme özelliğiyle okunur. Sürekli zaman örneğinde u(0)=1 seçilir; bu tek noktanın farklı seçilmesi integrali değiştirmez. Negatif çıkış zamanında iki basamak örtüşmez ve sonuç sıfırdır. Sıfır zamanda örtüşme tek noktadır, uzunluk ve integral sıfırdır. Pozitif zamanda örtüşme sıfırdan t’ye aralıktır ve alan t olur. Sıfırdan t’ye birin integrali yalnız t≥0 durumunda kullanılır. Sonuç tüm gerçek zamanlarda t u(t) rampasıdır.

Yazılı çözüm ve anlatım dökümü(çözümün tamamını gösterir)

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. Ayrık konvolüsyon özellikleri
Türkçe kaynak videodan alınmıştır; ortak Manim grafiklerinin İngilizce etiketleri korunmuştur. İmpuls toplamı grafiğindeki altı örnek soldan sağa eksi iki, eksi bir, sıfır, bir, iki ve üç indekslerindedir. Basamak konvolüsyonu karesinde zaman dört, örtüşme aralığı sıfırdan dörde ve alan dörttür; rampa o ana kadar çizilmiştir. Yıldız konvolüsyonu belirtir.
Tanımlı konvolüsyonların üç temel özelliğini incele.
Değişmelilik:
$\displaystyle x\left[n\right] ∗ y\left[n\right]=y\left[n\right] ∗ x\left[n\right]$
Girişlerin sırası konvolüsyon sonucunu değiştirmez.
Dağılma:
$\displaystyle x\left[n\right] ∗ \left(y\left[n\right]+z\left[n\right]\right)=x\left[n\right] ∗ y\left[n\right]+x\left[n\right] ∗ z\left[n\right]$
Diğer giriş sabitken ölçekleme:
$\displaystyle \left(a \cdot x\left[n\right]\right) ∗ y\left[n\right]=a \cdot \left(x\left[n\right] ∗ y\left[n\right]\right)$
Bu özellikler konvolüsyon hesabını parçalara ayırmayı sağlar.
Sesli anlatım metni
Ayrık zamanlı konvolüsyonun temel özelliklerini inceleyelim. Birincisi, değişmelilik: x n ile y n'nin konvolüsyonu, y n ile x n'nin konvolüsyonuna eşittir. Sıra önemli değildir. İkincisi, dağılma özelliği: x n ile y n artı z n'nin konvolüsyonu, ayrı konvolüsyonlara bölünüp toplanabilir. Üçüncüsü, doğrusallık: konvolüsyondan önce sinyali ölçeklemek, sonuçtan sonra ölçeklemekle aynıdır. Bu üç özellik konvolüsyonu güçlü ve esnek bir işlem yapar.
2. İmpuls özdeşliği
Türkçe kaynak videodan alınmıştır; ortak Manim grafiklerinin İngilizce etiketleri korunmuştur. İmpuls toplamı grafiğindeki altı örnek soldan sağa eksi iki, eksi bir, sıfır, bir, iki ve üç indekslerindedir. Basamak konvolüsyonu karesinde zaman dört, örtüşme aralığı sıfırdan dörde ve alan dörttür; rampa o ana kadar çizilmiştir. Yıldız konvolüsyonu belirtir.
İmpulsun konvolüsyondaki rolünü incele.
Tam sayı kaydırmada:
$\displaystyle x\left[n\right] ∗ \delta \left[n-n_{0}\right]=x\left[n-n_{0}\right]$
Eleme özelliği:
$\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty } x\left[k\right] \delta \left[n-k-n_{0}\right]=x\left[n-n_{0}\right]$
Kaydırılmamış impuls birim elemandır:
$\displaystyle x\left[n\right] ∗ \delta \left[n\right]=x\left[n\right]$
Sesli anlatım metni
Belki de en önemli özellik impuls fonksiyonuyla ilgilidir. Herhangi bir x n sinyalini kaydırılmış bir impuls delta n eksi n sıfır ile konvolve ettiğimizde, sonuç basitçe x n eksi n sıfır olur, yani orijinal sinyal n sıfır kadar kaydırılır. Bu doğrudan impulsun eleme özelliğinden gelir. İmpuls fonksiyonu konvolüsyon için birim eleman görevi görür, tıpkı aritmetikte birle çarpmak gibi.
3. İmpulslarla konvolüsyon örneği
Türkçe kaynak videodan alınmıştır; ortak Manim grafiklerinin İngilizce etiketleri korunmuştur. İmpuls toplamı grafiğindeki altı örnek soldan sağa eksi iki, eksi bir, sıfır, bir, iki ve üç indekslerindedir. Basamak konvolüsyonu karesinde zaman dört, örtüşme aralığı sıfırdan dörde ve alan dörttür; rampa o ana kadar çizilmiştir. Yıldız konvolüsyonu belirtir.
İki ayrık impuls dizisini konvolve et.
Bu örnekte iki giriş:
$\displaystyle x\left[n\right]=\delta \left[n-1\right]+\delta \left[n-2\right], y\left[n\right]=\delta \left[n-1\right]$
Dağılmayla iki konvolüsyon toplamı:
$\displaystyle x\left[n\right] ∗ y\left[n\right]=\delta \left[n-1\right] ∗ \delta \left[n-1\right]+\delta \left[n-2\right] ∗ \delta \left[n-1\right]$
İlk terim:
$\displaystyle \delta \left[n-1\right] ∗ \delta \left[n-1\right]=\delta \left[n-2\right]$
İkinci terim:
$\displaystyle \delta \left[n-2\right] ∗ \delta \left[n-1\right]=\delta \left[n-3\right]$
Sonuç:
$\displaystyle x\left[n\right] ∗ y\left[n\right]=\delta \left[n-2\right]+\delta \left[n-3\right]$
Sesli anlatım metni
Bu özellikleri bir örnekle uygulayalım. x n eşittir delta n eksi bir artı delta n eksi iki, ve y n eşittir delta n eksi bir olsun. Dağılma özelliğini kullanarak konvolüsyonu iki parçaya böleriz. Delta n eksi bir ile delta n eksi birin konvolüsyonu: impuls özdeşliğine göre bu delta n eksi ikiyi verir. Delta n eksi iki ile delta n eksi birin konvolüsyonu ise delta n eksi üçü verir. Sonuç: delta n eksi iki artı delta n eksi üç.
4. Sinyali impuls toplamıyla yaz
Türkçe kaynak videodan alınmıştır; ortak Manim grafiklerinin İngilizce etiketleri korunmuştur. İmpuls toplamı grafiğindeki altı örnek soldan sağa eksi iki, eksi bir, sıfır, bir, iki ve üç indekslerindedir. Basamak konvolüsyonu karesinde zaman dört, örtüşme aralığı sıfırdan dörde ve alan dörttür; rampa o ana kadar çizilmiştir. Yıldız konvolüsyonu belirtir.
Ayrık sinyali kaydırılmış impulsların ağırlıklı toplamına ayır.
Eksi ikiden üçe indekslenen değerler:
$\displaystyle x=\left[-1,1,2,0.5,3,2\right]$
Açık ayrıştırma:
$\displaystyle x\left[n\right]=-\delta \left[n+2\right]+\delta \left[n+1\right]+2\delta \left[n\right]+0.5\delta \left[n-1\right]+3\delta \left[n-2\right]+2\delta \left[n-3\right]$
Genel ayrıştırma:
$\displaystyle x\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{\infty } x\left[k\right] \delta \left[n-k\right]$
Sesli anlatım metni
Temel bir bakış açısı: herhangi bir ayrık zamanlı sinyal, kaydırılmış impuls fonksiyonlarının ağırlıklı toplamı olarak yazılabilir. Örneğin, n eşittir eksi ikiden başlayan, değerleri eksi bir, bir, iki, sıfır nokta beş, üç, iki olan x n sinyalini ele alalım. Bunu şöyle yazabiliriz: eksi bir çarpı delta n artı iki, artı bir çarpı delta n artı bir, artı iki çarpı delta n, artı sıfır nokta beş çarpı delta n eksi bir, artı üç çarpı delta n eksi iki, artı iki çarpı delta n eksi üç. Bu ayrıştırma, konvolüsyon toplamının temelidir.
5. Sürekli zaman konvolüsyonunu tanımla
Türkçe kaynak videodan alınmıştır; ortak Manim grafiklerinin İngilizce etiketleri korunmuştur. İmpuls toplamı grafiğindeki altı örnek soldan sağa eksi iki, eksi bir, sıfır, bir, iki ve üç indekslerindedir. Basamak konvolüsyonu karesinde zaman dört, örtüşme aralığı sıfırdan dörde ve alan dörttür; rampa o ana kadar çizilmiştir. Yıldız konvolüsyonu belirtir.
Sürekli zaman konvolüsyonuna geç.
Tanımlı konvolüsyon integrali:
$\displaystyle y\left(t\right)=x\left(t\right) ∗ h\left(t\right)=\int _{-\infty }^{\infty } x\left(\tau \right) h\left(t-\tau \right) \mathrm{d}\tau$
Değişmelilik:
$\displaystyle x\left(t\right) ∗ h\left(t\right)=h\left(t\right) ∗ x\left(t\right)$
İntegral, çevrilip kaydırılmış sinyalle ağırlıklı örtüşmeyi hesaplar.
Sesli anlatım metni
Şimdi sürekli zamanlı konvolüsyona geçelim. x t ve h t sürekli zaman sinyalleri için konvolüsyon, y t eşittir eksi sonsuzdan artı sonsuza x tau çarpı h t eksi tau d tau integrali olarak tanımlanır. Tıpkı ayrık zamanda olduğu gibi, sürekli zaman konvolüsyonu da değişmelidir: x t ile h t'nin konvolüsyonu, h t ile x t'nin konvolüsyonuna eşittir. Bu integral, bir sinyalin zamanda çevrilerek kaydırılan kopyasıyla ağırlıklı örtüşmesini hesaplar.
6. İki basamağın konvolüsyonunu hesapla
Türkçe kaynak videodan alınmıştır; ortak Manim grafiklerinin İngilizce etiketleri korunmuştur. İmpuls toplamı grafiğindeki altı örnek soldan sağa eksi iki, eksi bir, sıfır, bir, iki ve üç indekslerindedir. Basamak konvolüsyonu karesinde zaman dört, örtüşme aralığı sıfırdan dörde ve alan dörttür; rampa o ana kadar çizilmiştir. Yıldız konvolüsyonu belirtir.
İki sürekli zaman basamağının konvolüsyonunu hesapla.
İntegralin içindeki çarpım:
$\displaystyle p\left(t,\tau \right)=u\left(\tau \right)u\left(t-\tau \right)$
İlk basamak, tau sıfır veya pozitifken birdir; negatifken sıfırdır.
İkinci basamak, tau çıkış zamanından küçük veya ona eşitken birdir; diğer durumda sıfırdır.
Negatif zamanda örtüşme yoktur; sıfır veya pozitif zamanda aralık sıfırdan çıkış zamanına uzanır.
Sıfır veya pozitif çıkış zamanında:
$\displaystyle y\left(t\right)=\int _{0}^{t} 1 \mathrm{d}\tau =t$
Bütün gerçek zamanlar için:
$\displaystyle u\left(t\right) ∗ u\left(t\right)=t u\left(t\right)=r\left(t\right)$
Sesli anlatım metni
İlk sürekli zaman konvolüsyonumuzu hesaplayalım: u t ile u t'nin konvolüsyonu. İntegrali kurarsak u tau çarpı u t eksi tau lazım. u tau fonksiyonu tau sıfırdan büyük veya eşit olduğunda bire eşittir, diğer durumlarda sıfırdır. u t eksi tau ise tau t'den küçük veya eşit olduğunda bire eşittir, diğer durumlarda sıfırdır. Çarpımları yalnızca sıfırdan t'ye kadar birdir. İntegral sıfırdan t'ye birin integrali olur ve t'ye eşittir, t sıfırdan büyük veya eşit olduğunda geçerlidir. Dolayısıyla u t ile u t'nin konvolüsyonu t çarpı u t'ye, yani rampa fonksiyonu r t'ye eşittir.
7. Konvolüsyon özelliklerini özetle
Türkçe kaynak videodan alınmıştır; ortak Manim grafiklerinin İngilizce etiketleri korunmuştur. İmpuls toplamı grafiğindeki altı örnek soldan sağa eksi iki, eksi bir, sıfır, bir, iki ve üç indekslerindedir. Basamak konvolüsyonu karesinde zaman dört, örtüşme aralığı sıfırdan dörde ve alan dörttür; rampa o ana kadar çizilmiştir. Yıldız konvolüsyonu belirtir.
Ayrık konvolüsyon değişmelidir, dağılır ve diğer giriş sabitken doğrusaldır.
İmpulsla kaydırma:
$\displaystyle x\left[n\right] ∗ \delta \left[n-n_{0}\right]=x\left[n-n_{0}\right]$
Ayrık sinyalin impuls açılımı:
$\displaystyle x\left[n\right]=\sum _{k=-\infty }^{\infty } x\left[k\right] \delta \left[n-k\right]$
İki sürekli zaman basamağı rampayı verir:
$\displaystyle u\left(t\right) ∗ u\left(t\right)=r\left(t\right)$
Sonraki konu kaydırılmış basamaklar ve grafik konvolüsyon örnekleridir.
Sesli anlatım metni
Bugün ayrık zamanlı konvolüsyonun üç temel özelliğini öğrendik: değişmelilik, dağılma ve doğrusallık. x n ile delta n eksi n sıfırın konvolüsyonunun x n eksi n sıfıra eşit olduğu impuls özdeşliği özellikle güçlüdür. Herhangi bir sinyal kaydırılmış impulsların ağırlıklı toplamı olarak ayrıştırılabilir. Ayrıca sürekli zaman konvolüsyonunu integral olarak tanımladık ve iki birim basamağın konvolüsyonunun rampa fonksiyonuna eşit olduğunu gösterdik. Bir sonraki derste kaydırılmış basamaklara ve grafik konvolüsyon örneklerine geçeceğiz.