#27 Periyodik genişletme, dönüşüm örnekleri ve ters dönüşüm limiti

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Periyodik sinyalden periyodik olmayana

   

   Periyodik sinyallerin Fourier serisini ve on bir özelliğini hatırla.

   Periyodik olmayan sinyalleri düşün.

   Tek darbe ve sönen üstel gibi sinyaller sonsuza kadar tekrar etmez.

   Fourier serisi periyodik tekrarı temsil eder.

   Frekans analizini aperiyodik sinyallere genişlet.

   Tekrarlama periyodunu sınırsız büyüterek dönüşümü türet.

   İleri ve ters dönüşüm çiftini tanıt; yakınsaklık koşulları geçerlidir.

   Sesli anlatım metni

   Önceki videolarda, periyodik sinyaller için Fourier Serisi'ni ve on bir özelliğini inceledik. Ama doğal bir soru ortaya çıkıyor: periyodik OLMAYAN sinyaller ne olacak? Tek bir dikdörtgen darbe veya sönen bir üstel sinyal gibi aperiyodik sinyaller sonsuza kadar tekrar etmez. Dolayısıyla Fourier Serisi'ni doğrudan uygulayamayız. Bu videoda, bu boşluğu kapatacağız. Fourier Serisi'nden başlayarak ve periyodu sonsuza götürerek Sürekli Zamanlı Fourier Dönüşümü'nü türeteceğiz. Video sonunda, herhangi bir aperiyodik sinyal için çalışan Fourier Dönüşümü ve Ters Fourier Dönüşümü formüllerine sahip olacaksınız.

2. 2. Sonlu süreli sinyali periyodik tekrarla

   

   Sonlu süreli bir sinyalle başla.

   Sinyalin desteğini içeren merkezli bir tam periyot seç.

   Kopyaları örtüşmeden her T saniyede tekrarla.

   Periyodik genişletmeye p adını ver.

   Periyodik genişletme:

   $\displaystyle p\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x\left(t-k\cdot T\right)$

   Kopyaları zaman ekseni boyunca döşe.

   Seçilen merkez periyotta genişletme özgün sinyale eşittir.

   Periyodik genişletmeye Fourier serisi uygula.

   Katsayıları C ile göster:

   $\displaystyle C\left[k\right]=\left(\frac{1}{T}\right)\int _{-T/2}^{T/2}p\left(t\right)e^{-jk\omega _0t}\mathrm{d}t$

   Özgün sinyalin sonlu desteğini kullan.

   Özgün sinyal aralığın dışında sıfır olduğu için sınırları genişlet.

   Özgün sinyal üzerinden katsayı:

   $\displaystyle C\left[k\right]=\left(\frac{1}{T}\right)\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)e^{-jk\omega _0t}\mathrm{d}t$

   Sesli anlatım metni

   İşte anahtar fikir. Elimizde aperiyodik bir x t sinyali olsun, belki sadece sınırlı bir süre var olan bir darbe. Bu sinyali her T saniyede kopyalarını tekrarlayarak yapay olarak periyodik yapabiliriz. Bu, x tilda t olarak adlandırdığımız periyodik bir sinyal oluşturur. x tilda t, k eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar toplam, x t eksi k T'ye eşittir. Bunu, x t'yi zaman ekseni boyunca döşemek olarak düşünün. x tilda'nın bir periyodu tam olarak orijinal x t sinyalimizdir. x tilda, T periyotlu periyodik olduğundan, Fourier Serisi uygulayabiliriz. Ef Es katsayıları şöyledir: x tilda k, bir bölü T çarpı bir periyot üzerinden integral, x tilda t çarpı e üzeri eksi j k iki pi bölü T t, dt'dir. Şimdi kritik adım. x tilda'nın bir periyodu sadece x t olduğundan ve x t bu aralığın dışında sıfır olduğundan, integral sınırlarını eksi sonsuzdan artı sonsuza genişletebiliriz. Yani x tilda k, bir bölü T çarpı eksi sonsuzdan artı sonsuza integral, x t çarpı e üzeri eksi j k omega sıfır t, dt olur.

3. 3. Fourier dönüşümünü tanımla

   

   Katsayı integralinden sürekli frekanslı fonksiyonu çıkar.

   Her iki tarafı periyotla çarp.

   Ölçeklenmiş katsayılar:

   $\displaystyle T\cdot C\left[k\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)e^{-jk\omega _0t}\mathrm{d}t$

   Harmonik açısal frekanslarda örnekle:

   $\displaystyle \omega =k\omega _{0}$

   Standart ileri dönüşümü tanımla:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$

   Belirtilen koşullarda özgün aperiyodik sinyalin dönüşümüdür.

   Dönüşüm örnekleri ve periyodik katsayılar:

   $\displaystyle X\left(k\omega _{0}\right)=T\cdot C\left[k\right]$

   Her dönüşüm örneğini periyoda böl:

   $\displaystyle C\left[k\right]=\frac{X\left(k\omega _{0}\right)}{T}$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi bu ifadeden güçlü bir şey çıkaralım. Her iki tarafı T ile çarpalım. T çarpı x tilda k, eksi sonsuzdan artı sonsuza integral, x t çarpı e üzeri eksi j k omega sıfır t, dt'ye eşit olur. Sağ taraf, sürekli omega değişkenine bağlıdır ve omega eşittir k omega sıfır noktalarında değerlendirilir. Yeni bir fonksiyon tanımlayalım: büyük X omega, eksi sonsuzdan artı sonsuza integral, x t çarpı e üzeri eksi j omega t, dt'ye eşittir. Bu, aperiyodik sinyal x t'nin Fourier Dönüşümü'dür. Anahtar ilişkiye dikkat edin: büyük X omega, omega eşittir k omega sıfır noktasında değerlendirildiğinde, bize T çarpı periyodik genişletmenin Ef Es katsayılarını verir. Başka bir deyişle, Ef Es katsayıları büyük X omega'nın örnekleridir, T'ye bölünmüş: x tilda k eşittir büyük X k omega sıfır, bölü T.

4. 4. Ters dönüşüm limitini çıkar

   

   Ters dönüşümü türet.

   Periyodik sentezden başla:

   $\displaystyle p\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }C\left[k\right]e^{jk\omega _0t}$

   Örneklenmiş dönüşümü ve frekans aralığını yerine koy:

   $\displaystyle p\left(t\right)=\left(\frac{1}{2\pi }\right)\sum _{k=-\infty }^{\infty }\omega _{0}X\left(k\omega _{0}\right)e^{jk\omega _0t}$

   Toplamdaki frekans aralığı çarpanını incele.

   Bu, bir Riemann toplamı biçimindedir.

   Periyot büyürken aralığın sıfıra yaklaşmasını kullan:

   $\displaystyle \omega _{0}=\frac{2\pi }{T}$

   Izgara sıklaşır; koşullar sağlandığında ağırlıklı toplam integrale yaklaşır.

   Standart ters dönüşüm formülü:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\left(\frac{1}{2\pi }\right)\int _{-\infty }^{\infty }X\left(\omega \right)e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega$

   Ters dönüşümü uygun yakınsaklık anlamında yorumla.

   Sesli anlatım metni

   Şimdi ters dönüşümü türetelim. x tilda için Fourier Serisi sentez denklemi şöyledir: x tilda t, k üzerinden toplam, x tilda k çarpı e üzeri j k omega sıfır t'ye eşittir. x tilda k yerine büyük X k omega sıfır bölü T koyarsak ve T eşittir iki pi bölü omega sıfır kullanırsak: x tilda t, k üzerinden toplam, omega sıfır bölü iki pi, çarpı büyük X k omega sıfır, çarpı e üzeri j k omega sıfır t olur. Dikkatli bakın. Bu bir Riemann toplamıdır! T sonsuza giderken, omega sıfır, yani iki pi bölü T, sıfıra yaklaşır. Ayrık frekanslar k omega sıfır, sürekli omega değişkeni olur ve toplam bir integrale dönüşür. Limitte, x tilda t, x t'ye yaklaşır ve şunu elde ederiz: x t eşittir bir bölü iki pi, çarpı eksi sonsuzdan artı sonsuza integral, büyük X omega, çarpı e üzeri j omega t, d omega. Bu, Ters Fourier Dönüşümü'dür.

5. 5. Dönüşüm konvansiyonları

   

   Dönüşüm çiftini bir araya getir.

   Belirtilen koşullarda ileri dönüşüm:

   $\displaystyle X\left(\omega \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t\right)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$

   Belirtilen koşullarda ters dönüşüm:

   $\displaystyle x\left(t\right)=\left(\frac{1}{2\pi }\right)\int _{-\infty }^{\infty }X\left(\omega \right)e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega$

   İki integralin yakın simetrisini incele.

   Üstel işaretleri zıttır; ters dönüşümde bir bölü iki pi bulunur.

   Genel açısal frekans konvansiyonunda:

   $\displaystyle c_{1}\cdot c_{2}=\frac{1}{2\pi }$

   Standart konvansiyon:

   $\displaystyle c_{1}=1, c_{2}=\frac{1}{2\pi }$

   Simetrik konvansiyon:

   $\displaystyle c_{1}=c_{2}=1/\sqrt{2\pi }$

   Dönüşüm, uygun yorumlarla frekans analizini aperiyodik sinyallere genişletir.

   Sırada yakınsama koşulları ve ilk dönüşüm örnekleri var.

   Sesli anlatım metni

   Hepsini bir araya getirelim. Aperiyodik bir x t sinyali için Fourier Dönüşümü çifti şöyledir: İleri dönüşüm: büyük X omega, eksi sonsuzdan artı sonsuza integral, x t çarpı e üzeri eksi j omega t, dt'ye eşittir. Ters dönüşüm: x t, bir bölü iki pi çarpı eksi sonsuzdan artı sonsuza integral, büyük X omega çarpı e üzeri artı j omega t, d omega'ya eşittir. Güzel bir yakın simetriye dikkat edin. İkisi de aynı formda integraldir, ancak zıt üstel işaretleriyle ve terste bir bölü iki pi faktörüyle. Genel olarak, c bir ve c iki sabitleriyle çifti tanımlayabiliriz; burada c bir çarpı c iki, bir bölü iki pi'ye eşit olmalıdır. Bizim konvansiyonumuz c bir eşittir bir ve c iki eşittir bir bölü iki pi kullanır. Bir başka yaygın tercih, her iki sabitin bir bölü iki pi'nin kareköküne eşit olduğu simetrik formdur. Hangi konvansiyon kullanılırsa kullanılsın, Fourier Dönüşümü frekans analizini periyodik sinyallerden aperiyodik sinyallere genişletir. Bir sonraki videoda yakınsama koşullarını tartışacak ve ilk Fourier Dönüşümü örneklerimizi hesaplayacağız.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #27 | Sürekli Zamanlı Fourier Dönüşümü - FS'den FD'ye (5:36)