#12 Genlik, frekans, faz ve üstel zarf

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Sürekli zaman sinüzoidini tanımla

   

   Pozitif genlik ve frekansla üç sinyal türü: sinüzoidal, üstel ve sönümlü sinüzoidal.

   Sinüzoidal sinyal:

   $\displaystyle f\left(t\right)=K \sin \left(2\pi f t+w_{0}\right)$

   Pozitif K için maksimum K, minimum eksi K olur.

   Frekans saniyedeki tam çevrim sayısıdır; birimi hertzdir.

   Pozitif frekansta periyot:

   $\displaystyle T=\frac{1}{f}$

   Radyan cinsinden faz, yatay zaman kaymasını belirler.

   Açısal frekans, radyan bölü saniye:

   $\displaystyle \omega =2\pi f$

   Eşdeğer sinyal:

   $\displaystyle f\left(t\right)=K \sin \left(\omega t+w_{0}\right)$

   Sesli anlatım metni

   Bugün üç önemli sürekli zamanlı sinyal türünü tanıtıyoruz, sinüzoidal sinyalle başlayarak. Genel form f t eşittir K çarpı sinüs iki pi f t artı w sıfır. Burada K tepe genliğidir, sinyalin ulaştığı maksimum değer. f parametresi hertz cinsinden frekanstır, saniyede kaç tam çevrim olduğunu söyler. Periyot T eşittir bir bölü f, bir çevrimin süresini verir. Faz açısı w sıfır sinyali zaman ekseni boyunca kaydırır. Açısal frekans omega'yı iki pi f olarak tanımlarız, radyan bölü saniye cinsinden. Bu bize eşdeğer formu verir: f t eşittir K sinüs omega t artı w sıfır.

2. 2. Genlik, periyot ve fazı oku

   

   Grafikte genlik, periyot ve fazı oku.

   Fazsız sinüzoid:

   $\displaystyle f\left(t\right)=K \sin \left(\omega t\right)$

   Tepeden tepeye yükseklik ve periyot:

   $\displaystyle A_{\mathrm{pp}}=2K, T=\frac{1}{f}$

   Pozitif açısal frekansta fazın zaman kayması:

   $\displaystyle \Delta t=-\frac{w_{0}}{\omega }$

   Pozitif açısal frekansta negatif faz dalgayı sağa geciktirir.

   Faz değişimi dalga biçimini koruyarak yatay öteler.

   Pozitif açısal frekans arttıkça salınım hızlanır.

   Sesli anlatım metni

   Sinüzoidal sinyalin nasıl göründüğüne bakalım. Burada sinüs omega t'yi K genliğiyle çiziyoruz. Tepeden tepeye yükseklik iki K'dır ve ardışık iki tepe arasındaki mesafe periyot T'yi verir. Pozitif bir faz w sıfır eklediğimizde tüm dalga formu sola kayar. Negatif faz sağa kaydırır. Dalganın şekli değişmez, sadece zaman ekseni üzerindeki konumu değişir. Açısal frekans omega sinyalin ne kadar hızlı salındığını kontrol eder.

3. 3. Parametre etkilerini karşılaştır

   

   Bir seferde tek parametreyi değiştir.

   Genlik örnekleri:

   $\displaystyle K=0.5,1,2$

   Pozitif genliği artırmak dalgayı dikey uzatır.

   Hertz cinsinden frekans örnekleri:

   $\displaystyle f=0.5,1,2$

   Daha yüksek pozitif frekans, daha çok çevrim ve daha kısa periyot verir.

   Radyan cinsinden faz örnekleri:

   $\displaystyle w_{0}=0,\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}$

   Faz değişirken genlik ve frekans sabit kalır.

   Genlik, frekans ve faz sinüzoidi belirler; faz tam çevrim katları bakımından eşdeğerdir.

   Sesli anlatım metni

   Her parametrenin dalga formunu nasıl etkilediğini karşılaştıralım. İlk panelde frekans ve fazı sabit tutarak genlik K'yı değiştiriyoruz. Daha büyük K dalgayı dikey olarak uzatır. İkinci panelde frekansı değiştiriyoruz. Daha yüksek frekans aynı zaman aralığına daha fazla çevrim sığdırır ve daha kısa periyot anlamına gelir. Üçüncü panelde faz açısını ayarlıyoruz. Dalga yatay olarak kayar ancak genliği ve frekansı aynı kalır. Bu üç parametre, genlik, frekans ve faz, herhangi bir sinüzoidal sinyali tamamen belirler.

4. 4. Azalan üstel sinyali tanımla

   

   Pozitif azalma hızıyla üstel sinyali tanımla.

   Tek taraflı üstel:

   $\displaystyle f\left(t\right)=K e^{-a t} u\left(t\right)$

   Sıfırda bir olan basamak seçimiyle:

   $\displaystyle f\left(0\right)=K$

   Daha büyük pozitif azalma hızı, daha kısa zaman sabiti:

   $\displaystyle \tau =\frac{1}{a}$

   Negatif zamanda:

   $\displaystyle f\left(t\right)=0$

   Basamaksız, tüm zamanlarda tanımlı üstel:

   $\displaystyle g\left(t\right)=K e^{-a t}$

   Sesli anlatım metni

   İkinci sinyal türü üstel sinyaldir. Tek taraflı form f t eşittir K çarpı e üzeri eksi a t çarpı u t'dir. K, t eşittir sıfırdaki başlangıç genliğidir ve a azalma hızıdır. Daha büyük a değeri daha hızlı azalma demektir. Birim basamak fonksiyonu u t sinyalin sadece t sıfırdan büyük veya eşit olduğunda var olmasını sağlar. Birim basamak olmadan g t eşittir K çarpı e üzeri eksi a t elde ederiz, bu tüm zamanlar için tanımlıdır ve negatif t değerlerinde üstel olarak büyür.

5. 5. Tek ve çift taraflı üsteli karşılaştır

   

   İki üstel denklemi ve zaman desteklerini karşılaştır.

   Sol grafik:

   $\displaystyle f\left(t\right)=K e^{-a t} u\left(t\right)$

   Sıfırda bir basamak seçimiyle başlangıç:

   $\displaystyle f\left(0\right)=K$

   Sıfırdan küçük zamanda:

   $\displaystyle f\left(t\right)=0$

   Sağ grafik:

   $\displaystyle g\left(t\right)=K e^{-a t}$

   Zaman daha negatife giderken, pozitif b için:

   $\displaystyle g\left(-b\right)=K e^{a b}$

   Tek taraflı biçim belirli bir başlangıç anından itibaren azalmayı modeller.

   Sesli anlatım metni

   Bu iki üstel formu yan yana karşılaştıralım. Solda f t eşittir K e üzeri eksi a t çarpı u t. Sinyal t sıfırda K'dan başlar ve sıfıra doğru düzgünce azalır. Negatif zaman için sinyal birim basamak sayesinde tam olarak sıfırdır. Sağda g t eşittir K e üzeri eksi a t, birim basamak olmadan. Pozitif t için aynı görünür ancak negatif t için sınırsız büyür. Pratikte birim basamaklı tek taraflı üstel fiziksel sistemlerde çok daha yaygındır.

6. 6. Sönümlü sinüzoidi incele

   

   Salınımı azalan üstel zarfla birleştir.

   Sönümlü sinüzoid:

   $\displaystyle f\left(t\right)=K e^{-a t} \sin \left(\omega t+w_{0}\right) u\left(t\right)$

   Negatif olmayan zamanda pozitif zarf:

   $\displaystyle E\left(t\right)=K e^{-a t}$

   Ardışık pozitif tepe oranı; T temel sinüsün periyodu:

   $\displaystyle \frac{P_{n+1}}{P_{n}}=e^{-a T}$

   Örnekler az sönümlü yay veya RLC devresinin serbest ya da geçici yanıtlarıdır.

   Sesli anlatım metni

   Üçüncü sinyal türümüz her iki kavramı birleştirir: üstel sönümlü sinüzoidal. Tanımı f t eşittir K e üzeri eksi a t çarpı sinüs omega t artı w sıfır, çarpı u t'dir. Sinüzoidal kısım salınımı oluşturur, üstel terim K e üzeri eksi a t ise azalan bir zarf görevi görür. Zaman ilerledikçe her ardışık tepe bir öncekinden küçüktür. Bu sinyal birçok fiziksel sistemde doğal olarak ortaya çıkar: yetersiz sönümlü bir yay, bir anahtar kapatıldıktan sonra bir Ar El Si devresi veya enerji kaybederken salınan herhangi bir sistem.

7. 7. Üç sinyal türünü özetle

   

   Üç sürekli zaman sinyal türünü özetle.

   Sinüzoid:

   $\displaystyle f\left(t\right)=K \sin \left(\omega t+w_{0}\right)$

   Tek taraflı üstel:

   $\displaystyle f\left(t\right)=K e^{-a t} u\left(t\right)$

   Sönümlü salınım:

   $\displaystyle f\left(t\right)=K e^{-a t} \sin \left(\omega t+w_{0}\right) u\left(t\right)$

   Sonraki konu ayrık zaman sinyalleri ve çift-tek ayrıştırmadır.

   Sesli anlatım metni

   Bugün üç sürekli zamanlı sinyal türünü inceledik. Sinüzoidal sinyaller genlik K, frekans f veya omega ve faz w sıfır ile tanımlanır. Üstel sinyal K e üzeri eksi a t çarpı u t tek taraflı azalmayı modeller, birim basamağı kaldırmak ise çift taraflı üstel verir. Üstel sönümlü sinüzoidal salınımı azalmayla birleştirir ve birçok gerçek dünya sönümlü sisteminin davranışını yakalar. Bir sonraki derste ayrık zamanlı sinyalleri gözden geçireceğiz ve çift tek ayrıştırmayı keşfedeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #12 | SZ Sinüzoidal ve Üstel Sinyaller (4:29)