التصميم الرقمي · مجموع الجداءات وحاصل ضرب المجاميع

#05 بناء SOP وPOS القياسيين من جدول الحقيقة وتبسيط مثال إلى C

ابن حدود minterm وmaxterm من الصفوف المختارة، ثم تحقق من صيغتي SOP وPOS في المثال ذي المداخل الثلاثة.

السؤال

إطار كامل من الفيديو العربي يعرض الصيغ القياسية أو minterm أو maxterm أو مثال جدول الحقيقة ذي المداخل الثلاثة. — في المثال ذي المداخل الثلاثة توجد ثمانية صفوف؛ تعطي صيغتا SOP وPOS عمود C نفسه. الرسوم الصغيرة ذات الخلايا الملونة توضيح لاختيار الخلايا، ولا تمثل جدول حقيقة إضافيا أو خريطة كارنو لهذا المثال.

اعمل في الجبر البولياني ذي القيمتين صفر وواحد. الجمع في العبارات المنطقية يعني OR الشامل، والنقطة تعني AND، والشرطة العليا تعني المتممة المنطقية وليست مشتقة. يحتوي كل حد قياسي على كل مدخل مرة واحدة، مباشرة أو متممة. قد تحتوي صيغة SOP أو POS غير القياسية على حدود تحذف بعض المتغيرات؛ شرط احتواء كل المتغيرات يخص الحدود القياسية هنا. رتب المداخل A ثم B ثم C، بحيث يكون A البت الأعلى وC الأدنى. فهرس الصف هو العدد الثنائي ABC بالحساب العادي، أي أربعة أمثال A زائد مثلي B زائد C. لبناء minterm من صف معين، اكتب المدخل مباشرة عندما يكون واحدا ومتمما عندما يكون صفرا، ثم اربط كل المداخل بعملية AND. لذلك m_5=A·B'·C يلتقط 101 وحده. يجمع SOP القياسي بعملية OR حدود جميع الصفوف التي خرجها واحد. لبناء maxterm صف معين، اكتب المدخل متمما عندما يكون واحدا ومباشرة عندما يكون صفرا، ثم اربط المداخل بعملية OR. لذلك M_4=A'+B+C يساوي صفرا في 100 وحده ويساوي واحدا في الصفوف السبعة الأخرى. يجمع POS القياسي بعملية AND حدود جميع الصفوف التي خرجها صفر. مثال m_5 ومثال M_4 يخصان صفين مختلفين؛ لا تعتبرهما زوجا متتامما لنفس الصف. AND بين حدود maxterm أساسي؛ استبداله بـOR أو الجمع العددي يغير الدالة. في المثال F=C، يحتوي جدول الحقيقة على ثمانية صفوف مرتبة 000,001,010,011,100,101,110,111، وعمود الخرج 0,1,0,1,0,1,0,1. صفوف الواحد 001,011,101,111 تعطي F=A'·B'·C+A'·B·C+A·B'·C+A·B·C. صفوف الصفر 000,010,100,110 تعطي F=(A+B+C)·(A+B'+C)·(A'+B+C)·(A'+B'+C). تحقق من الصيغتين على الصفوف الثمانية واستعمل الهويات لتفسير اختزالهما إلى C. عندما تكون C صفرا يتلاشى كل حد SOP، ويصبح أحد حدود POS صفرا؛ وعندما تكون C واحدا يلتقط أحد حدود SOP الصف وتكون جميع حدود POS واحدا. الرسوم الصغيرة غير المعنونة ذات ست عشرة خلية في شاشات اختيار الحد أو اختيار الصيغة أيقونات توضيحية لتظليل الخلايا. ليست جدولا كاملا لثلاثة مداخل وليست خريطة كارنو محددة المتغيرات. استند في تعداد الصفوف إلى الجدول الكامل ذي الثمانية صفوف وإلى ترتيب ABC الصريح. لا تستنتج عدد المداخل أو التجاور من تلك الأيقونات. عدد حدود SOP القياسي هو عدد صفوف الواحد، وعدد حدود POS القياسي هو عدد صفوف الصفر. اختيار الأقل منهما قد يقلل عدد الحدود القياسية، لكنه لا يضمن أقل عدد بوابات أو أقل تأخير أو أفضل كلفة بعد التبسيط. لكل حد قياسي العدد نفسه من المتغيرات قبل التبسيط. في الحالات الحدية، OR الخالي يمثل الدالة صفر وAND الخالي يمثل الدالة واحد. لا توجد حالات لا مبالاة معطاة هنا. يحفظ التبسيط جدول الحقيقة المستقر؛ لا يستنتج منه وحده ضمان التوقيت أو غياب الأخطار العابرة. خريطة كارنو في الخاتمة تمهيد للدرس التالي، وليست اشتقاقا كاملا لقواعد التجميع.

الحل المكتوب ونص الشرح(يعرض الحل كاملًا)

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. صيغتان من جدول الحقيقة
في المثال ذي المداخل الثلاثة توجد ثمانية صفوف؛ تعطي صيغتا SOP وPOS عمود C نفسه. الرسوم الصغيرة ذات الخلايا الملونة توضيح لاختيار الخلايا، ولا تمثل جدول حقيقة إضافيا أو خريطة كارنو لهذا المثال.
نستخرج من جدول الحقيقة صيغتين قياسيتين للدالة البوليانية نفسها.
يبنى مجموع الجداءات SOP من الصفوف التي يكون خرجها واحدا.
يبنى حاصل ضرب المجاميع POS من الصفوف التي يكون خرجها صفرا.
يصف الطريقان عمود الخرج نفسه انطلاقا من مجموعتين متكاملتين من الصفوف.
حوّل كل صف مختار إلى حد وفق قاعدة المتممات المناسبة.
نص الشرح الصوتي
لدينا طريقان قياسيان لاستخراج عبارة Boolean من جدول الحقيقة بصورة منظمة. يبنى SOP، أي sum of products، من الصفوف التي يكون فيها الخرج واحدا. ويبنى POS، أي product of sums، من الصفوف التي يكون فيها الخرج صفرا. ينظر الطريقان إلى مجموعتين متعاكستين من الصفوف، لكنهما يصفان عمود الخرج نفسه. والميزة أننا لا نخمن العبارة؛ بل نحوّل كل صف مطلوب إلى حد وفق قاعدة محددة.
2. SOP وحدود minterm
في المثال ذي المداخل الثلاثة توجد ثمانية صفوف؛ تعطي صيغتا SOP وPOS عمود C نفسه. الرسوم الصغيرة ذات الخلايا الملونة توضيح لاختيار الخلايا، ولا تمثل جدول حقيقة إضافيا أو خريطة كارنو لهذا المثال.
يجمع SOP حدود AND باستعمال OR الشامل؛ الجمع البولياني هنا ليس جمع الأعداد.
يحتوي minterm القياسي على كل مدخل مرة واحدة، ويكون واحدا في تركيب واحد فقط.
حد الصف 101 بترتيب A ثم B ثم C:
$\displaystyle m_{5} = A\cdot B'\cdot C$
يكون هذا الحد واحدا فقط عندما تكون A واحدا وB صفرا وC واحدا.
اكتب minterm لكل صف خرجه واحد، ثم اجمع الحدود بعملية OR.
نص الشرح الصوتي
يعني SOP جمع عدة حدود AND بواسطة OR. في الصيغة القياسية يحتوي كل حد AND على جميع المداخل مرة واحدة، ويكون واحدا في صف واحد فقط؛ ويسمى هذا الحد minterm. مثلا في الصف A واحد، B صفر، C واحد، نكتب A مباشرة ونعكس B ونكتب C مباشرة: A AND NOT B AND C. يكون هذا الحد واحدا في صف واحد صفر واحد فقط. نكتب minterm لكل صف خرجه واحد، ثم نجمعها بعملية OR لنحصل على SOP القياسي.
3. POS وحدود maxterm
في المثال ذي المداخل الثلاثة توجد ثمانية صفوف؛ تعطي صيغتا SOP وPOS عمود C نفسه. الرسوم الصغيرة ذات الخلايا الملونة توضيح لاختيار الخلايا، ولا تمثل جدول حقيقة إضافيا أو خريطة كارنو لهذا المثال.
يجمع POS حدود OR باستعمال AND؛ الجداء هنا عملية منطقية.
يحتوي maxterm القياسي على كل مدخل مرة واحدة، ويكون صفرا في تركيب واحد فقط.
تنعكس قاعدة اختيار المتممات مقارنة بحد minterm.
حد الصف 100 بترتيب A ثم B ثم C:
$\displaystyle M_{4} = A'+B+C$
تكون الحدود الثلاثة داخل OR صفرا في هذا الصف وحده.
اكتب maxterm لكل صف خرجه صفر، ثم اجمع تلك الحدود بعملية AND.
نص الشرح الصوتي
يعني POS ضرب عدة حدود OR بواسطة AND. في الصيغة القياسية يحتوي كل حد OR على جميع المداخل مرة واحدة، ويكون صفرا في صف مختار واحد فقط؛ ويسمى maxterm. اختيار المتممات هنا عكس minterm. لجعل الصف A واحد، B صفر، C صفر صفرا نستخدم NOT A و B و C. يكون حد OR هذا صفرا في ذلك الصف وحده. نكتب maxterm لكل صف خرجه صفر، ثم نضربها بعملية AND لنحصل على POS القياسي.
4. مثال بثلاثة مداخل
في المثال ذي المداخل الثلاثة توجد ثمانية صفوف؛ تعطي صيغتا SOP وPOS عمود C نفسه. الرسوم الصغيرة ذات الخلايا الملونة توضيح لاختيار الخلايا، ولا تمثل جدول حقيقة إضافيا أو خريطة كارنو لهذا المثال.
في المثال ذي المداخل الثلاثة، يكون الخرج واحدا بالضبط عندما تكون C واحدا.
صفوف الواحد بترتيب ABC هي 001 و011 و101 و111.
صيغة SOP القياسية:
$\displaystyle F = A'\cdot B'\cdot C+A'\cdot B\cdot C+A\cdot B'\cdot C+A\cdot B\cdot C$
صفوف الصفر بترتيب ABC هي 000 و010 و100 و110.
صيغة POS القياسية:
$\displaystyle F = \left(A+B+C\right)\cdot \left(A+B'+C\right)\cdot \left(A'+B+C\right)\cdot \left(A'+B'+C\right)$
تعطي الصيغتان عمود الخرج نفسه وتتبسطان إلى:
$\displaystyle F = C$
نص الشرح الصوتي
نستخدم جدولا بثلاثة مداخل يكون فيه F واحدا عندما تكون C واحدا. صفوف الواحد هي صفر صفر واحد، صفر واحد واحد، واحد صفر واحد، وواحد واحد واحد. في SOP نكتب minterm لكل واحد منها ونجمع الحدود بعملية OR. وصفوف الصفر هي صفر صفر صفر، صفر واحد صفر، واحد صفر صفر، وواحد واحد صفر. في POS نكتب maxterm لكل صف ونضرب الحدود بعملية AND. تبدو العبارتان مختلفتين، لكنهما تنتجان عمود F نفسه، وتتبسطان إلى C.
5. اختيار الصيغة
في المثال ذي المداخل الثلاثة توجد ثمانية صفوف؛ تعطي صيغتا SOP وPOS عمود C نفسه. الرسوم الصغيرة ذات الخلايا الملونة توضيح لاختيار الخلايا، ولا تمثل جدول حقيقة إضافيا أو خريطة كارنو لهذا المثال.
الصيغة القياسية canonical منهجية ودقيقة، لكنها ليست بالضرورة الصيغة الأقصر.
إذا كانت صفوف الواحد أقل، كان عدد حدود SOP القياسية أقل من عدد حدود POS القياسية.
إذا كانت صفوف الصفر أقل، كان عدد حدود POS القياسية أقل من عدد حدود SOP القياسية.
قارن عدد الصفوف المختارة أولا؛ لا يكفي عدد الحدود وحده لضمان أقل كلفة تنفيذ.
يمكن بعد ذلك تبسيط العبارة بالجبر البولياني أو خريطة كارنو.
نص الشرح الصوتي
تعني canonical أن الصيغة دقيقة ومنهجية، ولا تعني أنها الأقصر. إذا كان عدد صفوف الواحد قليلا، فقد يستخدم SOP حدودا أقل. وإذا كان عدد صفوف الصفر قليلا، فقد يكون POS أقصر. لذلك انظر أولا إلى قيمة الخرج التي تظهر في صفوف أقل. وبعد بناء الصيغة القياسية يمكن لجبر Boolean أو خريطة Karnaugh إزالة المتغيرات والحدود غير الضرورية.
6. مراجعة الصيغ القياسية
في المثال ذي المداخل الثلاثة توجد ثمانية صفوف؛ تعطي صيغتا SOP وPOS عمود C نفسه. الرسوم الصغيرة ذات الخلايا الملونة توضيح لاختيار الخلايا، ولا تمثل جدول حقيقة إضافيا أو خريطة كارنو لهذا المثال.
يلتقط minterm تركيبا واحدا بخرج واحد؛ ويجمع SOP حدود صفوف الواحد بعملية OR.
يستبعد maxterm تركيبا واحدا بخرج صفر؛ ويجمع POS حدود صفوف الصفر بعملية AND.
يحتوي كل حد قياسي على جميع المداخل مرة واحدة، مباشرة أو متممة.
تصل الصيغ القياسية جدول الحقيقة بعبارة الدائرة بدقة.
يمهد الدرس التالي لتجميع خلايا خريطة كارنو المتجاورة وتبسيط العبارة بصريا.
نص الشرح الصوتي
نلخص الدرس: يلتقط minterm صف إدخال واحدا يكون خرجه واحدا، ويجمع SOP هذه الحدود بعملية OR. ويستبعد maxterm صفا واحدا يكون خرجه صفرا، ويضرب POS هذه الحدود بعملية AND. يحتوي كل حد قياسي على جميع المداخل مرة واحدة. وهكذا نبني جسرا دقيقا بين جدول الحقيقة وعبارة الدائرة. في الدرس التالي سنستخدم خريطة Karnaugh لتجميع الصفوف المتجاورة وتبسيط العبارة بصريا.