#11 Dağılımsal türev,düzenli eğimler ve işaretli sıçrama ağırlıkları

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Türev zinciri

   

   Dağılımsal türev zinciri:

   $\displaystyle r'\left(t\right)=u\left(t\right), u'\left(t\right)=\delta \left(t\right)$

   Burada sabit genlik katsayısı ve zaman kaymasını kullan; zaman ölçeğinde ayrıca zincir kuralı gerekir.

   Sabit A ve kayma için:

   $\displaystyle \left(r\left(t-t_{0}\right)\right)'=u\left(t-t_{0}\right), \left(A\cdot u\left(t-t_{0}\right)\right)'=A\cdot \delta \left(t-t_{0}\right)$

   Sesli anlatım metni

   Önceki derslerimizden hatırlayalım: birim rampa r t'nin türevi birim basamak u t'dir ve birim basamağın türevi impuls delta t'dir. Bu fonksiyonları kaydırıp ölçeklediğimizde aynı kurallar geçerlidir. r t eksi t sıfır'ın türevi u t eksi t sıfır'dır ve A çarpı u t eksi t sıfır'ın türevi A çarpı delta t eksi t sıfır'dır.

2. 2. Sıçrama ve impuls ağırlığı

   

   Sonlu sıçrama dağılımsal türevde bir impuls bileşeni oluşturur; sıradan noktasal türev değildir.

   İşaretli ağırlık sağ limit eksi sol limittir:

   $\displaystyle J=f\left(t_{0}^{+}\right)-f\left(t_{0}^{-}\right)$

   Yukarı sıçramanın impuls ağırlığı pozitiftir.

   Aşağı sıçramanın impuls ağırlığı negatiftir.

   İmpuls ağırlığının mutlak büyüklüğü sıçramanın mutlak büyüklüğüyle eşleşir.

   Sesli anlatım metni

   Bugünkü dersin ana fikri şu: bir f t sinyali t sıfır zamanında süreksizliğe, yani ani bir sıçramaya sahipse, türev f nokta t o noktada bir impuls içerir. Bu impulsun genliği sıçramanın büyüklüğüne eşittir: f t sıfır artı eksi f t sıfır eksi. Yukarı sıçrama pozitif impuls üretir. Aşağı sıçrama negatif impuls üretir. Sıçrama ne kadar büyükse, impuls o kadar güçlüdür.

3. 3. Dikdörtgen darbenin türevi

   

   Önce dikdörtgen darbenin sıçramalarını bul.

   Birim darbe:

   $\displaystyle p\left(t\right)=u\left(t-1\right)-u\left(t-2\right)$

   Birde artı bir,ikide eksi bir sıçrama vardır.

   Her sıçramayı kendi konumunda işaretli impulsla temsil et.

   Dağılımsal türev:

   $\displaystyle p'\left(t\right)=\delta \left(t-1\right)-\delta \left(t-2\right)$

   Sesli anlatım metni

   Bunu basit bir örnekle görelim. f t eşittir u t eksi bir eksi u t eksi iki. Bu dikdörtgen bir darbedir: t eşittir birde bir yukarı sıçrar ve t eşittir ikide bir aşağı sıçrar. Türevi alırsak: t eşittir birdeki artı bir sıçrama delta t eksi bir üretir ve t eşittir ikideki eksi bir sıçrama eksi delta t eksi iki üretir. Yani f nokta t eşittir delta t eksi bir eksi delta t eksi iki.

4. 4. Merdivenin türevi

   

   Birden çok sıçramalı merdiveni incele.

   Merdiven:

   $\displaystyle q\left(t\right)=u\left(t-1\right)+u\left(t-2\right)-2u\left(t-3\right)$

   Birde sıfırdan bire sıçrama:

   $\displaystyle J_{1}=1-0=1$

   İkide birden ikiye sıçrama:

   $\displaystyle J_{2}=2-1=1$

   Üçte ikiden sıfıra sıçrama:

   $\displaystyle J_{3}=0-2=-2$

   Her impuls kendi sıçramasının işaretli ağırlığını taşır; üç ağırlık eşit değildir.

   Dağılımsal türev:

   $\displaystyle q'\left(t\right)=\delta \left(t-1\right)+\delta \left(t-2\right)-2\delta \left(t-3\right)$

   Sesli anlatım metni

   Şimdi birden fazla sıçramalı bir merdiven. f t eşittir u t eksi bir artı u t eksi iki eksi iki çarpı u t eksi üç. t eşittir birde sinyal sıfırdan bire sıçrar, artı bir. t eşittir ikide birden ikiye sıçrar, yine artı bir. t eşittir üçte ikiden sıfıra düşer, eksi iki. Her süreksizlik aynı büyüklükte bir impuls üretir. Türev eşittir delta t eksi bir artı delta t eksi iki eksi iki delta t eksi üç.

5. 5. Eğim ve sıçrama

   

   Rampa ve basamak birleşimi:

   $\displaystyle h\left(t\right)=r\left(t\right)-r\left(t-1\right)+2u\left(t-2\right)$

   Sıfır ile bir arasındaki açık aralıkta:

   $\displaystyle h\left(t\right)=t$

   Bir ile iki arasındaki açık aralıkta:

   $\displaystyle h\left(t\right)=1$

   İkide birden üçe yükselen sıçrama:

   $\displaystyle J=3-1=2$

   Düzenli ve tekil katkıları birleştir:

   $\displaystyle h'\left(t\right)=u\left(t\right)-u\left(t-1\right)+2\delta \left(t-2\right)$

   Eğimler düzenli türevi,sıçramalar impulsu verir; sürekli köşe ilk türeve impuls eklemez.

   Sesli anlatım metni

   Son örneğimiz hem rampa hem basamak içeriyor: f t eşittir r t eksi r t eksi bir artı iki çarpı u t eksi iki. t sıfır ile bir arasında sinyal bir eğimle yükselir, bu sürekli bir bölümdür. Bir ile iki arasında bir seviyesinde düzdür. Sonra t eşittir ikide iki yukarı sıçrayarak üç seviyesine ulaşır. Türev iki parçadan oluşur: sürekli türev sıfır ile bir arasında sabit bir verir ve sıçrama iki delta t eksi iki impulsunu üretir. Dikkat edin: eğimler sabit değer olur, sıçramalar impuls olur.

6. 6. Sinyal türevi yöntemi

   

   Türev bulma yöntemini sıraya koy.

   Varsa başlangıç doğrusunu koruyarak basamak ve rampalarla yaz.

   Sonlu sıçramaları belirle ve sağ limitten sol limiti çıkar.

   Düzenli türev ile tekil impuls katkılarını birlikte yaz.

   Her doğrusal parçanın açık aralığındaki türev eğimidir.

   Her sonlu sıçrama kendi işaretli ağırlığında impuls ekler.

   Parçalı doğrusal kapsamı ve köşelerdeki sıradan türev sınırını koru.

   Sesli anlatım metni

   Yöntemi özetleyelim. Birinci adım: f t'yi kaydırılmış basamak ve rampaların birleşimi olarak yazın. İkinci adım: tüm süreksizlik noktalarını belirleyin ve her sıçrama büyüklüğünü ölçün. Üçüncü adım: türevi yazın. Her düzgün rampa parçası için türev eğime eşit bir sabittir. Her süreksizlik için türev sıçrama büyüklüğüne eşit genlikte bir impuls içerir. Bu yöntem herhangi bir parçalı lineer sinyal için çalışır.

7. 7. Türev özeti

   

   Sonlu sıçramalar dağılımsal türevde impuls üretir.

   İmpuls ağırlığı sağ limit eksi sol limit; işareti sıçrama yönüdür.

   Karma sinyalde düzenli eğim parçaları ve impulslar birlikte bulunur.

   Sonraki konu sürekli zaman sinüzoidal ve üstel sinyallerdir.

   Sesli anlatım metni

   Bugün süreksizliklerdeki sinyal türevlerinin impuls ürettiğini öğrendik. İmpuls genliği sıçrama büyüklüğüne eşittir: pozitif sıçramalar pozitif impuls, negatif sıçramalar negatif impuls verir. Hem eğim hem sıçrama içeren sinyallerde türev sabit parçalarla impuls fonksiyonlarını birleştirir. Bir sonraki derste sürekli zamanlı sinüzoidal ve üstel sinyalleri keşfedeceğiz.

Kaynak video: Sinyaller ve Sistemler #11 | Sinyal Türevleri ve Süreksizliklerde İmpulsler (3:39)