#11 İç Kuvvetler: Normal Kuvvet, Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti

Aşağıda defterde yazılan bütün satırlar ve bunlara eşlik eden sesli anlatımın tam metni bulunur.

1. 1. Tramplen Nereden Kırılır?

   

   3 m'lik tahta: bir ucu havuz kenarına sıkı bağlı, diğer ucu boşta

   75 kg yüzücü en uçta

   Kırılacaksa nereden kırılır?

   Çoğumuz: yüzücünün altı ✗

   Asıl tehlike: tahtanın kenara bağlandığı yer

   Bugün: iç kuvvetler — normal kuvvet (N), kesme kuvveti (V), eğilme momenti (M)

   Sesli anlatım metni

   Yüzme havuzundaki tramplen: 3 metrelik bir tahta, bir ucu havuz kenarına sıkıca bağlı, diğer ucu boşlukta. 75 kilogramlık bir yüzücü tahtanın en ucunda duruyor. Tahta kırılacak olsa, nereden kırılır? Çoğumuz yüzücünün durduğu yeri gösteririz. Oysa tehlikeli nokta tahtanın kenara bağlandığı yerdir. Bunu görmek için tahtanın içine bakmamız gerekiyor: bugün iç kuvvetleri, yani normal kuvveti, kesme kuvvetini ve eğilme momentini öğreniyoruz.

2. 2. Kesim Yöntemi: Elemanın İçine Bakmak

   

   Elemanı hayali olarak kes: eksenine dik bir düzlem

   Kiriş dengedeydi → kestikten sonra iki parça da dengede

   Dengeyi kesitteki iç kuvvetler sağlar — düzlemde üç tane

   N normal kuvvet: eksen boyunca · parçaları ayırır ya da bastırır

   V kesme kuvveti: eksene dik · kaydırır

   M eğilme momenti: döndürür, büker

   Etki–tepki: iki yüzde eşit büyüklükte, zıt yönde

   Sesli anlatım metni

   Bir elemanın içindeki kuvvetleri bulmanın yolu, onu hayali olarak kesmektir. Kirişi istediğimiz noktadan, eksenine dik bir düzlemle ikiye ayırıyoruz. Kesmeden önce kiriş dengedeydi; kestikten sonra iki parçanın her biri de dengede olmalı. Bunu sağlayan, kesit yüzeyinde birbirine etki eden iç kuvvetlerdir. Düzlemde üç tane vardır. Eksen boyunca olan normal kuvvet: parçaları birbirinden ayırmaya ya da birbirine bastırmaya çalışır. Eksene dik olan kesme kuvveti: parçaları birbirine göre kaydırmaya çalışır. Ve eğilme momenti: parçaları birbirine göre döndürmeye çalışır. Etki tepki ilkesi gereği bu kuvvetler iki yüzde eşit büyüklükte ve zıt yöndedir.

3. 3. İşaret Kuralı

   

   Mühendislerin ortak işaret kuralı

   N: çekme + · basma −

   V: parçayı saat yönünde döndürmeye çalışıyorsa +

   M: yukarı çukur, gülümseyen yay + · somurtan yay −

   Bilinmeyenleri kesite hep + yönde çiz → sonuç − çıkarsa gerçek yön ters

   Sesli anlatım metni

   Bu üç büyüklüğün işareti için mühendislerin ortak bir kuralı var. Normal kuvvet çekme yapıyorsa pozitif, basma yapıyorsa negatiftir. Kesme kuvveti, üzerine etki ettiği parçayı saat yönünde döndürmeye çalışıyorsa pozitiftir. Eğilme momenti ise kirişi yukarı çukur olacak şekilde, yani gülümseyen bir yay gibi büküyorsa pozitiftir; somurtan bir yay gibi büküyorsa negatiftir. Kesit yüzeyine bilinmeyenleri hep pozitif yönde çizeriz; sonuç negatif çıkarsa gerçek yön tersidir.

4. 4. Her Zaman Aynı Dört Adım

   

   Her soruda aynı dört adım

   ① Gerekirse önce mesnet tepkileri

   ② İstenen noktadan, eksene dik kes

   ③ Daha az yüklü parçayı seç, serbest cisim diyagramını çiz — yükler kesmeden önceki yerinde kalır

   ④ Denge:

   $\displaystyle ΣFₓ = 0 \to N \cdot ΣF_{y} = 0 \to V$

   Momenti kesit noktasına göre al: N ve V düşer, M doğrudan bulunur

   Sesli anlatım metni

   Adımlar her zaman aynıdır. Bir: gerekirse önce mesnet tepkilerini bulun. İki: istenen noktadan, eksene dik olarak kesin. Üç: daha az yük taşıyan parçayı seçin ve serbest cisim diyagramını çizin; yayılı yükler ve kuvvetler kesmeden önceki yerlerinde kalmalı. Dört: denge denklemlerini yazın. Yatay denge normal kuvveti, düşey denge kesme kuvvetini verir. Momenti ise tam kesim noktasına göre alın; böylece normal ve kesme kuvvetleri denklemden düşer ve moment doğrudan bulunur.

5. 5. Trampleni Çözelim

   

   $\displaystyle P = 75 \cdot 9.81 \approx 736 N$

   ankastre uçtan x uzakta kes → sağ parçayı al

   sağ parçada yalnız P var: duvarın bilinmeyen tepkileri yok

   ΣF_{y} = 0:

   $\displaystyle V - 736 = 0 \to V = 736 N$

   (her kesitte)

   ΣMₖₑₛᵢₜ = 0:

   $\displaystyle M + 736 \cdot \left(3 - x\right) = 0$

   $\displaystyle M = -736 \cdot \left(3 - x\right)$

   eksi → somurtan yay gibi bükülüyor

   x = 0: 736 · 3 = 2208 N·m → M ≈ −2.21 kN·m

   x = 1.5: 736 · 1.5 = 1104 N·m → M ≈ −1.10 kN·m

   x = 3:

   $\displaystyle M = 0$

   en büyük |M| ankastre uçta → tahta oradan kırılır

   Sesli anlatım metni

   Tramplene dönelim. Yüzücünün ağırlığı: 75 çarpı 9.81, yaklaşık 736 newton. Tahtayı ankastre uçtan x kadar uzakta kesiyoruz ve sağ parçayı alıyoruz; çünkü üzerinde yalnızca yüzücünün kuvveti var, duvarın bilinmeyen tepkileri yok. Düşey denge: kesme kuvveti eksi 736, sıfır; kesme kuvveti 736 newton, her kesitte aynı. Kesite göre moment: eğilme momenti artı 736 çarpı kesitten uca olan uzaklık, sıfır. Yani moment eksi 736 çarpı 3 eksi x. Eksi işaret, tahtanın somurtan bir yay gibi büküldüğünü söylüyor. Ankastre uçta x sıfır: 736 çarpı 3, 2208; yaklaşık eksi 2.21 kilonewton metre. Tahtanın ortasında: 736 çarpı 1.5, yaklaşık eksi 1.10. Uçta ise sıfır. En büyük moment, yüzücünün altında değil, kenara bağlandığı yerde. Tahta oradan kırılır.

6. 6. Tekil Yüklü Kiriş

   

   4 m kiriş · A'dan 1 m'de 8 kN

   ΣM_B = 0: 8 · 3 = 24 → 24 / 4 → A_y = 6 kN

   B_y = 8 − 6 = 2 kN

   ① yükün hemen solu, sol parça:

   V = 6 kN · M = 6 · 1 = 6 kN·m

   ② yükün hemen sağı: sol parçada 8 kN da var

   V = 6 − 8 = −2 kN · M = 6 kN·m (yine)

   V tekil yükte yük kadar sıçrar: 6 → −2, fark 8

   M sıçramaz

   ③ x = 3 m, sol parça:

   $\displaystyle 6 \cdot 3 = 18$

   $\displaystyle 8 \cdot 2 = 16$

   M = 18 − 16 = 2 kN·m

   ④ sağ parçayla kontrol: M = 2 · 1 = 2 kN·m ✓

   Sesli anlatım metni

   Şimdi iki ucundan mesnetli, 4 metrelik bir kiriş alalım; A ucundan 1 metre uzakta 8 kilonewtonluk bir yük var. Önce tepkiler. B'ye göre moment: 8 çarpı 3, 24; bölü 4, A'daki tepki 6 kilonewton. B'deki tepki: 8 eksi 6, 2 kilonewton. Yükün hemen solundan kesiyoruz, sol parçayı alıyoruz: kesme kuvveti 6 kilonewton, moment 6 çarpı 1, 6 kilonewton metre. Yükün hemen sağından kesersek sol parçada yük de var: kesme kuvveti 6 eksi 8, eksi 2 kilonewton; moment yine 6 kilonewton metre. Kesme kuvveti tekil yükün olduğu yerde yük kadar sıçrar: 6'dan eksi 2'ye, fark 8. Moment ise sıçramaz. Bir de 3 metreden keselim. Sol parça: 6 çarpı 3, 18; eksi 8 çarpı 2, 16; moment 2 kilonewton metre. Sağ parçayla kontrol: 2 çarpı 1, yine 2.

7. 7. Yayılı Yükte Bir İncelik

   

   6 m basit kiriş · tamamında w = 3 kN/m

   toplam yük 3 · 6 = 18 kN → her mesnette 9 kN

   x = 2 m'den kes

   önce kes, sonra yalnız sol parçanın yükünü topla:

   3 · 2 = 6 kN

   etki noktası parçanın ortası: kesitten 1 m geride

   V = 9 − 6 = 3 kN

   M = 9 · 2 − 6 · 1 = 18 − 6 = 12 kN·m

   kirişin ortası, x = 3 m:

   $\displaystyle V = 9 - 9 = 0$

   M = 9 · 3 − 9 · 1.5 = 27 − 13.5 = 13.5 kN·m

   V = 0 olan yerde M en büyük → sıradaki ders

   Sesli anlatım metni

   Yayılı yükte bir inceliğe dikkat. 6 metrelik basit bir kirişin tamamında metre başına 3 kilonewtonluk düzgün yayılı yük olsun. Tepkiler simetrik: toplam yük 3 çarpı 6, 18 kilonewton; her mesnette 9. Şimdi 2 metreden kesiyoruz. Önce kesiyoruz, sonra yalnızca sol parçadaki yükü topluyoruz: 3 çarpı 2, 6 kilonewton; etki noktası bu parçanın ortası, yani kesitten 1 metre geride. Kesme kuvveti: 9 eksi 6, 3 kilonewton. Moment: 9 çarpı 2, 18; eksi 6 çarpı 1, 6; sonuç 12 kilonewton metre. Kirişin ortasında ise: kesme kuvveti 9 eksi 9, sıfır; moment 9 çarpı 3, 27; eksi 9 çarpı 1.5, 13.5; sonuç 13.5 kilonewton metre. Kesme kuvvetinin sıfır olduğu yerde moment en büyük değerindedir; bir sonraki dersin konusu tam olarak bu.

8. 8. Normal Kuvvet: Tabela Kolu

   

   2 m yatay kol, A'da duvara mafsallı

   B'den duvara kablo, kolla 30°

   kolun ortasında 1.2 kN tabela

   ΣM_A = 0: T · sin 30° · 2 = 1.2 · 1 → T = 1.2 kN

   Tₓ = 1.2 · cos 30° ≈ 1.04 kN

   T_y = 1.2 · 0.5 = 0.6 kN

   kablo B'yi duvara çeker → kol duvara bastırılır

   her kesitte N = −1.04 kN (basma)

   x = 0.5 m, sol parça:

   V = 0.6 kN · M = 0.6 · 0.5 = 0.3 kN·m

   x = 1.5 m, sağ parça:

   V = −0.6 kN · M = 0.3 kN·m (yine)

   bu kolda N, V ve M'nin üçü de var

   Sesli anlatım metni

   Normal kuvvet ne zaman ortaya çıkar? Bir tabela kolu düşünelim: 2 metrelik yatay bir kol, A ucundan duvara mafsallı. B ucundan duvara, kolla 30 derece açı yapan bir kablo gidiyor. Kolun ortasında 1.2 kilonewtonluk bir tabela asılı. A'ya göre moment: kablonun düşey bileşeni çarpı 2, tabelanın 1.2 çarpı 1'ine eşit; kablo kuvveti çarpı sinüs 30 çarpı 2 eşittir 1.2, yani kablo kuvveti 1.2 kilonewton. Yatay bileşeni 1.2 çarpı kosinüs 30, yaklaşık 1.04; düşey bileşeni 1.2 çarpı 0.5, 0.6 kilonewton. Kablo B ucunu duvara doğru çekerken kol duvara bastırılır: kolun her kesitinde normal kuvvet eksi 1.04 kilonewton, yani basma. Tabelanın solunda, 0.5 metreden kesersek: kesme kuvveti 0.6, moment 0.6 çarpı 0.5, 0.3 kilonewton metre. Sağında, 1.5 metrede: kesme kuvveti eksi 0.6, moment yine 0.3. Bu kolda üç iç kuvvetin üçü de var.

9. 9. Üç Klasik Tuzak

   

   ① Yayılı yükü kesmeden önce tek bileşkeye çevirmek: 18 kN ortada → 2 m'de sol parçada yük yok ✗ · doğrusu 6 kN ✓

   ② İşaret kuralını karıştırmak → V ve M'yi hep + yönde çiz, işareti denge söylesin

   ③ En büyük momenti yükün altında aramak → konsolda en büyük M ankastre uçta

   Sesli anlatım metni

   Üç klasik tuzak. Bir: yayılı yükü kesmeden önce tek bir bileşke kuvvete çevirmek. 6 metrelik kirişte 18 kilonewtonu ortaya koyup 2 metreden keserseniz sol parçada hiç yük görmezsiniz; oysa orada 6 kilonewton var. İki: işaret kuralını karıştırmak. Kesme ve momenti kesit yüzeyine hep pozitif yönde çizin, işareti denge söylesin. Üç: en büyük momenti yükün altında aramak. Konsolda en büyük moment ankastre uçtadır.

10. 10. Tramplene Dönelim

    

    Yüzücünün 736 N'u → kökte M ≈ −2.21 kN·m: ortadakinin 2 katı

    Elemanı hayali olarak kes, bir parçanın dengesini yaz

    ΣFₓ → N · ΣF_y → V · ΣMₖₑₛᵢₜ → M

    Sıradaki Statik dersi: kesme kuvveti ve moment diyagramları

    Sesli anlatım metni

    Tramplene dönersek: yüzücünün 736 newtonu, tahtanın kenara bağlandığı yerde yaklaşık 2.21 kilonewton metrelik bir moment oluşturuyor; tahtanın ortasındakinin iki katı. Özetle: bir elemanı hayali olarak keser, parçalardan birinin dengesini yazarız. Yatay denge normal kuvveti, düşey denge kesme kuvvetini, kesite göre moment de eğilme momentini verir. Sıradaki derste bu değerlerin kiriş boyunca nasıl değiştiğini, kesme kuvveti ve moment diyagramlarıyla çizeceğiz.

Kaynak video: İç Kuvvetler: Normal Kuvvet, Kesme Kuvveti ve Eğilme Momenti (7:25)