#01 القوة ومركّباتها

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. حبلان وصندوق واحد — في أي اتجاه؟

   

   F₁ = 400 N، بزاوية 30° فوق الأفق (إلى اليمين)

   F₂ = 300 N، بزاوية 60° مع الأفق (إلى الأعلى واليسار)

   السؤال الأول في الاستاتيكا: عدة قوى ← تأثير واحد. بدونه لا جسر ولا رافعة ولا حامل.

   اليوم: نحلّها خطوة بخطوة دون تخطّي أي شيء.

   نص الشرح الصوتي

   صندوقٌ عالقٌ على الأرض، وشخصان يشدّانه بحبلين. الأول يشدّ بقوة 400 نيوتن، ممسكاً الحبل بزاوية 30 درجة فوق الأفق. والثاني يشدّ بقوة 300 نيوتن، إلى الأعلى وإلى اليسار، وحبله يصنع زاوية 60 درجة مع الأفق. والسؤال هو: في أي اتجاه يريد الصندوق أن يتحرك، وما مقدار القوة الكلية التي يُشدّ بها؟ هذا هو السؤال الأول في علم الاستاتيكا: أن نأخذ عدة قوى ونختزلها في تأثير واحد. وما لم تتقن هذا، فلن تستطيع تحليل جسر، ولا رافعة، ولا حتى حامل رفّ بسيط. في نهاية هذا الدرس سنحلّ هذه المسألة نفسها خطوة بخطوة، دون أن نتخطى شيئاً. لكن أولاً، لنكن صادقين بشأن ما هي القوة حقاً.

2. 2. ما هي القوة؟ متجه

   

   ① المقدار — كم نيوتن

   ② الاتجاه — خط التأثير + الجهة

   ③ نقطة التأثير — أين يلامس الجسم

   كم تساوي 400 N؟

   1 N ≈ تفاحة صغيرة

   100 N ≈ حقيبة 10 kg

   400 N ≈ رفع 40 kg

   نص الشرح الصوتي

   القوة هي دفعٌ أو سحب. لكن رقماً واحداً لا يكفي لوصفها. إذا قلت لي: أنا أشدّ الحبل بقوة 400 نيوتن، فسؤالي التالي مباشرة: في أي اتجاه؟ هل تشدّ إلى الأعلى أم إلى الجانب؟ القوة نفسها، 400 نيوتن، إما أن ترفع الصندوق أو تجرّه، بحسب الاتجاه. إذن للقوة ثلاثة عناصر هوية. أولاً: مقدارها، أي كم نيوتن. ثانياً: اتجاهها، أي على أي خط تؤثر، وإلى أي جهة على ذلك الخط. ثالثاً: نقطة تأثيرها، أي أين تلامس الجسم. الكمية التي لها مقدار واتجاه معاً نسميها متجهاً، ونرسمها على شكل سهم. أما الكمية التي يصفها رقم واحد، كدرجة الحرارة أو الكتلة، فنسميها كمية قياسية. والآن، كم تساوي 400 نيوتن؟ إليك إحساساً بذلك. النيوتن الواحد يعادل تقريباً وزن تفاحة صغيرة في كفّك. ومئة نيوتن تعادل تقريباً حمل حقيبة وزنها 10 كيلوغرامات. إذن 400 نيوتن شدٌّ يكفي لرفع حمل وزنه 40 كيلوغراماً. مقدار جدّي، لكنه في متناول شخصين.

3. 3. جمع القوى — رأساً إلى ذيل

   

   الفخّ الكلاسيكي — المقادير تُجمع فقط على الخط نفسه.

   $\displaystyle |F₁ - F₂| \le R \le F₁ + F₂$

   هنا:

   $\displaystyle 100 N \le R \le 700 N$

   رقم دقيق؟ ليس بالمسطرة — بل بالمركّبات.

   نص الشرح الصوتي

   كيف نجمع قوتين؟ الحدس الأول لدى معظم الطلاب: 400 زائد 300 يساوي 700 نيوتن. وهذا هو الفخّ الكلاسيكي. ما لم تكن القوتان على الخط نفسه، لا يمكنك جمع مقداريهما ببساطة. فكّر: لو شدّ الحبلان في اتجاهين متعاكسين تماماً، لما كاد الصندوق يتحرك؛ ولكان المجموع 100 لا 700. الطريقة الصحيحة هي: ضع الأسهم رأساً إلى ذيل. يبدأ السهم الثاني من حيث ينتهي الأول؛ والسهم الممتد من البداية الأولى إلى النهاية الأخيرة هو القوة المحصّلة. نسمي هذا قاعدة المثلث. وإذا بدأت السهمين من النقطة نفسها وأكملت متوازي الأضلاع، فإن القطر يعطي المحصّلة نفسها. وهذا هو قانون متوازي الأضلاع. احتفظ بقاعدة واحدة في ذهنك: المحصّلة تقع دائماً بين مجموع المقدارين وفرقهما. في مثالنا، بين 100 و700. لكن كيف نستخرج رقماً دقيقاً من هذا الرسم؟ ليس بالمسطرة، بل بالحساب. ولهذا سنتعلم تفكيك القوة إلى أجزاء.

4. 4. تحليل القوة إلى مركّباتها

   

   الزلاجة: شدّ واحد يجرّها إلى الأمام ويرفعها قليلاً

   Fₓ = F cos θ (θ من المحور x)

   $\displaystyle F_{y} = F \sin \theta$

   الفخّ: "cos دائماً مع x" — لا! القاعدة تتبع الزاوية لا المحور.

   انظر إلى الشكل، حدّد المثلث القائم، ثم قرّر.

   الإشارة: يسار ← −، أسفل ← −. المثلث يعطي المقدار؛ أنت تضع الإشارة.

   نص الشرح الصوتي

   تفكيك القوة على اتجاهين متعامدين نسميه تحليل القوة إلى مركّباتها. وإليك الحدس. إذا سحبت زلاجة بحبل مائل إلى الأعلى، فإن جزءاً من شدّك يجرّ الزلاجة إلى الأمام، وجزءاً آخر يرفعها قليلاً عن الأرض. قوة واحدة تؤدي عملين. هذان العملان هما المركّبة السينية والمركّبة الصادية. والحساب: إذا صنعت القوة F زاوية ثيتا مع المحور السيني، فالمركّبة السينية تساوي F في جيب تمام ثيتا، والمركّبة الصادية تساوي F في جيب ثيتا. والآن الفخّ الحقيقي: لا تحفظ أن جيب التمام يذهب دائماً مع المحور السيني. القاعدة تتبع الزاوية لا المحور. جيب التمام يذهب مع الضلع المجاور للزاوية، والجيب مع الضلع المقابل لها. فإذا قيست الزاوية من المحور الصادي، فإن المركّبة الصادية تُحسب بجيب التمام، والمركّبة السينية بالجيب. انظر إلى الشكل، وحدّد المثلث القائم، ثم قرّر. وأمر آخر: الإشارة. إذا كانت المركّبة تتجه إلى اليسار فهي سالبة، وإذا اتجهت إلى الأسفل فهي سالبة. المثلث القائم يعطيك المقدار فقط؛ أما الإشارة فأنت من يضعها.

5. 5. مثال محلول — كل خطوة

   

   $\displaystyle F₁ₓ = 400 \cdot \cos 30^{\circ}$

   $\displaystyle \cos 30^{\circ} = 0.866$

   400 × 0.866 = 346.4 N → يمين: +

   $\displaystyle F_{1y} = 400 \cdot \sin 30^{\circ}$

   $\displaystyle \sin 30^{\circ} = 0.5$

   400 × 0.5 = 200 N ↑ أعلى: +

   $\displaystyle F₂ₓ = 300 \cdot \cos 60^{\circ}$

   $\displaystyle \cos 60^{\circ} = 0.5$

   $\displaystyle 300 \times 0.5 = 150 N$

   ← يسار: − → −150 N

   $\displaystyle F_{2y} = 300 \cdot \sin 60^{\circ}$

   $\displaystyle \sin 60^{\circ} = 0.866$

   300 × 0.866 = 259.8 N ↑ أعلى: +

   $\displaystyle Rₓ = 346.4 - 150 = 196.4 N$

   $\displaystyle R_{y} = 200 + 259.8 = 459.8 N$

   $\displaystyle R = \sqrt{196.4² + 459.8²}$

   $\displaystyle 196.4² = 38573$

   $\displaystyle 459.8² = 211416$

   $\displaystyle 38573 + 211416 = 249989$

   $\displaystyle R = \surd 249989 \approx 500 N$

   $\displaystyle \tan \theta =\frac{ 459.8 }{ 196.4 }= 2.341$

   $\displaystyle \theta = a\tan \left(2.341\right) \approx 66.9^{\circ}$

   نص الشرح الصوتي

   والآن لنحلّ مسألتنا. القوة الأولى 400 نيوتن بزاوية 30 درجة مع المحور السيني. مركّبتها السينية: 400 في جيب تمام 30 درجة. جيب تمام 30 درجة يساوي 0.866. و400 في 0.866 يساوي 346.4 نيوتن. تتجه إلى اليمين، إذن موجبة. مركّبتها الصادية: 400 في جيب 30 درجة. جيب 30 درجة يساوي 0.5. و400 في 0.5 يساوي 200 نيوتن. إلى الأعلى، موجبة. القوة الثانية 300 نيوتن، إلى الأعلى وإلى اليسار، بزاوية 60 درجة مع الأفق. مركّبتها السينية: 300 في جيب تمام 60 درجة. جيب تمام 60 درجة يساوي 0.5. و300 في 0.5 يساوي 150 نيوتن. لكنها تتجه إلى اليسار، إذن سالب 150. مركّبتها الصادية: 300 في جيب 60 درجة. جيب 60 درجة يساوي 0.866. و300 في 0.866 يساوي 259.8 نيوتن. إلى الأعلى، موجبة. والآن نجمع. المركّبات السينية: 346.4 ناقص 150 يساوي 196.4 نيوتن. المركّبات الصادية: 200 زائد 259.8 يساوي 459.8 نيوتن. مقدار المحصّلة من فيثاغورس: الجذر التربيعي لمجموع مربع 196.4 ومربع 459.8. مربع 196.4 يساوي 38573. ومربع 459.8 يساوي 211416. والمجموع 249989. وجذره التربيعي يساوي تقريباً 500 نيوتن. أما الاتجاه: ظلّ ثيتا يساوي 459.8 على 196.4، أي 2.341. وقوس الظلّ لهذا يساوي تقريباً 66.9 درجة. إذن يتصرف الصندوق كما لو شُدّ بقوة واحدة مقدارها 500 نيوتن، موجّهة بزاوية 66.9 درجة فوق الأفق.

6. 6. هل النتيجة منطقية؟ ثلاثة اختبارات

   

   ① المدى:

   $\displaystyle 100 \le 500 \le 700 ✓$

   ② الاتجاه:

   $\displaystyle 30^{\circ} < 66.9^{\circ} < 120^{\circ}$

   …وأقرب إلى الحبل الأقوى 400 N ✓

   ③ الزاوية بين القوتين:

   $\displaystyle 120^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$

   القوتان متعامدتان!

   R = 500 N بالضبط

   طريقان، جواب واحد ← ثق به

   نص الشرح الصوتي

   هل النتيجة منطقية؟ لنجرِ ثلاثة اختبارات. أولاً: هل 500 بين 100 و700؟ نعم. ثانياً: هل يقع الاتجاه بين الحبلين؟ الحبل الأول عند 30 درجة، والثاني عند 120 درجة؛ و66.9 تقع بينهما، وأقرب إلى الحبل الأقوى ذي 400 نيوتن. هذا منطقي. ثالثاً: هنا مفاجأة جميلة. انظر إلى الزاوية بين القوتين: 120 ناقص 30 يساوي 90 درجة. القوتان متعامدتان! إذن كان بإمكاننا استخدام قاعدة المثلث مباشرة: 300، و400، والوتر. مثلث 3، 4، 5. خمسمئة نيوتن بالضبط. وطريقة المركّبات أعطت 500 أيضاً؛ والفرق الضئيل ناتج عن التقريب فقط. عندما يقودك طريقان مختلفان إلى الجواب نفسه، يمكنك أن تثق بحلّك. وتحذير من الخطأ الكلاسيكي: إذا حصلت على 700 فقد جمعت المقادير مباشرة. وإذا حصلت على رقم قريب من 676 فقد نسيت إشارة السالب في المركّبة المتجهة إلى اليسار.

7. 7. خلاصة ما تعلمناه

   

   القوة = متجه: مقدار، اتجاه، نقطة تأثير

   اجمع الأسهم رأساً إلى ذيل — لا تجمع المقادير مباشرة أبداً

   المركّبات: cos ↔ المجاور، sin ↔ المقابل؛ الإشارة من الشكل

   Σx, Σy ← فيثاغورس + الظلّ ← R, θ

   دائماً تحقق: المدى، الاتجاه، طريق ثانٍ

   التالي: مخطط الجسم الحرّ — كل قوة على الجسم، دون نسيان أي منها

   نص الشرح الصوتي

   لنجمع ما تعلمناه. القوة متجه: مقدار، واتجاه، ونقطة تأثير. عند جمع قوتين لا تجمع المقدارين مباشرة أبداً؛ بل ضع الأسهم رأساً إلى ذيل. وللجواب الدقيق، حلّل إلى مركّبات: جيب التمام مع الضلع المجاور، والجيب مع الضلع المقابل، وأنت من يضع الإشارة بالنظر إلى الشكل. اجمع المركّبات على كل محور، ثم أعد بناء المحصّلة بفيثاغورس والظلّ. وتحقق دائماً في النهاية: من المدى، ومن الاتجاه، ومن طريق ثانٍ إن أمكن. في الدرس القادم سنتعلم كيف نضع هذه الأسهم على جسم حقيقي: مخطط الجسم الحرّ، أي فنّ رسم كل قوة تؤثر في الجسم دون أن ننسى أياً منها. إلى اللقاء.

الفيديو المصدر: القوة ومركّباتها (9:57)