#04 عزم القوة

تجد أدناه جميع الأسطر المكتوبة في الدفتر مع النص الكامل للشرح الصوتي.

1. 1. سؤالان وبرغي صدئ

   

   برغي صدئ · مفتاح ربط 250 mm · قوة يد 80 N

   اليد عند رأس المفتاح ← لا شيء يتحرك

   القوة نفسها 80 N عند طرف المقبض ← يدور

   تأثير الدوران = القوة والبعد عن محور الدوران

   اليوم: التعريف · الإشارة · طريقتان · مسألتان محلولتان، كل رقم ظاهر

   نص الشرح الصوتي

   الاستاتيكا في جوهرها سؤالان. الأول: هل القوى المؤثرة على الجسم متوازنة؟ أجبنا عنه في الدرس الماضي بمجموع القوى يساوي صفرًا. الثاني: هل تأثيرات الدوران متوازنة؟ اليوم نبني حجر الأساس لهذا السؤال الثاني. لنبدأ بمسألة حقيقية. برغي صدئ، وفي يدك مفتاح ربط طوله 250 ملّيمترًا. ضع يدك بجوار البرغي مباشرة، عند رأس المفتاح، وادفع بقوة 80 نيوتن: لا شيء يتحرك. الآن ضع القوة نفسها، 80 نيوتن، عند طرف المقبض: يدور البرغي. القوة نفسها، والنتيجة مختلفة تمامًا. لماذا؟ لأن تأثير الدوران لا يعتمد على القوة وحدها، بل على بُعد نقطة تأثيرها عن محور الدوران أيضًا. هذا التأثير اسمه العزم. اليوم نعرّف العزم، ونتعلم إشارته، ونحسبه بطريقتين، ونحل مسألتين كاملتين مع إظهار كل رقم.

2. 2. ما هو العزم؟

   

   العزم = ميل القوة إلى التدوير حول نقطة (باب، مفك، دوّاسة)

   $\displaystyle M = F \cdot d$

   d = البعد العمودي من O إلى خط التأثير — لا إلى نقطة التطبيق

   الوحدة: N·m — 1 N عند طرف ذراع طوله 1 m

   الإشارة: عكس عقارب الساعة +، مع عقارب الساعة − (قاعدة اليد اليمنى)

   خط التأثير يمر بـ O ← d = 0 ← M = 0 مهما كبرت F

   القوة نفسها، ضعف الذراع ← ضعف العزم: مفتاح طويل، رافعة طويلة

   نص الشرح الصوتي

   ميل القوة إلى تدوير الجسم حول نقطة ما يسمى عزم القوة. عندما تدفع بابًا، أو تدير مفكًا، أو تضغط على دوّاسة الدراجة، فأنت تستخدم العزم. التعريف بسيط: العزم حول النقطة O يساوي القوة مضروبة في ذراع العزم؛ M تساوي F في d. والمقدار d هو سر المسألة كلها: إنه البعد العمودي من النقطة O إلى خط تأثير القوة. ليس البعد إلى نقطة تطبيق القوة، بل البعد المقاس عموديًا على خط التأثير. وخط التأثير هو ما تحصل عليه عندما تمدّ سهم القوة إلى ما لا نهاية في الاتجاهين. وحدته نيوتن في متر: نيوتن متر. نيوتن متر واحد يعني نيوتنًا واحدًا عند طرف ذراع طوله متر واحد. أما الإشارة: الدوران له اتجاهان. سنأخذ عكس عقارب الساعة موجبًا ومع عقارب الساعة سالبًا؛ وهذه قاعدة اليد اليمنى مكتوبة على صفحة مستوية. ماذا لو مرّ خط تأثير القوة بالنقطة O نفسها؟ عندها البعد العمودي صفر، والعزم صفر؛ مهما كبرت القوة فلن تدير الجسم. هذا ما حدث ليدك بجوار البرغي. حدس أخير: بالقوة نفسها 80 نيوتن، أسهل طريقة لمضاعفة العزم هي مضاعفة الذراع. المفاتيح الطويلة والروافع الطويلة ومقابض الأبواب الطويلة، كلها لهذا السبب.

3. 3. طريقتان، رقم واحد

   

   ① الذراع العمودي:

   $\displaystyle d = r \sin \theta ← M = F \cdot r \sin \theta$

   ② المركّبات: F⊥ = F sinθ (ذراع r) · F∥ = F cosθ (يمر بـ O → 0)

   فارينيون: عزم القوة = مجموع عزوم مركّباتها

   θ = الزاوية بين القوة والذراع: ⟂ ↔ sin، ∥ ↔ cos

   هندسة واضحة ← الطريقة ①؛ شكل معقد ← الطريقة ②؛ كلتاهما = أفضل تحقق

   نص الشرح الصوتي

   لحساب العزم طريقتان، وتعطيان دائمًا الرقم نفسه. الطريقة الأولى، الذراع العمودي: ارسم خط التأثير، أنزل عمودًا من النقطة O عليه، قِس هذا البعد، واضربه في القوة. إذا أثّرت القوة عند طرف ذراع طوله r وصنعت مع الذراع زاوية ثيتا، فإن البعد العمودي يساوي r في جيب ثيتا، والعزم يساوي F في r في جيب ثيتا. الطريقة الثانية، المركّبات: كما في الدروس السابقة، حلّل القوة إلى مركّبتين، واحدة عمودية على الذراع وأخرى على امتداده. المركّبة العمودية تساوي F في جيب ثيتا؛ ذراعها هو r كاملًا؛ وعزمها F جيب ثيتا في r. أما المركّبة على امتداد الذراع، F في جيب تمام ثيتا، فخط تأثيرها يمر بالنقطة O، فلا تعطي أي عزم: صفر. اجمعهما: مرة أخرى F في r في جيب ثيتا. هذا هو مبدأ فارينيون: عزم القوة يساوي مجموع عزوم مركّباتها. انتبه لقاعدة الزاوية: ثيتا هي الزاوية بين القوة والذراع. المركّبة العمودية على الذراع مع الجيب، والمركّبة على امتداده مع جيب التمام؛ القاعدة نفسها انظر إلى الزاوية من الدرس الأول. أي طريقة أفضل؟ إذا رأيت البعد العمودي مباشرة من الشكل فاستخدم الأولى؛ وإذا كان الشكل معقدًا فالمركّبات أكثر أمانًا. وفي الامتحان، استخدام الطريقتين والحصول على الرقم نفسه هو أفضل تحقق.

4. 4. المسألة A — مفتاح الربط

   

   المعطيات: r = 250 mm = 0.25 m · F = 80 N · θ = 60° مع المقبض

   d = r sin60° (عمودي على خط التأثير)

   $\displaystyle 0.25 \times 0.866 = 0.2165 m$

   $\displaystyle M = 80 \times 0.2165 = 17.32 N\cdot m ↺ \left(+\right)$

   $\displaystyle F_{⟂} = 80 \sin 60^{\circ}$

   $\displaystyle 80 \times 0.866 = 69.28 N$

   M = 69.28 × 0.25 = 17.32 N·m ✓ نفسه

   $\displaystyle F_{∥} = 80 \cos 60^{\circ} = 80 \times 0.5 = 40 N$

   خط التأثير يمر بـ O ← M = 0 (ضائعة)

   الأقصى (θ = 90°):

   $\displaystyle 80 \times 0.25 = 20 N\cdot m ← 17.32 = 86.6 \% ✓$

   80 N × 250 mm = 20000 N·mm = 20 N·m (÷ 1000)

   نص الشرح الصوتي

   المسألة A: مفتاح الربط. طول الذراع 250 ملّيمترًا، أي 0.25 متر. قوة اليد 80 نيوتن، لكنها ليست عمودية تمامًا: القوة تصنع مع المقبض زاوية 60 درجة. ما العزم حول مركز البرغي؟ الطريقة الأولى أولًا، الذراع العمودي. البعد العمودي d يساوي r في جيب 60 درجة. جيب 60 درجة يساوي 0.866. 0.25 في 0.866 يساوي 0.2165 متر. العزم يساوي 80 في 0.2165، أي 17.32 نيوتن متر. القوة تدير المفتاح عكس عقارب الساعة، فالإشارة موجبة. الآن الطريقة الثانية، المركّبات. المركّبة العمودية على المقبض: 80 في جيب 60، أي 80 في 0.866، تساوي 69.28 نيوتن. ذراعها هو 0.25 متر كاملًا: 69.28 في 0.25 يساوي 17.32 نيوتن متر. الرقم نفسه. المركّبة على امتداد المقبض: 80 في جيب تمام 60، أي 80 في 0.5، تساوي 40 نيوتن. هذه الـ40 نيوتن تدفع المفتاح نحو البرغي؛ خط تأثيرها يمر بالمركز؛ العزم صفر. قوة ضائعة. هل النتيجة منطقية؟ أكبر عزم تحصل عليه عندما تكون القوة عمودية تمامًا على المقبض: 80 في 0.25 يساوي 20 نيوتن متر. نتيجتنا 17.32؛ أقل من 20، وهي 86.6 بالمئة منه، تمامًا كما يقول جيب 60. وفخ الوحدات: 80 نيوتن في 250 ملّيمتر يعطي 20000 نيوتن ملّيمتر، ومن السهل أن تقرأه على أنه نيوتن متر. اقسم الملّيمترات على 1000: 20 نيوتن متر. أدخل الذراع في الحساب بالمتر دائمًا.

5. 5. المسألة B — العارضة المفصلية

   

   عارضة 3 m، مفصل O · F₁ = 400 N ↓ عند 1.0 m · F₂ = 200 N عند 3.0 m، 30° مع العارضة

   F₁ ⟂ العارضة ← d = 1.0 m

   $\displaystyle M₁ = -400 \times 1.0 = -400 N\cdot m ↻$

   $\displaystyle F₂ ← ⟂ = 200 \sin 30^{\circ} \cdot ∥ = 200 \cos 30^{\circ}$

   ⟂:

   $\displaystyle 200 \times 0.5 = 100 N ↑$

   ∥: 200 × 0.866 = 173.2 N، يمر بـ O ← M = 0

   ذراع المركّبة ⟂ = 3.0 m

   $\displaystyle M₂ = +100 \times 3.0 = +300 N\cdot m ↺$

   $\displaystyle ΣM_{O} = -400 + 300$

   ΣM_O = −100 N·m ↻ مع عقارب الساعة

   الحمل يفوز — طرف العارضة ينزل

   التوازن:

   $\displaystyle F \times 0.5 \times 3.0 = 400 ← F \times 1.5 = 400$

   $\displaystyle F =\frac{ 400 }{ 1.5 }= 266.7 N$

   نص الشرح الصوتي

   المسألة B: عارضة مفصلية. عارضة خفيفة طولها 3 أمتار، مثبتة بمفصل عند طرفها الأيسر، النقطة O، فهي حرة الدوران هناك. تؤثر عليها قوتان. الأولى: على بعد متر واحد من المفصل، 400 نيوتن إلى الأسفل، لنقل حمل معلق. الثانية: عند الطرف البعيد تمامًا، على بعد 3 أمتار، حبل يشد العارضة إلى الأعلى واليمين، بزاوية 30 درجة مع العارضة، بقوة 200 نيوتن. السؤال: ما العزم الكلي حول المفصل، وفي أي اتجاه تريد العارضة أن تدور؟ لنأخذ القوى واحدة تلو الأخرى. 400 نيوتن إلى الأسفل، الذراع متر واحد؛ القوة عمودية على العارضة، فالبعد العمودي هو متر واحد مباشرة. العزم 400 في 1.0 يساوي 400 نيوتن متر. الاتجاه: دفع إلى الأسفل على الجانب الأيمن يدير العارضة مع عقارب الساعة؛ سالب 400. الآن الـ200 نيوتن. تصنع 30 درجة مع العارضة؛ نحللها إلى مركّبتين. المركّبة العمودية على العارضة: 200 في جيب 30، أي 200 في 0.5، تساوي 100 نيوتن، إلى الأعلى. المركّبة على امتداد العارضة: 200 في جيب تمام 30، أي 200 في 0.866، تساوي 173.2 نيوتن؛ تؤثر على امتداد محور العارضة، فخط تأثيرها يمر بالمفصل، والعزم صفر. ذراع المركّبة العمودية 3 أمتار: 100 في 3.0 يساوي 300 نيوتن متر. الاتجاه: شدّ إلى الأعلى على الجانب الأيمن يدير العارضة عكس عقارب الساعة؛ موجب 300. نجمع: سالب 400 زائد 300 يساوي سالب 100 نيوتن متر. النتيجة سالبة: العارضة تريد أن تدور مع عقارب الساعة؛ الحمل المعلق يفوز، وطرف العارضة ينزل. سؤال صغير آخر: كم يجب أن تكون قوة الحبل لتبقى العارضة متوازنة؟ يجب أن يساوي عزمها 400: F في 0.5 في 3.0 يساوي 400؛ F في 1.5 يساوي 400؛ F تساوي 400 على 1.5، أي 266.7 نيوتن. هل هذا منطقي؟ الحبل أبعد بثلاث مرات، لكن بسبب جيب 30 لا يُحتسب منه إلا النصف؛ 200 نيوتن تتصرف كأنها 200 نيوتن على بعد 1.5 متر، ولهذا حصلنا على 300. وللتوازن تحتاج 266.7 نيوتن، أكثر من 200؛ الأرقام متسقة.

6. 6. أربعة فخاخ وعادة واحدة

   

   ① البعد إلى نقطة التطبيق ≠ ذراع العزم — استخدم البعد العمودي (0.2165 لا 0.25)

   ② نسيان الإشارة — 400 + 300 = 700 ✗ ← −400 + 300 = −100 ✓

   ③ N × mm ليست N·m — الذراع بالـمتر دائمًا

   ④ قوة كبيرة ≠ عزم كبير — عبر O العزم 0 (173.2 N لم تسهم بشيء)

   العادة: خط التأثير ← العمود ← الاتجاه ← اضرب

   نص الشرح الصوتي

   أربعة فخاخ كلاسيكية وعادة واحدة. الأول: أخذ البعد الخطأ. ذراع العزم ليس البعد من O إلى نقطة تطبيق القوة، بل البعد العمودي إلى خط التأثير. في المفتاح هو 0.2165 متر، لا 0.25. الثاني: نسيان الإشارة. إذا لم تفصل اتجاه عقارب الساعة عن عكسه عند جمع العزوم، فستجمع 400 و300 وتحصل على 700؛ لكنهما يعملان ضد بعضهما، والجواب الصحيح سالب 100. الثالث: خلط الوحدات. ضرب الملّيمترات في النيوتن وتسميتها نيوتن متر؛ أدخل الذراع بالمتر في كل مرة. الرابع: الظن أن القوة الكبيرة تعني عزمًا كبيرًا. القوة التي يمر خط تأثيرها بالنقطة O عزمها صفر؛ المركّبة 173.2 نيوتن على العارضة كبيرة، لكنها لا تسهم بشيء. العادة: لكل عزم، ارسم خط التأثير أولًا، أنزل العمود من O، قل الاتجاه بصوت عالٍ، ثم اضرب.

7. 7. خلاصة ما تعلمناه

   

   العزم = تأثير الدوران: M = F · d، d عمودي على خط التأثير، الوحدة N·m، ↺ +

   طريقتان، رقم واحد: F · (r sinθ) = (F sinθ) · r — فارينيون

   المفتاح: 17.32 N·m · العارضة: −400 + 300 = −100 N·m ↻

   خط التأثير يمر بـ O ← العزم 0

   التالي: ΣF = 0 وΣM = 0 معًا — عوارض ومساند ومنشآت حقيقية

   نص الشرح الصوتي

   لنجمع ما تعلمناه. العزم هو تأثير الدوران للقوة حول نقطة: M تساوي F في d، حيث d البعد العمودي إلى خط التأثير؛ الوحدة نيوتن متر؛ وعكس عقارب الساعة موجب. طريقتان تعطيان الرقم نفسه: الذراع العمودي في القوة، أو المركّبة العمودية على الذراع في الذراع؛ مبدأ فارينيون. في المفتاح، 80 نيوتن و0.25 متر و60 درجة أعطت 17.32 نيوتن متر؛ وفي العارضة، سالب 400 زائد 300 يساوي سالب 100 نيوتن متر، مع عقارب الساعة. القوة التي يمر خط تأثيرها بالنقطة O عزمها صفر. في الدرس القادم نجمع السؤالين معًا: مجموع القوى يساوي صفرًا ومجموع العزوم يساوي صفرًا؛ عوارض ومساند ومنشآت حقيقية. إلى اللقاء.

الفيديو المصدر: عزم القوة (12:15)